实变函数与泛函分析要点.doc

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1、. .实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求：1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3、 会求已知集合的并、交、差、余集。4、 了解对等的概念及性质。5、 掌握可数集合的概念和性质。6、 会判断己知集合是否是可数集。7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章 点集 基本要求：1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、 会求己知集合的开集

2、和导集。5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。7、 了解Peano曲线概念。主要知识点：一、基本结论：1、 聚点性质2 中T1聚点原则：P0是E的聚点 P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列Pn，使PnP0 （n） 2、 开集、导集、闭集的性质2 中T2、T3T2：设AB，则AB，。T3：（AB）=A B.3、 开（闭）集性质（3中T1、2、3、4、5）T1：对任何ER，是开集，E和都是闭集。（称为开核，称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE

3、是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集， 是一开集族UiiI它覆盖了F（即FUi），则 中一定存在有限多个开集U1，U2Um，它们同样覆盖了F（即F Ui）（iI）4、 开（闭）集类、完备集类。开集类：R，开区间，邻域、P闭集类：R，闭区间，有限集，E、E、P完备集类：R，闭区间、P二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。第三章 测度论 基本要求：1、 理解外测度的概念及其有关

4、性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。6、 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。 要点归纳：外测度：定义：ER Ii（开区间） Ii E m*（E）=infIi性质：(1) 0m*E+（非负） （2）若AB则m*A m*B（单调性） （3）m* （Ai）m*Ai（次可列可加性）可测集：ER 对任意的TR有：m*（T）= m*（TE）+ m*（TCE）称E为可测集，记为mE 其性质： 1）T1：E可测 AE BCE使m*（AB）= m*

5、A+ m*B 2）T2：E可测CE可测运算性质：设S1、S2可测S1S2可测（T3）； 设S1、S2可测S1S2可测 （T4）； 设S1、S2可测S1-S2可测 （T5）。S1、S2Sn 可测Si可测 （推论3） Si可测（T7）S1、S2Sn 可测，SiSj=Si可测 m(Si)= m(Si)(T6)Si递增,S1S2S3lim(Si)=lim mSi=Ms(T8)Si递降可测, S1S2S3当mS1是可测集，称（x）是E上的可测函数可测任意的R E是可测集任意的R E是可测集 任意的R E是可测集任意的，R E是可测集 （ 在Ei上可测（3） （四则运算） ，g在E上可测+g，g，1/ 在

6、E上可测。（4） 极限运算 n是可测函数列，则=inf n（x）=sup n可测（T5）F=lim n G= n可测（5） 与简单函数的关系：在E上可测 总可以表成一列简单函数n的极限函数 =n，而且可以办到1232.opO定理：mE0 存在子集EE 使得n在E上一致收敛 且m（E-E）0 闭子集EE 使得在E上连续 且m（E-E）即在E上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。5三种收敛之间的关系：（ER mE+）一致收敛测度收敛几乎处处收敛 （ Riesz：fnf 则 fnif a.e于E ） Lebesgue：

7、1） mE+；2）fn E 上a.e有限的可测函数列;3) fn E 上a.e收敛于a.e有限的f fnf(x) 在此mE+条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛 补充定理(见复旦3.2 T5) mEa 是可测集（2） 集合分解法，E=Ei EiEj= f在Ei 上可测（3） 函数分解法，f可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（1，T8）（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章 积分论 基本要求：1、 了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L可积和L积分的概念。2、 掌握有界函数L积分的性质。3、 理解非负函数L积分与L可积的概念。4、 理解一般函数的

8、L积分确定、L积分与L可积的概念。5、 掌握一般函数的L积分的性质。6、 掌握L积分极限定理。7、 弄清L积分与R积分之间的关系。8、 熟练掌握计算L积分的方法。9、 会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。10、 了解有界变差函数的概念及其主要性质。11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。Lebesgue积分1、 Riemann积分 分割、作和、取确界、求极限。2、 Lebesgue积分定义1：E=Ei,各Ei互不相交，可测，则称Ei为E的一个分划，记作D=Ei定义2：设f是定义在ER（mE）上的有界函数，D=Ei令B=f（x） bi=f（x）大和S（D，f）=BimEi

