微积分在经济学中的应用分析.docx

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1、微积分在经济学中的应用分析李博西南大学数学与统计学院，重庆 400715摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。关键词:微积分;经济学;边际分析Calculuss Applied Analysis in Economics Li boSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: Based on the close relationship between economics and maths,this

2、 paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics.Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1. 数学与经济学的紧密联系经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的

3、,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂事物为对象的经济学,偏导数、全导数、全微分公式在数理经济学中是一些最基本的手段。当这些表达一旦被赋予经济学的含义时,复杂的事物就变得如此清晰可辩,用不着任何多余的文字说明,数学方法可以使正确的经济学理论和科学的研究成果表达的更为准确和精确,可以更好的检验结论和前提是否一致或矛

4、盾,可以更有力地增强研究成果中的结论的正确性。尤其是数学中线性规划理论可以说是为了经济学而创立的。它研究在满足一系列约束条件下能够获得极值的条件。经济学的任务也是在遵守资源约束、生产技术的约束下,求得消费者效用最大化。经济学数学化促进了经济学科学化。经济学要想成为科学理论必须具备以下三个条件:可检验性、逻辑一致性和可积累性,而数学使经济学达到这些条件。经济计量学能够根据经济理论建立模型,再将模型的结论同现实世界相比较,以此来决定理论是成立还是予以修改或者应当抛弃;由于数学具有逻辑的本质,所以能够以逻辑为中介来论证经济学的数学化是可行的,也可以说数学能够显示逻辑的一致性;数学的公理化方法能够提供

5、多样知识的有效积累方式。数学方法在经济学研究中的重要作用,可以从经济学的最高奖项诺贝尔经济学奖的获奖名单中得到证实。考察1969年至2000年三十多年间获该项奖的四十多位经济学家及其他们的获奖成果,其中有四分之三都是因正确地运用了数学方法研究经济理论和经济基础问题而取得重大成果的,特别值得一提的是弗里希教授和丁伯根教授作为“把经济学发展为数学的和定量的科学的先行者”而获得1969年第一届诺贝尔经济学奖这一殊荣的典范;事隔二十多年,1994年诺贝尔经济学奖授予纳什、泽尔腾和海萨尼则又是因为他们用作为现代数学分支的博弈论(主要是非合作博弈论)的模型和方法来研究具有冲突和合作性质的经济问题而取得突破

6、性成果的;2000年瑞典皇家科学院又把诺贝尔经济学奖授予因在微观计量经济学领域做出杰出贡献的美国经济学家詹姆斯赫克曼和丹尼尔麦克法登。 几乎所有的(除了获1974年诺贝尔奖得主哈耶克)获奖成果都用到了数学工具;有一半以上获奖者都是有深厚数学功底的经济学家,还有少数获奖者本身就是著名的数学家,特别像获得1975年诺贝尔奖的苏联数学家康托洛维奇,获1983年诺贝尔奖的法籍美国数学家德布洛,获1994年诺贝尔奖的美国数学家纳什。足见数学方法在经济学研究中的重大作用。2. 微积分的引入确立了边际分析在经济学中的地位19世纪中期的边际革命无疑是现代经济学自建立以来最大的一次变革。边际革命实际是西方经济学

7、在价值理论上的一种新发展,就是用边际效用学说来重新认识和分析价值问题,即产品的价值取决于边际效用的大小。边际分析早在边沁时代就出现,但引入数学微积分带来个人争取极大化经济均衡点的处理,才使得边际分析成为可能,才使它以不可阻挡之势出现在经济学各个分支。边际分析的实质就是经济学家们利用心理学和数学微积分方法对经济学的一个整合。边际分析的数学含义是指自变量发生微小变化时,引起的因变量的变化。这种分析正是用微积分来完成的。可以说没有微积分将无法进行经济活动动态分析和边际分析。2.1 一般均衡理论中的微积分方法经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡

8、条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品市场的供求进行边际分析,从而寻求一个均衡价格体系,使经济达到一般均衡。其思路是由家户商品需求和要素供给及厂商商品供给和要素需求的分析,到整个商品市场和要素市场的一般均衡。家户的行为:先考虑某个家户h的产品需求和要素供给,然后再将所有H个家户的商品需求和要素供给分别相加求得每种商品的市场需求和每种要素的市场供给。家户h的效用取决于它所消费的各种商品数量(，)以及它提供的各种要素数量(，) 。于是家户h的效用函数可写成:= (，

9、; ，) 。家户h的全部收入均来自其要素供给。由于产品和要素价格对单个家户来说是既定不变的常量(产品和要素市场均为完全竞争),且不存在储蓄和负储蓄,故家户h 的全部收入就等于 + +,式中 , 分别为各种要素的价格,家户h在各种商品上的支出则为+ +,式中 ,分别为各种产品的价格。家户h的预算约束即“预算线”为： 于是,家户h是在预算约束的条件下,选择最优的商品消费量即商品需求量和最优的要素销售量即要素供给量,以使其效用函数达到最大。根据在约束条件下的极值原理可知,家户h对每种商品的需求量取决于所有的商品价格和要素价格,即取决于整个经济的价格体系。如:假定某家户的效用函数为:;其预算约束为:。

10、式中,I为家户既定收入。由此可建立拉格朗日函数如下: ;是拉格朗日乘数。于是,在预算约束条件下的效用最大化的条件为: 由这些效用最大化条件可以求得最优消费量和,显而易见,如果改变约束条件中的价格P1和P2,则最优消费量Q1和Q2也将随之变化。这就是说,最优消费量Q1和Q2均是价格P1和P2的函数。上述对单个家户h的讨论也适用于所有其他家户。将所有H个家户对每一种产品的需求加总起来,就得到每一种产品的市场需求;与单个家户的需求情况一样,每一种商品的市场需求显然也是整个经济的价格体系的函数,即有: 。式中，（）,为第i种产品的市场需求。再将所有H个家户对每一种要素的供给加总起来,就得到每一种要素的

11、市场供给;与单个家户的供给情况一样,每一种要素的市场供给显然也是整个价格体系的函数。从而得到结论:存在一组价格,使得所有市场的供给和需求都恰好相等,也即存在着整个经济体系的一般均衡。2.2 宏观经济中的微积分思想凯恩斯在1936年出版的就业利息与货币通论中揭示了经济危机和失业的原因:即有效需求不足带来失业,而需求不足的原因是边际消费倾向递减消费需求不足、资本边际效率递减活动偏好带来投资需求不足。要解决这些问题必须依靠国家的力量进行干预,增加投资需求带动消费需求。于是凯恩斯在边际消费倾向的基础上提出了乘数原理:设投资增量为I ,由I导致的收入增量为Y,则Y= KI ,K就是乘数,即投资增量和由它

12、所引起的收入增量之间的一定比率: ，C为消费增量,为边际消费倾向,乘数是一减边际消费倾向的倒数,乘数与边际消费倾向成正比例,即边际消费倾向越大,乘数就越大,边际消费倾向越小,乘数就越小。所以,要消灭萧条和失业,国家应当鼓励和支持全社会成员尽可能多消费,应当增加货币数量以降低利率,使企业家预期的纯利润相对地提高,也就是提高资本的边际效率,增加投资物的需求,通过乘数作用增加消费品的需求。第二次世界大战后,随着西方实行国家干预程度的提高,有必要弄清决定经济增长的因素和条件。这时,边际分析也被引入了宏观经济增长分析。新古典经济学家认为,总产量和生产要素的投入存在着一定的函数关系,而这种函数关系是同各要

