实变函数试题库答案.doc

《实变函数试题库答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数试题库答案.doc（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、. .实变函数试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A、全体自然数 B、0,1 之间的实数全体 C、0, 1上的实函数全体 D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体整数 C、全体小个子 D、x：x1 3、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体整数 C、x：x1 D、全体胖子4、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、全体整数 C、x：x1 D、全体瘦子5、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体小孩子 B、全体整数 C、x：x1 D、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是:（ ） A、全体实数 B、

2、全体大人 C、x：x1 D、全体整数 7、设, I为全体实数, 则= ( ) A、(-1, 1) B、(-1, 0) C、(-, +) D、(1, +)8、设, , 则= ( ) A、(-1, 1) B、(-1, 0) C、0, 1 D、-1, 19、设, , 则= ( ) A、(0, 1) B、0, 1 C、0, 1 D、(0, +)10、设, , 则= ( ) A、1, 2 B、(1, 2) C、 (0, 3) D、(1, 2)11、设, , 则= ( ) A、(-1, 1) B、0, 1 C、 D、012、设, , 则= ( ) A、(-1, 1) B、0, 1 C、 D、013、设,

3、, ,则( ) A、0, 2 B、0, 2 C、0, 1 D、0, 114、设, , , 则( ) A、0, 2 B、0, 2 C、0, 1 D、0, 115、设, , 则( ) A、 B、0, n C、R D、(0, )16、设, , 则( ) A、(0, 1) B、(0, ) C、0 D、17、设, , , 则( ) A、 B、(0, ) C、(0, n) D、(0, )18、设, , , 则 ( ) A、 B、(0, ) C、(0, n) D、(0, )19、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(A-B)= ( ) A、B B、A C、AB D、AB20、设A 、B 、C是三个集合, 则

4、A-(BC)= ( ) A、(A-B)(A-C) B、(A-B)(A-C) C、AB D、AC21、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(BC)= ( ) A、(A-B)(A-C) B、(A-B)(A-C) C、AB D、AC22、设A 、B 、S是三个集合, 且, , 则= ( ) A、 B、 C、 D、23、设A 、B 、S是三个集合, 且, , 则= ( ) A、 B、 C、 D、24、设A 、B 、C是三个集合, 则A-(B-C) = ( ) A、 AC-B B、 A-B-C C、 (A-B)(AC) D、 C-(B-A)25、集合E的全体内点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、

5、边界 C、导集 D、闭包26、集合E的全体聚点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包27、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包28、E-E所成的集合是 ( ) A、开核 B、边界 C、外点 D、E的全体孤立点29、E的全体边界点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包30、设点P是集合E的边界点, 则 ( ) A、P是E的聚点 B、P是E的孤立点 C、P是E的内点 D、P是的边界点31、设, 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(, 1) C、0, 1 D、(0,

6、2)32、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(0, 2) C、(-1, ) D、(-1, 2)33、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(3, 4) C、(0, 4) D、 (1, 4)34、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(0, 3) C、(0, 4) D、(1, 4)35、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(0, 1) B、(0, 2) C、(1, 2) D、(1, 4)36、设, , 则下列那一个是G的构成区间: ( ) A、(, ) B、(1, 2) C、(0,

7、 1) D、(-1, 0)37、若 ，则下列命题错误的是： ( ) A、 B、AB C、 D、38、若, 则下列命题正确的是：（） A、 B、 AB=C C、 D、A的孤立点B的孤立点=C的孤立点39、若, 则下列命题错误的是：（） A、 B、 C AB C、 D、A的孤立点B的孤立点=C的孤立点40、设 是A的余集，则下列命题正确的是：（） A、 B、 C、C(A)（CA）D、41、设AB=C, 则下列命题正确的是：（） A、 B、 C、ABC D、A的孤立点B的孤立点=C的孤立点42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（） A、是闭集B、A是闭集 C、是闭集 D、 是闭集43、若A

8、是闭集，B是开集，则AB是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断44、若A 是开集，B是闭集，则AB是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断45、若是一开集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断46、若是一开集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断47、若是一闭集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断48、若是一闭集列，则是：（） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断 49、若，则（ ）A、0 B、1 C、2 D、3 50、下述结论（ ）正确.A、 B、 C、 D、 5

9、1、下列说法正确的是（ ）A、在（0，1）有限 B、在无界C、，在0，1有限 D、，在0，1有界 52、函数列在0，1上（ ）于0.A、a，e一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、基本上一致收敛 53、设E是0，1中的不可测集， 则下列函数在0，1上可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 54、若可测，则它必是（ ）.A、连续函数 B、单调函数 C、简单函数 D、简单函数列的极限55、若，则（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 56、下列说法不正确的是（ ） A、E的测度有限，则E必有界 B、E的测度无限，则E必无界 C、有界点集的测度有限 D、的测度无限 57、（4-4-2-1）下述论断

10、正确的是（ ） A、在无界 B、在有限 C、在有界 D、在有限 58、函数列在0, 2上（ ）于0. A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 59、设其中E是0,1的不可测集，则下列函数在0, 1可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的. A、边界点 B、内点 C、聚点 D、孤立点.61、是康托尔（cantor）集，则（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 62、设A是B的真子集，则（ ） A、 B、 C、 D、 63、下列说法正确的是（ ） A、在无界 B、在有限 C、在有界 D、在有限 64、函数列在上（ ）于0.

