高考数学解题技巧.doc

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1、. .2021高考数学解题方法第1计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. ?阿里巴巴?用“芝麻开门，讲的是“以小见大. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示X例题将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如以下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，那么 . 分析 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然

2、大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意. 解 将等式与右边的顶点三角形对应图右，自然有对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1对一般情况讲，就是x = r+1 这就是此题第1空的答案. 插语 此题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进展解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下两数之和，所以选择任何一个“一头两脚式的小三角形，都能解出x=r+1. 第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项. 解 在三角形中先找到了数列

3、首项，并将和数列 中的各项依次“以点连线图右实线，实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个. 因为在向下一分为二进展依次列项时，我们总是“取右舍左，而舍去的各项虚线所串所成数列的极限是0. 因此得到 这就是此题第2空的答案. 点评 解题的关键是“以点破门，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数点都有这个性质. 例如从这个数开场，向左下连线无穷射线，所连各数之和的极限就是这个数的左上角的那个数. 用等式表示就是 此题型为填空题，假设改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分

4、以上的大题. 有关解答附录如下. 法1 由知，可用合项的方法，将的和式逐步合项. 法2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式根底上增加一项，那么由每一行中的任一数都等于其“脚下两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而法3 2将代入条件式，并变形得取令得，以上诸式两边分别相加，得 说明 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，那么是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功在使用对象上的真正意义. 对应训练1如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半局部于P1，P2，P7七个点，F是椭

5、圆的一个焦点，那么|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如下图，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，那么四棱锥B1A1PQC1的体积与多面体ABCPB1Q的体积比值为 . 参考解答1找“点椭圆的另一个焦点F2. 连接P1F2 、P2F2 、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由椭圆的对称性可知，此题的答案是70的一半即35.2找“点动点P、Q的极限点. 如下图，令A1P= CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合

6、.那么多面体蜕变为四棱锥CAA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥CA1B1C1 .显然V棱柱.=于是奇兵天降答案为.点评 “点到成功的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，提醒整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点字，既是名词，又是动词，是“点亮和“亮点的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“芝麻来，“西瓜那么不是一个“点，而一个球. 因为它能够“滚，所以靠“滚到成功. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 根本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想，数形结合思想

7、，划分讨论思想，等价交换思想，特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.典例示X题1 对于R上可导的任意函数fx，假设满足x1f x0，那么必有A. f0f22f1分析用五种数学思想进展“滚动，最容易找到感觉应是：分类讨论思想.这点在已条件x-1f(x)0中暗示得极为显目.其一，对f(x)有大于、等于和小于0三种情况；其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.因此，此题破门，首先想到的是划分讨论.解一 i假设f(x) 0时，那么f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.ii假设f(x)不恒为0时. 那么f(x)0时有x1，fx在上为增函数；f(x

8、)0时x1. 即fx在上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.综合i，ii，此题的正确答案为C.插语 考场上多见的错误是选D. 忽略了f(x)0的可能. 以为x-1f(x) 0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f(x)0.再析 此题fx是种抽象函数，或者说是满足此题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f0，f1，f2.因此容易使人联想到数学：一般特殊思想.解二 i假设f(x)=0，可设fx=.选项、符合条件.iif(x)0. 可设f(x) =x-12又f(x)=2x-1.满足(

9、x-1) f(x) =2 (x-1)20，而对 f (x)= (x-1)2. 有f0= f2=1，f1=0选项C，D符合条件. 综合i，ii答案为C.插语 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.再析 此题以函数及导数为载体. 数学思想“函数方程不等式思想. 贯穿始终，如由f x= 0找最值点x =0，由f x00找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.解三 i假设f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，那么常数f

10、(x) = 1符合条件. 右图水平直线ii假设f (0)= f (2) f (1)对应选项C，D右图下拱曲线. 那么满足条件(x-1) f x0.探索 此题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f x0，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.变题 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f x0从而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是A. fx= (x-1)3 B. fx= (x-1) C. fx= (x-1)D. fx= (x-1)解析 对A，f (0)= -

11、1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义； 对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D.对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f x=(x-1)使得 (x-1) f(x) =(x-1)(x-1) 0.说明 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如fx=(x-1) ，其中m，n都是正整数，且nm.点评 解决抽象函数的方法，切忌“一般解决，只须按给定的具体性质“就事论事，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想在解题中具体应用.题2 实数x，y满足等式 ，试求分式的最值。分析“最值涉及函