13、素生产力的边际量密切相关的。固然经济增长所要考虑的是总量的变动,但产品总量的变动依赖的是各生产要素边际增量的变动。新古典经济学家接受了希克斯提出的技术进步为“中性”的思想。他们认为“中性”的技术进步会使劳动和资本的边际生产力以相同的比例增长。在一定的资本劳动数量比例下,资本的边际生产力由于技术的进步以和产出量同样的比率增长,同时,资本的平均生产力也以相同的比率增长,所以“, 中性”的技术进步不会影响资本的边际产品,资本K和劳动L 的总收入恰好吸收有着规模变动时报酬不变的现有生产函数条件下的总产量。所以,各生产要素的边际替代率等于1 ,也就是说,劳动和资本对产量增长所做出的贡献的份额不一定相同,

14、但它们的和始终为1。所以“中性”的技术进步实际上指技术进步为相对不变,可以暂时略去技术进步的因素,于是索洛得出这样的结论:。它表示产品的增量等于各生产要素的边际物质产品乘以各生产要素的增量。那么,把各个时期产品的增量汇总,就可得出产品的总量。也可以这么说,产品总价值由各要素所创造的产品或价值之和构成,把这个公式稍一变形就可得到:显然,产量增长率不仅依赖于资本和劳动两者的增长率,而且还依赖于资本和劳动在产量中的相对贡献。而式中的=：，为资本的边际生产率, 为资本的平均生产率,把它变形为，即为资本的生产弹性,同样为劳动力的生产弹性,如果考虑到技术进步的因素,则索洛得出: 新古典经济学家对国民经济增

15、长因素的分析其出发点是边际增量分析。正因为要素的边际生产力是递减的,所以要素的边际产品是不断变动的,而边际产品的变动又取决于要素构成的变动和各要素增长的比例。同时,在完全自由竞争的假设下,各生产要素的价格取决于各自的边际生产力。于是,就可以从生产要素的增量去考虑国民经济总量的运动。由此看到边际分析方法进而微积分分析工具是宏观经济理论的一个不可忽视的分析工具。3. 微积分为最优化理论奠定了基础边际分析研究的是函数边际点上的极值。也就是研究因变量在某一点上(即边际点) 是由递增变为递减,还是由递减变为递增的规律。这种边际点的函数值就是极大值或极小值。边际点的自变量是作为判断并加以取舍的最佳点,而寻

16、找这个可据以做出最优决策的最合理的边际点,正是经济研究的一个焦点。因此,微积分法是研究最优化规律不可缺少的方法。其实,在任何一种经济学说中最优化理论都明里暗里起着重要的作用。因为经济学是研究一个社会应该如何组织起来进行活动,使经济效益达到最佳的一门学问。这里先不说“经济效益最佳”的确切定义是什么,或许是全社会的物质财富最大,或许是逐年消费增长的速度为最大等等,它总是一个求极大值的问题。西方经济学从理论上推出了所谓最佳资源配置、最优收入分配、最大经济效率以及整个社会达到最优的一系列条件和标准。最优化理论成为经济分析的真正基石,也是经济决策的重要依据。实现最优化,相当于要求一切经济活动处于“顶峰”

17、位置,任何一点偏离都要从顶峰向下倾斜,它必然要用到微分方法中令导数等于零的数学原理。3.1 消费者均衡理论消费者均衡理论的核心是:消费者如何获得效用最大化。无论是从基数效用论入手还是从序数效用理论入手,都可以得出相同的消费者均衡条件的结论: ( MU 为边际效用, P 为价格)其分析工具是微积分。基数效用论和边际效用分析法是:设TU表示总效用,以U表示边际效用,Q表示消费者,总效用是边际效用之和。边际效用是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用增量。则总效用函数为: 边际效用为：消费者实现效用最大化的均衡条件是:若消费者货币收入是固定的,市场上各种商品的价格是已知的,那么消费者应

18、该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等(或者说消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱带来的边际效用相等) 。即 （1）其中I 为消费者的最高收入，分别为 n 种商品的价格,为不变的货币边际效用。 分别为n 种商品数量。进而可以求出需求曲线。序数效用论者运用无差异曲线和预算线得到消费者效用最大化的均衡条件为:即在一定的约束条件下,为了实现最大的效用, 消费者应该选择最优的商品组合,使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。(或在消费者的均衡点上,消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量,应该高于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量)以