9、= S（D，f）小和（D，f）=bimEi=（D，f）（D，f）S（D，f）定义3：设f是定义在ER（mE）上的有界函数上积分：f（x）dx=inf S（D，f） 下积分： f（x）dx=sup （D，f）若上下积分相等，则称f在E上可积，其积分值叫做L积分值，记（L）E f（x）dxT1：设 f是定义在ERq（mE）上的有界函数，则f在E上L可积任意的 0 S（D，f）- （D，f）T2：f在E上L可积f在E上可测 （*） 对有界函数而言，L可积可测T3：f，g有界，在E上可测，fg，fg，f/g，f可积T4：f在a，b上R可积L可积，且值相等 *L积分的性质：T-1（1）：f在E上L可积，

10、则在E的可测子集上也L可积；反之，E=E1E2 E1E2= E1、E2可测，若f在Ei上L可积，则f在E上可积Efdx= E1fdx+ E2fdx （积分的可加性）（2）f，g 在E上有界可测 E（f+g）dx=Efdx+Egdx （3）任意cR Ecfdx=cEfdx （4）f，g在E上L可积，且fg 则EfdxEgdx 特别地，bfB Efdx bmE，BmE 推论1：（1）当mE=0 Efdx=0 （2）f=c Efdx=cmE（5）f在E上可积，则f可积，且EfdxEfdx T-2 （1）设f在E上L可积 f0 Efdx=0 则 f=0 a.e于E （2）f在E上L可积，则对任意的可测

11、集A属于E 使Afdx=0 （绝对连续性） 推2：设f，g在E上有界可积，且f=g a.e于E 则 Efdx= E g dx 证明思路: E=E1E2 E1E2= E1=EfgE (f- g)dx = E1 +E2 (f- g)dx=0 注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集 上无定义亦可. 2)从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变一般函数的积分一、 非负函数：f, EE二、 定义:f0 EE mE f(x)n=称fn为（E上）截断函数 性质：（1） f(x)n 有界非负， fn （2）单调 f1f2f3 （3）fn=f（x）定义1：设f为非负（于E

12、）可测（mE）称Efdx=Efnd x（若存在含无穷大）为f在E上的L积分当Efnd x为有限时，称f为在E上的非负可积函数注：非负可积一定存在分 L积分 非负可积 三、 一般函数的积分设f在E（mE+）上可测， f f 在E上非负可测，则f 可测E f dx E fdx存在 f= f- fE f dx=E f dx-E fdx 定义 2：设f在E（mE+）上可测，若E f dx和E fdx不同时为+则称f在E上积分确定当E f dx+时，则称f在E上L可积注：f可测 f的积分确定 f可积有界函数 非负函数 一般函数 mE+L积分的性质：定理1-（1）：若 mE=0，则 E f dx=0 （2

13、）：f在E上可积mEf=+=0 f有限a.e于E同（R）（3）：f在E上积分确定 f在可测子集E1E上积分确定 E=E1E2(4):f在E上积分确定,f=g a.e于E则f,g的积分确定且相等几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等) 同(R)(5):f,g在E上非负可测E(f+g) dx=E f dx+E fgdx 同(R)(6): f,g在E上积分确定fg E f dxE fgdx L可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略)积分极限定理 T-1 L控制收敛定理设1）fn是E上一列可测函数 2）fnf（x） f为L可积函数 3）fnf（fnf a.e 于E）则f是E上L可积函数

14、,且E fnd x=E fd xL有界收敛定理设1）是E上一列可测函数, mE+ 2）K（常数） 3）（a.e 于E）则是E上L可积函数,且Edx=E dxT-2(Levi)设是E上一列非负可测函数, 则Edx=EdxT-3设是E上一列非负可测函数,则Endx=Edx (逐项积分定理)T-4(积分的可数可加性)f在可测集EE上的积分确定,且E=Ei其中Ei为互不交的可测集, 则 Edx=Eidx有界变差函数 分划:T:a=x0 x1x2=constT-4(Lebesgue)设Va，b,则1) 在a，b上几乎处处存在导数f(x)2) f(x)在a，b上可积3) 若f是增函数,有 f(x)dxf(