12、数，“等式连接方程，函数方程思想最易想到.解一 函数方程思想运用令 y = k (x-5) 与方程联立消y，得：根据x的X围应用根的分布得不等式组：解得 即 即所求的最小值为，最大值为.插语 解出，谈何易！十人九错，早就应该“滚开，用别的思想方法试试.解二 数形结合思想运用由得椭圆方程 ，0看成是过椭圆上的点x，y，(5，0)的直线斜率图右.联立得令得，故的最小值为，最大值为.插语 这就是“滚动的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到，还要善于“滚开.点评 “西瓜开门把运动学带进了考场解题. 滚动能克制解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动，在知识上

13、要“滚动，在根本技能技巧上也要“滚动. 总之，面对考题，在看法、想法和方法上要注意“滚动.对应训练1.假设动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，那么动点P的轨迹应为图中的 ( )2.函数y=1- (-1x0)的反函数是 ( )A.y=-(0x1) B.y= (0x1)C. y=- (-1x0) D. y= (-1x0,a+2b+cac C.b2ac且a0 D.b2ac且a0且yx.选项B中无x0的图像，均应否认；当x=yR+时，lg无意义，否认A,选C【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.此题的常规解法是：当x0且yx时，由lgy+

14、lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.y=-x或y=2x(x0,y0).2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.原函数定义域为-1x0，其反函数值域为-1y0,a+2b+c0,f(1)=a+2b+c0,即b2ac,应选B.【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从不等式出发:4b4a+c, 2b0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值X围.参考答案1. 命sin2=sin2=sin2=,那么cos2=cos2=cos2=.、为锐角时，cos=cos=cos=.coscosco

15、s=.(注：根据解题常识，最大值应在cos=cos=cos时取得).2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.假设借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,那么可简化运算过程.e=,那么a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为(x+，把点P(-看做当k0时的极限情形(点椭圆),那么与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆的公共点的椭圆系方程:(x+又所求的椭圆过1，0点,代入求得=-.因此所求椭圆方程为x2+=1.点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.3.解析 假设按常规,

16、需分两种情况考虑:A,B两点都在椭圆外;A,B两点都在椭圆内.假设借用补集思想那么防止了分情况讨论,使计算简洁.设a的允许值的集合为全集I=a|aR,a0,先求椭圆和线段AB有公共点时的取值X围.易得线段AB的方程为y=x+1,x1,3,由方程组,x1,3,a2的值在1,3内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故a2.a0,a.故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值X围为0a.第4计 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将用这大刀，“水淹七军用这大刀. 数学上的“分析、“分解、“分割等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片是什

17、么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！典例示X例1 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.求证：MN面ADD1A1；求二面角PAED的大小；求三棱锥PDEN的体积.分析 这是个长方体，而“长正好是“宽和“高的2倍，这正是“关羽开门的对象：用刀从中一劈，那么分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.解 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.易知QN和

18、SM都平行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1证毕.插语 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的和，都可转化到正方体里进展从略.【例2】设p0是一常数，过点Q2p，0的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆HH为圆心.试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.【分析】AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：1证|OH|=|AB|.(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|23证AOB=90,即OAOB，等.显然，利用向量知识证=0,当为明智之举.【解答】当ABx轴

19、时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p.显然，满足|OQ|=|AB|,此时Q、H重合,点Q在H上.如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan-2ptan.即tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二实根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故点O仍在以AB为直径的圆上.【分析】()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可防止的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当ABx轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向

20、)，为此又有多种途径:(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=t1-t22的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.【解答】直线AB的倾角为,当=90时，H的半径为2p,SH=4p2.当90时，不妨设0,)，那么综上，|AB|min=4p,当且仅当=90时，SHmin=4p2,相应的

21、直线AB的方程为：x=2p.别解：由1知恒有AOB=90.|2=|=2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，SH=4p2.【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.对应训练1.函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an构成一个数列an,满足f(1)=n2.(1)求数列an的通项公式，并求之值.(2)证明0f旁白 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语. 评语 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.解二作差比拟法

22、-=0旁白 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.评语解题本钱你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.旁白 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.奇解 =1旁白 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.自评 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.旁白 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法就不能解出此题吗？才子答复：当然能！不过需要“统一单调区间，请看下解正解 f (x) = f(x)=ln旁白 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下

