几何模型：一线三等角模型.doc

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1、. .一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图，“三垂直，“弦图等，以下称为“一线三等角。二.一线三等角的分类全等篇同侧 锐角 直角 钝角 异侧相似篇同侧 锐角 直角 钝角 异侧三、“一线三等角的性质1.一般情况下，如图 3-1，由1=2=3，易得AECBDE.2.当等角所对的边相等时，那么两个三角形全等.如图 3-1，假设 CE=ED，那么AECBDE.3.中点型“一线三等角如图 3-2，当1=2=3，且 D 是 BC 中点时，BDECFD

2、DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当1=2 且时，点 O 是ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角.如图 3-4“中点型一线三等角通常与三角形的内心或旁心相关， 这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4右图中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，那么点 D 是PEF 的旁心.5.“一线三等角的各种变式图 3-5，以等腰三角形为例进展说明 图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进展解题四、“一线三等角的应用1.“一线三等角应用的三种情况.a.图形中已

3、经存在“一线三等角，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角，不上“一等角构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比拟多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是根本手段，尤其是直角坐标系中的X角问题，在 x 轴或 y 轴也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不

4、够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比拟多，很多教师都认为一下子不容易掌握.解题示X例 1 如下图，一次函数与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点不包括 A、B 两端点，C 是线段 OB 上一点，OPC=45，假设OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标.例 2 如下图，四边形 ABCD 中，C=90,ABD=DBC=22.5，AEBC 于 E，ADE=67.5，AB=6,那么 CE= .例 3 如图，四边形 ABCD 中,ABC=BAD=90，

5、ACD=45，AB=3，AD=5.求 BC 的长.例 4 如图，ABC 中,BAC=45，ADBC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图，在ABC 中，BAC=135， AC= AB, ADAC 交 BC 于点 D，假设 AD =， 求ABC的面积当然有45或 135等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种 .大练身手：例7：在平面直角坐标系中，点A1，0

6、，B0，3，C3，0，D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且SBCE2SAOB1求直线AB的解析式；2求点D的坐标，猜测线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；yEDCAOBx3假设F为射线CD上一点，且DBF45，求点F的坐标例8：如图，直线yx2与y轴交于点C，与抛物线yax2交于A、B两点A在B的左侧，BC2AC，点P是抛物线上一点1求抛物线的函数表达式；2假设点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；3假设点P在直线AB的上方，且BPC45，求所有满足条件的点P的坐标BxyCAO练1：.如图，抛物线的顶点为C1，1，且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为3

7、1求抛物线的解析式；2假设点D为抛物线上的一点，且BOD的面积等于BOC的面积，请直接写出点D的坐标；3假设点E的坐标为0，2，点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得OPE45？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由BACOxyE课后作业：如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，假设APB=45，求点P的坐标在四边形ABCD中，ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3,AD=4,求AC的长.如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，EFG为等边三角形，求证：BE+GC=BC如图，ABCDBA,且AC=BC,求证:CD=2AB

8、.如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，求BD的长如图，点A 是反比例X0图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为0，2，点ABC是等边三角形时，求点A的坐标.如图，抛物线yax2bx4与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，直线l：yxm经过点A，与抛物线交于另一点D5，点P是直线l上方的抛物线上的动点，连接PC、PD1求抛物线的解析式；2当PCD为直角三角形时，求点P的坐标；3设PCD的面积为S，请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由yxOABCDl1.如图1,直线y=kx与抛物线 交于点A3，6.1求直线y=kx的解析式和线

9、段OA的长度；2点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M点M、O不重合,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；3如图2,假设点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上与点O、A不重合,点Dm，0是x轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD.继续探究：m在什么X围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？OxyABED图2图1AxyPQMNO如图，直线AC：y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bxca0过A、C两点，与x轴交于另一点BB在A的右侧，且OBCOCA1求抛物线的解析式；2点D为抛物线上一点，DCA45，求点D的坐标；BAOCxy备用图BAOCxy. .word.