11、 A、收敛 B、一致收敛、 C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 65、设E是0, 1上的不可测集，则下列函数在0, 1可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 66、设E为可测集，则下列结论中正确的是（ ） A、若在E上a, e收敛于一个a, e有限的可测函数，则一致收敛于 B、若在E上a, e收敛于一个a, e有限的可测函数，则基本上一致收敛于 C、若在E上a, e收敛于一个a, e有限的可测函数，则 D、若在E上基本上一致收敛于，则a, e收敛于67、G表示康托尔（cantor）集在0,1中的余集，则mG=（ ） A、0 B、1 C、2 D、368、设都可测，则（ ） A、可测 B、

12、不可测 C、可能可测也可能不可测 D、以上都不对 69、下列说法正确的是（ ） A、在上无界 B、在上有限 C、在上有限 D、在上有界 70、函数列在上（ ）于0 A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 71、设，其中E是0, 1上的不可测集，则（ ）在0, 1可测. A、 B、 C、 D、 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ） A、它们是同一概念 B、a, e有限的可测函数是连续函数 C、a, e有限的可测函数是基本上连续的函数 D、a, e有限的可测函数是a, e连续的函数73、( ) A、1、 B、2 C、3 D、4 74、A可测，B是A的真子

13、集，则（ ） A、 B、 C、 D、以上都不对 75、下列说法正确的是（ ） A、在(0, 1)有限、 B、在无界 C、在0, 1有限 D、在0, 1有界 76、函数列在上（ ）于0. A、收敛 B、基本上一致收敛 C、一致收敛 D、a.e.一致收敛 77、设其中E是0, 1上的不可测集，则（ ）在0, 1上是可测的. A、 B、 C、 D、 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ） A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限是可测函数 C、简单函数与可测函数是同一概念 D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 80、L可测集类，对

14、运算（ ）不封闭. A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和. 81、下列说法正确的是（ ） A、在无界 B、在有限 C、在0, 1有限 D、在0, 1有界 82、函数列在上（ ）于0. A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、a.e.一致收敛 83、设E是中的不可测集， 则下列函数在上可测的是（ ）. A、 B、 C、 D、 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ） A、依测度收敛不一定一致收敛B、依测度收敛不一定收敛 C、若在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数，则 D、若，则存在子列a.e.收敛于85、设是可测集上的非负可测函数，则（ ）A、必可积 B、必

15、几乎处处有限 C、必积分确定 D、不一定积分确定86、设在可测集上可积，则在上（ ）A、与只有一个可积 B、与皆可积C、与不一定可积 D、与至少有一个不可积87、设（），是上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A、在上不一定可测 B、在上可测但不一定可积C、在上可积且积分值为0 D、在上不可积88、在可测集上可积的必要条件是，为（ ）A、连续函数 B、几乎处处连续函数 C、单调函数 D、几乎处处有限的可测函数89、设为狄立克雷函数，则（ ）A、 0 B、 1 C、1/2 D、不存在90、设为Cantor集的特征函数，则（ ）A、 0 B、 1/3 C 、2/3 D、 1填空题1、设A为一集合，B

16、是A的所有子集构成的集合；若=n, 则= 2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集, 则= 3、若, , 则 4、若, B是一可数集, 则 5、若, , 则 6、若是一集合列, 且, 7、若是任意集族, 其中I是指标集, 则= 8、若是任意集族, 其中I是指标集, 则= 9、若是任意集族, 其中I是指标集, S是一集合, 则= 10、若是任意集族, 其中I是指标集, S是一集合, 则= 11、若是任意一个集合列, 则 12、若是任意一个集合列, 则 13、欧氏空间中, 任意两点, 的距离d(x, y)= 14、Ca, b空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x

17、, y)= 15、空间中, 任意两元素 , 的距离 d(x, y)= 16、欧氏空间中, 任意两点, 的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间中, 任意两点, 的距离d(x, y)= 18、欧氏空间中, 任意两点, 的距离d(x,y)= 19、设,则= 20、设, , 则=21、设,则= 22、设,则=23、设, , 则 =24、设, , 则= 25、设A= 0, 1 , B = 3, 4 , 则 d(A, B) = 26、设C是康托完备集, G= 0, 1C , 则d (C, G) =27、设C是康托完备集, 则C的半径= 28、两个非空集合A, B距离的定义为 d (A, B ) = 29