15、b)-f(a)不定积分定义1:设在a，b上L可积, La，ba,xdx称为在a，b上的不定积分定义2:设F(x) 是a，b上的有界函数,0 ，0 ai,bi不交,只要( bi- ai) 就有F(bi)-F(ai)0，存在0 使d（x，x）时，d（Tx，Tx）0（），当，时，必有（xn，x）则称xn是中的柯西（Cauchy）点列或基本点列，如果（X，d）中每一个柯西点列都收敛，则称（X，d）是完备的度量空间有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，而l是完备的度量空间度量空间中任一收敛点列是柯西点列；反之，度量空间的柯西点列未必收敛：完备度量空间的子空间，是完备空间的是中的闭子空间，（，上实系数多

16、项式全体作为，的子空间）是不完备的度量空间、等距同构定义：设（X，d），（，）是两个度量空间，如果存在从X到上的保距映照T，则称（X，d）与（，）等距同构，此时T称为上的等距同构映照T：（度量空间完备化定理）设（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间（，） 使（X，d）与（，）的某个稠密子空间W等距同构，而且在等距同构下是唯一的。即若（，）也是一个完备的度量空间，且X与的某个稠密子空间等距同构，则（，）与（，）等距同构。T：设X=（X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间=（，），使X为的稠密子空间6、压缩映照定义：X是度量空间，T是X到X的映照，如果存在一个数，0x+yY xYY

17、是X的子空间，X和0是平凡子空间。 线性相关，无关概念M是X的非空子集，M中任意有限个向量线性组合全体记为spanM称为由MX成的包定义：X是线性空间，M是X中线性无关子集，若spanM=X，则称M的基数为X的维数，记为dimX，M称为X的一组基，M的基数是有限时，则称为有限维线性空间，如果X只含有零元素，则称X 为0维线性空间。8、线性赋X空间定义：设X为实（复）线性空间，如果对每一个向量xX，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并且满足：ix0 且x=0 x=0iix=x其中为任意实（复）数iiix+yx+y x，yX则称x为向量x的X数，称X按X数x成为线性赋X空间xn是中的点列，如果存

18、在xX，使xn -x0 （n）则称xn依X数收敛于x，记为xnx（n）或 xn= x令d（x，y）=x-y 是由X数导出的距离，由此观之线性贱X空间实际上是一种特殊的度量空间。 若d由导出，对任意的R，x，yX，有： （a） d（x-y，0）= d（x，y）； （b）d（x，0）=| d（x，0）反之，X是线空间，d是距离，满足（a）和（b），那么一定可以在X上定义X数x使d是由X数导出的距离， x=d（x，0）x是x的连续函数，事实上，任意x，yX，由X数条件2）和3）易证 | y-x|y-x，所以，当xn -x0时xnx 完备的线性赋X空间称为巴拿赫空间（Banach Spaces）1）

19、Rx=（|i| ） 构成Banach空间2） Ca，b x=sup|x（t）| 构成Banach空间3） :x=sup|i|构成Banach空间4） La，b p=（|（x）|dx）1/p构成Banach空间 p1证明需用到引理1 和2引理1：（Hlder不等式）设p1，1/p+1/q=1， La，b g La，b 那么，g在a，b上L可积且成立：|（x）g（x）|dxpgq引理2：（Minkowsky不等式）设p1，g La，b，那么+g La，b 且成立：+gpp+gpT-2：La，b （p1）是Banach空间5）lx=（|i| ）1/p是Banach空间T-3设X是n维线性赋X空间，（

20、e1，e2，en）是X的一组基,则存在常数M和M使对一切 x=iei成立Mx(|i| ）Mx推论1:设在有限维线性空间上,定义了X数x和x1那么必存在常数M和M 使得 Mxx1Mx定义2:设R是线性空间, x1和x2是R上两个X数,如果存在正数c1,c2,使对一切xR,成立: c1x2x1c2x2则称(R, x1)和(R, x2)是拓扑同构的推论2:任何有限维赋X线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋X线性空间彼此拓扑同构.第七章 线性赋X空间和线性连续泛函 基本要求：1、 理解线性算子、线性泛函的概念。2、 掌握线性有界算子的概念和有关性质，以及二者这间的关系。3、 了解算子的X数