23、面的奇文.评语 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.【例1】 向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab=，那么b= ( )A(，) B(,) C.() D1，0【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A()是平行向量，一般考生不能做到.【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又ab=,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.【评说】 此题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！【

24、另解】 设b=(cos,sin),那么ab=(,1)(cos,sin)=cos+sin= sin(60+)=在区间0，上解得：=60.故b=().【评说】 此题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.【错解】 选A者,误在(a，选C者,误在|a|=1.选D者，没有考虑到1，0与x轴平行.【评说】 此题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人.对应训练1.假设奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,那么x|xf(x)3或-3x0 B.x|0x3或x3或x-3 D.x|0x3或-3x02.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲

25、完成后才能进展，工程丙必须在工程乙完成后才能进展，又工程丁必须在工程丙完成后立即进展，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)参考答案1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图1),在图中找出f(x)与x异号的局部,可以看出xf(x)0的解集为x|0x3或-3x0)的草图(如图2),x、f(x)均为R上的奇函数,xf(x)为偶函数,不等式xf(x)0的解集关于原点对称,故先解借助图象得0x3,由对称性得xf(x)0的

26、解集为x|0x3或-3x0,应选D.解析三 借助图1或图2,取特殊值x=2,知适合不等式xf(x)0,排除A、C;又奇奇=偶,xf(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,应选D.【点评】 此题主要考察了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的根底与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比拟快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的根本方法是定义法,如果掌握了一些根本规律,可简化解题过程,如解析二.奇(偶)奇(偶)=奇(偶),奇(偶)奇(偶)=偶.数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需准确作图,只要勾画出图象的大体构造,作出草图即可.2.【分析】

27、 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.【通解】 考察有条件限制的排列问题，其中要求局部元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进展，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进展排列共有A种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A种，故满足条件的排法种数共有=20.【正解】 5个元素设作A,B,C,D,x,y.将排列种数分两类:第一类,x,y相连,在A,B,C,D之间或两头插位,有2C=8种方法.第二类,x,y不连,在A,B,C,D之间或两头插位

28、,有2C=12种方法.【评说】 先分类:“相连与“不连为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.【另解】 5个元素设作A，B，C，D，x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.第1步考虑元素x到位，有5种可能；第2步考虑元素y到位，有4种可能；第3步，A，B，C，D按顺序到位，只1种可能.由乘法原理，方法总数为54=20种.【评说】 “另解比“正解简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，C，D按序到位情况只1种.这点，一般学生不易想通.【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，C，D3元素的限序，那么有xP3=P5

29、x=54=20.【评说】 别解也是“想得好，算得省，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6计 勇士开门 手脚咚咚计名释义一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.典例示X【例1】 x,y, aR，且,那么cos (x+2y)的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【思考

30、】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似到“神似呢？解：由条件得：x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?设f (t)=t3+sint-2a. 当t时，均为增函数，而-2a为常数.上的单调增函数.f (x)= f (-2y)=0.只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是此题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难点.【例2】 向量a= (cos,sin),向量b

31、=(,-1) ， 那么 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( )A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0【解答】 如图，点A(cos,sin)在圆上运动时，延OA到C，使=2a, 求的最值，显然.当与反向时有最大值4,与同向时有最小值0. 选D.【点评】 本例 解题思想很简单，谁不知道“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边呢， 例2题解图为求极值，我们的勇士勇敢地到极地当BOC不复存在时，才有可能取得.【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(-3)=0, 那么不等式f (x)g(x)0的解集是 ( )A.(-3,0)(3,+) B

32、.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x0.F(x)在R上为增函数.F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)g (x).=-F(x).故F(x)为(-,0)(0,+)上的奇函数.F(x)在R上亦为增函数.g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.构造如图的Fx的图象，可知 例3题解图F(x)0的解集为x(-,-3)(0,3).【点评】 本例选自04XX卷12题,是小题中的压轴题，显然，不懂得导数根本知识对待本例是无能为力的，高中 代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地.此题还构造了图形，使问题更有说服力.对应训练1.以下命题正确的选项是 ( )A.假设an和bn的极限都不存在，那么an+bn的极值一定不存在B.假设an和bn的极限都存在，那么an+bn的极限一定存在C.假设an+bn的极限不存在，那么an和bn的极限都一定不存在D.假设an+bn的极限存在，那么an和bn的极限要么都存在，要么都不存在2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+