18、、一个非空集合A的直径的定义为= 30、设A = 0, 1 Q, 则= 31、，对每一列覆盖E的开区间，定义_。 32、设是一列递增的可测集合，则_。 33、设是定义在可测集上的实函数，若，有_，则称在E上可测。 34、的定义为_。35、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“型集类”。那么A，B，C，D的关系是_。36、I是区间，则mI=_ 37、a, b上的连续函数及单调函数都是_。 38、叶果洛夫定理反映了_与_的关系。39、设，E有界，I为任一包含E的开区间，则_ 40、称为测度的_ 41、可测集上的连续函数都是_。 42、可测函数列的极限是_。43、若，则，这称

19、为外测度的_。 44、若集合G能表示成_则称G为集。 45、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的_。 46、几乎处处是与_有关的概念。47、设，若对都有_则称E是L可测的。48、若集合F能表示成_则称F为集。 49、E上的简单函数，指的是对E进行有限不变可测分解后，每一个可测子集上都取_的函数。 50、鲁金定理反映了_与_的关系。51、设是一列递减可测集合，且， ，则_。 52、L可测集和波雷尔集相差一个_。 53、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果_。 54、函数列在不一致收敛于1，且不_收敛于1。55、设在可测集上可积，则（ ）56、（叙述积分的绝对连续性）设在上可积

20、，则对任何可测集，有（ ）57、设为Cantor集，则（ ）58、设为Cantor集，则（ ）59、设为有理数集，则（ ）60、设为自然数集，则（ ）简答题1、构造自然数全体到偶数全体的一一映射.2、构造(0, 1)到R的一一映射.3、构造(0, 1)到 0, 的一一映射.4、构造能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射.5、构造(0,1)到(0, 1)(2, 3) 的一一映射.6、构造奇数全体到偶数全体的一一映射.7、（请说明：在上的函数列，不测度收敛于8、请叙述L测度的可列可加性。9、若在可测集E上可测，则，在E上也可测。10、请指出L可测集和集的关系。11、用可测函数的定义说明狄里克

21、雷函数在0, 1可测。12、从基数的角度请举出三种零测集的例子。计算题1、设 ，计算。 2、设 ，计算 。3、设，计算 。 4、设为Cantor集， ，计算 。 5、设为Cantor集， ，计算。6、设为Cantor集， ，计算。7、求。8、求。9、求。10、求。11、求。12、求。判断题1、0, 1 = 1, 0 ( ) 理由： 2、任意两个集合A 、B, 都有, 或 ( ) 理由： 3、任意集合都有子集 。 （ ） 理由： 4、 （ ） 理由： 5、= ( ) 理由： 6、=0 ( ) 理由：7、若一个点不是E的聚点, 则必然也不是E的内点. ( ) 理由：8、E的外点全体和E的余集是相同

22、的. ( ) 理由：9、E的内点必然属于E. ( ) 理由：10、E的孤立点必然属于E ( ) 理由：11、E的边界点一定不属于E ( ) 理由：12、E的聚点必然属于E ( ) 理由：13、若可测，则E和F都可测。（ ） 理由： 14、若，a.e.于E，在可测集E上可测，则也在E上可测（ ）。 理由：15、两个集合的基数相等，则它们的外测度相等。（ ） 理由： 16、若在可测集E上可测，则也可测。（ ） 理由：17、若，且，a, e于E（ ） 理由：18、设都可测，则也可测，且。（ ） 理由：19、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（ ）。 理由：20、无限集的外测度一定不为零

23、。（ ）理由： 21、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（ ）理由：22、若可测集A是可测集B的子集，且，则（ ） 理由： 23、若都可测，则f在可测集E上也可测（ ）理由：24、若E可测，A可测，且 ，则。（ ） 理由：证明题1、任意无穷集合包含一可数子集.2、若A是一个可数集合, B 是一个有限集合, 则是可数集.3、若A和B都是可数集合,则是可数集.4、有理数全体成一可数集。5、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。6、空间中, 是一个可数集合. 7、证明：集合E可测的充要条件是对于任意，总有 8、设是上a.e.有限的可测函数，则对于任何及，存在连续函数，

24、使9、证明：对，E可测的充要条件是可测。 10、设函数列在E上依测度收敛于，且，a.e.于E，n=1, 2, ，则在E上a.e.成立。11、证明：可数点集的外测度为零。 12、（设函数列在有界集E上基本上一致收敛于，证明在E上a.e.收敛于13、设是n个互不相交的可测集合，。证明： 14、证明：若，则在E上a.e.成立。15、若，则E可测。 16、设，试证。17、设A可测，B为任意集合，证明： 18、设，证明：19、设是上的可积函数，则20、设，是上的有界可积函数，则对任何可测集，有21、设由中取出个可测子集，假定中任一点至少属于这个集中的个，试证必有一集，它的测度大于或等于。22、试从，求证