21、的概念，熟悉一些线性有界算子的例子，并知道无界算子是存在的。4、 了解线性有界算子空间的概念和性质。5、 掌握共轭空间的概念和性质，知道一些特殊空间的共轭空间。算子定义：线性赋X空间X到Y的映照T被称为算子，如果Y是数域，则被称为泛函线性算子和线性泛函 T1： 设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，()是X的线性子空间，T为到Y中的映照，如果对任意的x，y ，及数，成立： T（x+y）=Tx+Ty （1） T（x）=Tx （2）则称T为到Y中的线性算子，其中称为T的定义域，记为（T），T称为T的值域 记为(T)，当T取值于实（或复）数域时，称T为实（或复）线性泛函几种常见的线性泛函： 1、相

22、似算子Tx=x 当=1时，恒等算子，零算子； 2、P0，1是0，1上的多项式全体，定义微分算子，若t00，1，对xP0，1，定义（x）=x（t0）则是P0，1上的线性泛函。 3、积分算子 xCa，b Tx（t）=x由积分线性性质知T为线性泛函，若令=x则是Ca，b中的线性泛函 4、乘法算子 Tx（t）=tx（t） 5、R中的线性变换是线性算子线性有界算子 定义：设X和Y是两个线性赋X空间，T是X的线性子空间（T）到Y中线性算子，如果存在常数c，使对所有x（T），有：Txcx，则称T是（T）到Y中的线性有界算子，当（T）=X时，称T为X到Y中的线性有界算子，简称为有界算子。否则，称为无界算子。T

23、-1：设T是线必性赋X空间X到线性赋X空间Y中的线性算子，则T为有界的充要条件是T是X 上的连续算子。T-2：设X是线性赋X空间，是X上线性泛函，是X上连续泛函的的零空间（）是X中的闭子空间。定义：T为线性赋X空间X的子空间（T）到线性赋X空间Y中 线性算子，称Tx=s u p Tx/x 为算子T在（T）上的X数 x0,x（T） 引理：T是（T）上线性有界算子，成立T=s u p Tx/x=Tx=s u p Tx/xx（T）,x=1 x（T）,x1 线性算子空间和共轭空间X和Y是两个线性赋X空间,以(XY)表示由X到Y中线性有界算子全体.当A和B属于(XY)时,是所讨论的数域中的数时,定义(X

24、Y)中加法运算如下:对任意的xX,令(A+B)x=Ax+Bx(A)x=Ax则(XY)按照如上加法和数乘运算和算子X数构成线性赋X空间.T:当Y是Banach空间时,(XY)也是Banach空间一般地,设X是线性赋X空间,如果在X中定义了两个向量的乘积,并且满足 xyxy x,yX则称X为赋X代数,当X完备时,则称X为Banach代数,由T知,当X完备时,(XY)是Banach代数.共轭空间:设X是线性赋X空间,令X表示X上线性连续泛函全体所成的空间,称X为共轭空间.T:任何线性赋X空间的共轭空间是Banach空间.定义:设X和Y是两个线性赋X空间,T是X 到Y中的线性算子,并且对所有的xX,有

25、 Tx=x 则称T是X 到Y中的保距算子，如果又是映照到上的，则称是同构映照，此时称与同构第八章 内积空间和希乐伯特空间 基本要求：1、 掌握内积空间，希乐伯特空间的概念，熟悉一些具体例子。2、 理解内积与其诱导X数之间的关系。3、 理解许瓦兹不等式和平行四边形法则。4、 了解凸集的概念，掌握正交的有关概念。5、 掌握直交补空间的定义与性质。6、 理解投影算子的概念，掌握投影算子的性质。内积空间和希尔伯特空间定义：设是复线性空间，如果对中任何两个向量,，有一复数，与之对应，并且满足下列条件:x,y 0 ，=0当且仅当x=0,xX;+,z=，z+,z x y zX,C(复数)，=,x x,y X

26、则称，为x与y的内积,X为内积空间内积引出的X数 x=，引理(Schwarz不等式)设X按内积，成为内积空间,则对于X中任意向量x,y,成立不等式，xy 当且仅当x与y线性相关时取等号.易得出:X数不等式x+yx+y内积导出的X数x构成线性赋空间,若完备,则称Hilbert空间.满足平行四边形法则. x+y+x-y=2（x+y）（内积空间X数的特征性质）如 La，b l 是Hilbert空间，当p2时 lp不成为内积空间Ca，b按X数 x=x（t） 不成为内积空间极化恒等式（内积与X数关系式）（内积可用X数表示）x，y=1/4（x+y-x-y+ix+iy-ix-iy）当X 为实内积空间时，x，

