放缩法技巧全总结.doc

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1、. .放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考察学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造，深入剖析其特征，抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证:(2)求

2、证:(3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进展裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例4.(2021年全国一卷)设函数.数列满足.设，整数.证明:.解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故假设存在正整数,使,那么,假设,那么由知,因为,于是例5.,求证: . 解析:首先可以证明:所以要证只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.,求证:.解析:所以 从而例7.,求证:证

3、明:,因为,所以所以二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而所以 例9.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进展裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)例13.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以例14. 证明解析: ,然后两边取自然对数,可以得

4、到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是，即注：题目所给条件为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩：，即例16.(2021年XX市质检)函数假设 解析:设函数函数上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令那么例15.(2021年XX市质检) 函数是在上处处可导的函数,假设在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记

5、忆口诀小者小,大者大，解释:看b,假设b小,那么不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得即例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证:解析: 例22. 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线0上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明4，; (2)证明有，使得对都有.解析:(1) 依题设有：，由得：,又直线在轴上的截距为满足显然，对于，有 (2)证明：设，那么设，那么当时，。所以，取，对都有：故有成立。例23.函数，假设的定义域为1，0，值域也

6、为1，0.假设数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，那么当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.例24.设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:.解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证五、迭代放缩例25. ,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论例26. 设,求证:对任意的正整数k,假设kn恒有:|Sn+kSn|0,b0,求证：解析: 因为a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列，设，从而47.设，

7、求证.解析: 观察的构造，注意到，展开得，即，得证.例48.求证:.解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)例42.(2021年海淀5月练习) 函数，满足：对任意，都有；对任意都有.I试证明：为上的单调增函数；II求；III令，试证明：. 解析:此题的亮点很多,是一道考察能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,那么可以得到,又,所

8、以由不等式可以得到,又,所以可以得到接下来要运用迭代的思想: 因为,所以, 在此比拟有技巧的方法就是:,所以可以判断 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合有= (3)在解决的通项公式时也会遇到困难.,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有.例49.函数f(x)的定义域为0,1，且满足以下条件： 对于任意0,1，总有，且； 假设那么有求f(0)的值；求证：f(x)4；当时，试证明：.解析: 解：令，由对于任意0,1，总有， 又由得即 解：任取且设 那么 因为，所以，即 . 当0,1时，.

9、 证明：先用数学归纳法证明：（1） 当n=1时，不等式成立；（2） 假设当n=k时，由得即当n=k+1时，不等式成立由1、2可知，不等式对一切正整数都成立.于是，当时，而0,1，单调递增所以，例50. ：求证：解析:构造对偶式：令那么又 十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小，保号性是指，定义在上的可积函数，那么.例51.求证：. 解析: ， 时，.利用定积分估计和式的上下界：定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例52. 求证：，. 解析:考虑函数在区间上的定积分.如图，显然-对求和，.例53. .求证：.解析:考虑函数在区间上的定积分.-.例54

10、.设，如图，直线及曲线：，上的点的横坐标为.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.试求与的关系，并求的通项公式； 当时，证明； 当时，证明.解析:过程略.证明II：由知，.当时，.证明：由知.恰表示阴影局部面积，显然 .奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等证明，如：；.十二、局部放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析:例56. 设求证：解析:又只将其中一个变成，进展局部放缩，于是例57.设数列满足，当时证明对所有 有；解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，那么当时，成立。利用上述局部放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证

11、明用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了局部放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:. 解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如下图: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时,由(ii)可知: 所以综上有十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进展加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.例59.求证:对一切,都有.解析:从而当然此题还可以使用其他方法,如: 所以. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等

12、式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨返璞归真,通过双向加强复原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其根本原理为:欲证明,只要证明:.例60.数列满足:,求证: 解析:,从而,所以有,所以 又,所以,所以有所以 所以综上有引申:数列满足:,求证:.解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,所以综上有.同题引申:(2021年XX高考试题)数列,.记,.求证:当时.(1); (2); (3).解析:(1),猜测,下面用数学归纳法证明: (i)当时,结论成立; (ii)假设当时,那么时, 从而,所以所以综上有,故 (2)因为那么,相加后可以得到:,所以,所以 (3)因为,从而,有,所以有,从而,

13、所以,所以 所以综上有.例61.数列的首项, (1)证明:对任意的,; (2)证明:.解析:(1)依题,容易得到,要证,即证即证,设所以即证明从而,即,这是显然成立的.所以综上有对任意的, (法二),原不等式成立 (2)由(1)知，对任意的，有取，那么原不等式成立十四、经典题目方法探究探究1.(2021年XX省高考)函数.假设在区间上的最小值为,令.求证:.证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以(方法二)因为,相乘得:,从而.(方法三)设A=,B=,因为AB,所以A21, 求 a的取值X围. 解析:函数f (x)的定义域为(-, 1)(1, +), 导数为.() 当0 f (0) =1, 因而这时a满足要求. () 当a2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比方取, 就有 x0(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而这时a不满足要求.() 当a0时, 对于任意x(0, 1) 恒有, 这时a满足要求.综上可知, 所求 a的取值X围为 a2. .word.