25、：。23、设为上的可积函数列， a.e. 于，且，为常数，则可积。24、设在上可积，且，则 a.e. 于。实变函数试题题库参考答案一、选择题1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 4

26、9、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:对于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；1

27、8、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可测；34、有；35、；36、；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、（开）；45、推广；46、测度；47、；48、，（闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( ) 理由: 集合具有无序性 2、( ) 理由: 举一反例, 比如: 取

28、A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ ） 理由:符号表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( ) 理由:表示没有任何元素的集合,而表示单元素集合,这个元素是6、( ) 理由: 表示没有任何元素的集合,而0表示单元素集合,这个元素是0 7、( ) 理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点 8、( ) 理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( ) 理由: 有内点的定义可得. 10、( ) 理由: 有内点的定义可得. 11、( ) 理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E. 12、

29、( ) 理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E 13、（）理由: 因有若，E不可测，而可测 14、（）理由: 因 两可测集的并可测。15、（） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（） 理由: 反例：， 把是按n后按j的顺序形成的函数列 18、（） 理由: 因的测度可能无限 19、（） 理由: 因若（可测），则20、（） 理由: 反例：自然数集外测度为零。21、（） 理由: 若是E的不可测集就不行。22、（） 理由: 反例：，23、（） 理由: 因，存在单调下降趋于c的有理数列， 则有 ，故可测。24、（） 理由: 因四、简答题1、答: 令f(2n)

30、 = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面验证f是自然数全体到偶数全体的一一映射.（1） 设m自然数全体, n自然数全体且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)0, 则m、n为偶数，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 则m、n为奇数，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f 是单射。（2） 对于任意的m偶数全体若m=0, 则有f(1)=0 ;若m0, 则有f(m)=m;若m0, 则有f(1m)=m故而f是满射。有（1）（2）得f是一一映射。2、答：令f(x)=tg(x)， 下证f(x)是(0, 1)到R的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x

31、)是(0, 1)上的严格单增连续函数，且f(0, 1) =R 所以f(x)是(0, 1)到R的一一映射. 3、答：令f(x)=tg(x)， 下证f(x)是(0, 1)到0, 的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单减连续函数，且f(0, 1) = 0, 所以f(x)是(0, 1)到0, 的一一映射. 4、答：令f(3n)= n n = 1, 2, 下证f是能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射(1) 对于任意的 3m, 3n能被3整数整除的正整数若f(3m)=f(3n) 则有m=n, 所以f是单射 (2) 对于任意的n正整数全体 显然有3n能被3整数整除的正整数

32、且f(3n)=n 即f是满射由（1）（2）得f是能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射.5、答: 令f(x)= 2x 当x(0, ) ; f(x)=2x+1 当x(, 1). 由 f(x) 的单调性, 易知f(x)是(0,1) 到(0, 1)(2, 3) 的一一映射.6、答: 令f(x)=x+1, 显然，f(x)是奇数全体到偶数全体的一一映射. 7、答：因对。有 这样，故。8、答：，可测9、答：因1 分 2时 3时 故cf在E上可测。 10、答：设E是L可测的，F是集，则存在零测集N，使E = F + N11、答：因 而0, 1，均可测，故可测。12、答：有限集，可列集，康脱尔集。分五、

33、计算题 1、解：因为有理数集的测度为0， 故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。 2、解：因为有理数集的测度为0， 故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。 3、解：因为有理数集的测度为0， 故在上几乎处处有 。 这样利用积分的性质得：=。 4、解：因为， 故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。 5、解：因为 ， 故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。 6、解：因为，故在上几乎处处有 。这样利用积分的性质得：=。 7、解：令，则。而。 故由Lebesgue控制收敛定理得： 。 8、解：令，则。 而，且函数在上可积。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 9、解：令，则。而。 故

34、由Lebesgue控制收敛定理得：。 10、解：令，则。 而，且函数在上可积。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 11、解：令，则。而。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 12、解：令，则。 而。 故由Lebesgue控制收敛定理得：。 六、证明题1、 证明: 设A为一无穷集合, A不空, 任意取一元素 , 因为A是无穷集合, 所以不空, 任意取一元素, 同理不空, 任意取一元素, ，依次取下去, 得一个集合。 令f()=n ，显然 f是到N的一一映射。故而是A的可数子集. 2、证明:令C=BA, 则CB,若C是空集，则A是可数集. 若C不是空集，则C是有限集，设C= A=，显然其中，。当