求函数值域最值的方法大全.doc

《求函数值域最值的方法大全.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求函数值域最值的方法大全.doc（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、. .求函数值域最值的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中假设方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法那么，不管采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值

2、域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域最值的常用方法1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y=的值域解： 显然函数的值域是：例2、求函数y=2的值域。解：0 0 22故函数的值域是：-，2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。解：将函数配方得：y=x-1+4，x-1，2，由二次函数的性质可知：当x=

3、1时，y =4当x=-1，时=8故函数的值域是：4，8 例4、求函数的值域： 解：设，那么原函数可化为：.又因为，所以，故，所以，的值域为.3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解：恒成立，函数的定义域为R. 由 得。 当即时，； 当即时，时，方程恒有实根. 且.原函数的值域为.例6、求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2y+1x+y=01xR，=4y+1-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x2-x0，得：0x2。由0，仅保证关于x的方程：2-2y+1x+y=0在实数集R有实根，而不

4、能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程1有实根，由0求出的X围可能比y的实际X围大，故不能确定此函数的值域为，。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程1，解得：=0，2，即当=时，原函数的值域为：0，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解：由于此题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得 即知识回忆：反函数

5、的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。例8、求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=0，0 解得：-1y1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinxx+=3y 即 sinxx+= xR，sinxx+-1，1。即-11解得：-y 故函数的值域为-，。6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。原理：同增异减例10、求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数

6、函数外层函数和二次函数内层函数复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性同增异减知：。例11、 求函数y= 2x10的值域解：令y=，=，那么 y ，在2，10上都是增函数。所以y= y +在2，10上是增函数。当x=2时，y =+=，当x=10时，= +=33。故所求函数的值域为：，33。例12、求函数y=-的值域。解：原函数可化为： y=令y =，= ，显然y，在1，+上为无上界的增函数，所以y= y +在1，+上也为无上界的增函数。 所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。显然y0，故原函数的值域为(0,。7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数

7、解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等。例13、求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，t0那么x=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t0时，y+。 故函数的值域为1，+。例14、求函数y=x+2+的值域 解：因1-0，即1 故可令x+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin+/4+10，0+/45/4 -sin+/41 0sin+/4+11+。 故所求函数的值域为0，1+。例15、求函数 y=的值域解：原函数可变形为：y=-可令

8、x=tg，那么有=sin2，=cos2y=-sin2 cos2=-sin4 当=k/2-/8时，=。当=k/2+/8时，y=-而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-，。例16、求函数y=sinx+1cosx+1，x-/12/2的值域。解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t，那么sinxcosx=-1 y=-1+t+1=由t=sinx+cosx=sinx+/4且x-/12，/2可得：t当t=时，=+，当t=时，y=+故所求函数的值域为+，+。例17、求函数y=x+4+的值域 解：由5-x0，可得x故可令x=cos，0，y=cos+4+

9、sin=sin+/4+40， /4+/45/4当=/4时，=4+，当=时，y=4-。故所求函数的值域为：4-，4+。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点Px到定点A2，B-8间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为：1

10、0，+例19、求函数y=+ 的值域解：原函数可变形为：y=+上式可看成x轴上的点Px，0到两定点A3，2，B-2，-1的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=AB=， 故所求函数的值域为，+。例20、求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A3，2到点Px，0的距离与定点B-2，1到点Px，0的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：1当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，那么构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP-BPAB= 即：-y2当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 AP-BP=AB= 。 综上所述，可知函数的值域为：-，-。

11、注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，那么要使两点A，B在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：3，2，-2，-1，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：3，2，2，-1，在x轴的同侧。例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2，3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线Bx和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得

12、最值。如：其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例22、求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx的值域解：原函数变形为： y=+1/+1/=1+ +=3+3+2 =5当且仅当tgx=ctgx，即当x=k/4时kz，等号成立。故原函数的值域为：5，+。例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4cosx=16=82-28+2- =8+2- /3=当且当=2-2，即当=时，等号成立。由，可得：-y故原函数的值域为：-，。例24、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。分析与解：