27、y=1/4（x+y-x-y）由Schwarz不等式，立得xn，ynx，y定义：设X是度量空间，M是X的非空子集，x是X中一点，称d（x，y）为点x到M的距离，记作d（x，M）在线性赋X空间中 d（x，M）=x-y设X是线性空间，x，y是X 中的两点，称集合z=x+（1-）y；01 为X中联结点x和y的线段，记为x，y，如果M是X 的子集，对M中任意两点x，y必有x，yM则称M为X中的凸集定理：（极小化定理）设是内积空间，是中非空凸集，并且按中由内积导出的距离完备，那么，对每一个xX，存在唯一的yM，使 x-y= d（x，M）推论1：设X是内积空间，M是X 的完备子空间，则对每个xX，存在唯一的

28、yM，使 x-y= d（x，M） （应用于微方、现代控制论、逼近论）定义：设X是内积空间，x，y是X中两向量，如果 x，y=0 则称垂直或正交，记为xy如果X的子集A中每个向量与子集B中每个向量正交，ABxy x+y2=x2+y2引理1：设X是内积空间，M是X的线性子空间，xX，若存在yM使x-y= d（x，M），那么x-yM 定义2：直接和：Y和Z是X的子空间，对每一个xX，存在唯一的yY，Zz 使x=y+z，则称x为y和z的直接和。y和z称为一对互补子空间。Z称为Y的代数补子空间。 易知互补子空间必线性无关。定义3：设X 是内积空间，M是X 的子集，称集合M=xMxM为M在X 中直交补 M

29、是X 中闭线性子空间定理2：设Y是Hilbert空间的闭子空间，那么成立 X=Y+Y直接和记作：X=YZ x=y+z，y是x在Y中的直交投影。投影算子 Px=y 具有性质：P是X到Y上的线性有界算子，且当Y0时，P=1PX=Y，PY=Y，PY=0P2=P P是投影算子 P=P*=P2设X是内积空间，M是X的子集，记（M）=M显然有 MM反之有：引理2：设Y是Hilbert空间X的闭子空间，则成立 Y=Y引理3：设M是Hilbert空间X中非空子集，则M是线性包SpanM在X中稠密的充要条件是M=0定义4：设M是内积空间中不含零的子集，若M中向量两两直交，称M为X中直交系，又若M 中向量X数为1

30、，则称M为X 中的就X直交系。直交系的基本性质：x1+x2+.+xn2=x12+x22+.xn2直交系M是X中线性无关子集定义5:设X是线性赋X空间,xi, i=1,2,.是X中一列向量,1, 2,.n是一列数,作形式级数ixi 称Sn=ixi 为n项部分和若存在xX,使Snx 则称级数收敛,并称x为其和,记作x=ixi定义6:设M为内积空间X 中就X直交系, xX,称数集 x，eeM为向量x关于就X直交系M的富里叶系数集,而称x，e为x关于e的Fourier系数引理:设X是内积空间,M是X 中就X直交系,任取M中有限个向量e1,e2,.en那么:(1) x-x，eiei2=x-x，ei20(

31、2) x-i eix-x，eiei其中i为任意的n个数定理(Bassel不等式)设ek是内积空间X 中的有限或可列就X直交系,那么对每一个xX,成立不等式x，ei2x2若上式等号成立,则称为Parseval等式引理：设 ek 为Hilbert空间X中可列就X直交系，那么成立：（1）iei收敛的充要条件是i2收敛 （2）若x=iei 则i=x，ei i=1,2,.故x=x，eiei(3) 对任意的xX,级数x，eiei收敛推论1: 设 ek 是X中可列就X直交系，则对任意的 xX ， x，en=0定义:设M是内积空间X的就X直交系,如果 spanM=X 则称M是X中的完全就X直交系.定理:设M是Hilbert空间X中就X直交系，M完全的充要条件是M=0定理:M是Hilbert空间X中