19、上各种不同的分析方法, 都得出消费者均衡的相同条件,其原因是:由于在保持效用水平不变的前提下, 消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的,即有:上式可以写为: 根据以上两个式子, 序数效用论者关于消费者的均衡条件即上式可改写为: 或 （2）其中为货币的边际效用。并且由式(1)和(2)得到消费者实现效用最大化的均衡条件与序数效用论者关于消费者的均衡条件是相同的。3.2 最大的生产要素组合在生产理论中,为了简化分析,通常以两种可变生产要素的生产函数来考察长期生产问题。假定生产者使用劳动和资本两种可变生产要求来生产一种产品,则两种可变生产要求

20、的生产函数为:L 为可变要求劳动的投入量, K 为可变要求资本的投入量, Q 为产量厂商可以通过对两投入要素的不断调整实现既定成本条件下的最大产量的要素组合。假定要素市场上既定的劳动的价格即工资率为,既定的资本的价格即利息率为r , 厂商既定的成本支出为C ,则成本方程为: ，C 在一定的条件限制下,即: 建立拉格朗日方程： 产量最大化的一阶条件为: （3） （4）由（3）、（4）式得: 由此得既定条件下实现最大产量的要素组合原则:即厂商通过对两要素投入量的不断调整,使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量极高, 从而实现既定成本条件下的最大产量。4. 对待在经济学中

21、使用数学方法的问题上应持的态度中国现阶段产生的经济学是否数学化这个争论的本质不是在于经济学研究方法其中的一种数学方法本身,而是有些人用数学方法的功利性在作怪,要批判的是这种“工具理性”和“科学主义”的倾向性。我国经济学的一代宗师陈岱孙先生曾说过:“我们过去对于定量分析忽视了,数学本来是一个严密的分析工具,没有理由不让它为我们研究的经济服务。这决不是否定定性的研究。我们更要反对滥用数学,把经济探讨变成数学游戏。”虽然数学方法本身也存在局限,但这会随着经济理论的发展和方法的创新得以完善,这就需要发挥人的主观能动性,是要去建设而不是破坏数学方法本身。现在讨论这个问题的人更多的看到的是数学方法本身,而

22、不是对研究者采用这种方法的内在动因进行深入的分析。因此我们在对待经济学中使用数学方法的问题上既要反对违背经济理论和经济现实,一味从主观出发的先验假设建立起来的各种经济模型以及这种不良的研究风气,也要反对不问青红皂白带着有色眼镜来看待数学方法在经济学中广泛应用的偏激思想。对此我们应持的态度是:对一般技术性较强的经济学,可以运用数学方法来确定经济政策的力度和边界,预测经济政策的直接和间接效果的。比如产业结构、经济增长率、货币增长率、物价上涨率、失业率、工资率、基尼系数、税率、利率、汇率、开放度、外债率等国民经济参数的临界值。但同时要注意社会经济毕竟是人造的社会系统,应用数学方法应该有一定的限制。参

23、考文献:1 鲁迪格多恩布什,斯坦利费希尔,理查德斯塔兹,等.宏观经济学M.中国财政经济出版社,2003.44-80.2 平狄克,鲁宾费尔德,等.微观经济学M.中国人民大学出版社,2000.123-149.3 朱柏铭,曹前进. 试论经济学研究中数学方法的运用J.嘉兴学院学报, 2002,(01) .4 罗后平. 谈数学在经济学中的运用J. 统计与预测, 2002,(06).5 程冬时. 试论数学对经济学的意义J. 企业经济, 2003,(11).6 史树中. 诺贝尔经济学奖与数学J. 高等数学研究, 1998,(02).致谢：经过近三个月的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕

24、业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师李忠如老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的 在这里首先要感谢我的导师李忠如老师李老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导除了敬佩李老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作 然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励此次毕业设计才会顺利完成 最后感谢我的母校-西南大学四年来对我的大力栽培第 9 页 共 10 页