13、因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取=当时取得最小值12。例25、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值是 。A B 4 C 2 D 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以当且仅当时取“=而故当且仅当时取“=。10、导数法 设函数在上连续，在上可导，那么在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例26、求函数,的最大值和最小值。解: ,令,方程无解.函数在上是增函数.故当时, ，当时, 例27、求函数的最值.解析: 函数是

14、定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，函数递增,时，函数递减,故有最大值.【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.注：最值寻根的导数判定假设定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：1假设导函数无根，即，那么无最值；2假设导函数有唯一的根，即，那么有最值.此时，导函数的根即是函数最根.3假设导函数有多个的根，那么应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.11、多种方法综合运用例28、求函数y=的值域解：令t= t0，那么x+3=+11 当t0时，y=， 当且仅当t=1，即x=-1

15、时取等号所以0y。2 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：0，。注：先换元，后用不等式法。例29、求函数y=的值域。解：y=+=+令x=tg，那么=，=sin，y=+sin=-+ sin+1 =-+当sin=时，=。当sin=-1时，y=-2。此时tg都存在，故函数的值域为：2，。注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。学生稳固练习1 函数y=x2+ (x)的值域是( )A(,B,+C,+D(,2 函数y=

16、x+的值域是( )A (,1B (,1C RD 1,+3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，两地铁路线长400千米，为了平安，两列货车间距离不得小于()2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_小时(不计货车的车身长) 4 设x1、x2为方程4x24mx+m+2=0的两个实根，当m=_时，x12+x22有最小值_ 5 某企业生产一种产品时，固定本钱为5000元，而每生产100台产品时直接消耗本钱要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5xx2(万元)(0x5),其中x是产品售出的数量(单位 百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)

17、年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不赔本？6 函数f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1(1)假设f(x)的定义域为(,+)，XX数a的取值X围；(2)假设f(x)的值域为(,+),XX数a的取值X围 7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台 生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在RtABC中，C=90，以斜边AB所在直

18、线为轴将ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域 (2)求函数f(x)的最小值 参考答案1 解析 m1=x2在(,上是减函数，m2=在(,上是减函数，y=x2+在x(,)上为减函数,y=x2+ (x)的值域为，+答案 B2 解析 令=t(t0),那么x=y=+t= (t1)2+11值域为(,1答案 A3 解析 t=+16()2/V=+2=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2=,x12+x22=(x1+x2)22x1x2=m2=(m)2,又x1,x2为实根，0 m1或m2

19、，y=(m)2在区间(,1上是减函数，在2，+上是增函数，又抛物线y开口向上且以m=为对称轴 故m=1时，ymin=答案 1 5 解 (1利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总本钱C(x)之差，由题意，当x5时，产品能全部售出，当x5时，只能销售500台，所以y=(2在0x5时，y=x2+4 75x0 5,当x=4 75(百台时，ymax=10 78125(万元，当x5(百台时，y120 255=10 75(万元，所以当生产475台时，利润最大 (3要使企业不赔本，即要求解得5x4 750 1(百台或5x48(百台时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不赔本 6 解

20、(1依题意(a21x2+(a+1)x+10对一切xR恒成立，当a210时，其充要条件是，a1或a又a=1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意 故a1或a为所求 (2依题意只要t=(a21)x2+(a+1)x+1能取到(0，+上的任何值，那么f(x)的值域为R，故有,解得1a,又当a21=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=1时不合题意，1a为所求 7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得 x+y+z=360x0,y0,z60 假定每周总产值为S千元，那么S=4x+3y+2z,在限制条件之下，为求目标函数S的最大值，由消去z,得y=3603x 将代入得 x+

21、(3603x)+z=360,z=2x z60,x30 再将代入S中，得S=4x+3(3603x)+22x,即S=x+1080 由条件及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S=30+1080=1050(千元 得x=30分别代入和得y=36090=270,z=230=60 每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元8 解 (1如下图 设BC=a,CA=b,AB=c,那么斜边AB上的高h=,S1=ah+bh=,f(x)=又代入消c，得f(x)=在RtABC中，有a=csinA,b=ccosA(0A,那么x=sinA+cosA=sin(A+) 1x(2)f(x)= +6,设t=x1,那么t(0, 1),y=2(t+)+6在(0，1上是减函数，当x=(1)+1=时，f(x)的最小值为6+8 . .word.