初一数学特训班讲义.doc

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1、. .第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识构造框图：二、 绝对值的意义：(1)几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。也可以写成： 说明：|a|0即|a|是一个非负数；|a|概念中蕴含分类讨论思想。思考：|x|=|x-0|的几何意义是表示实数x到原点0的距离，那|x-a|的几何意义表示什么？三、 典型例题例1数形结合思想a、b、c在数轴上位置如图：那么代数式 | a | + | a+b | +|c-a|-|b-c| 的值等于 A A-3a B 2ca C2a2b Db解：| a |

2、+ | a+b | +|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2：，且， 那么的值 C A是正数B是负数C是零D不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如下图： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了

3、x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3分类讨论的思想甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么终究谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：，1数轴上表示这两数的点位于原点两侧：假设x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，那么 4y=8 ，所以y=2 ,x=

4、 -6假设x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，那么 -4y=8 ，所以y=-2,x=62数轴上表示这两数的点位于原点同侧：假设x、y在原点左侧，即 x0，y0，y0，那么 2y=8 ，所以y=4,x=12例4整体的思想方程 的解的个数是 D A1个 B2个 C3个 D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2021看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即此题的答案为D。 例5非负性|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|

5、=0，解得：a=1,b=2于是在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考，如果题目变成求 值，你有方法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6距离问题观察以下每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并答复以下各题：1你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_相等 .2假设数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，那么A与B两点间的距离可以表示为分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距

6、离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进展讨论。当x-1时，距离为-x-1, 当-1x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为3结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值X围为 -3x_2_.分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1 图2 图3图2符合题意4 满足的的取值X围为 x-1 分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。此题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们

7、可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了3、4这两道难题。 四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识1 “代数式是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重

8、点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下根底。 二、典型例题例1假设多项式的值与x无关，求的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为所以 m=4将m=4代人，利用“整体思想求代数式的值例2x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。分析： 因为当x=-2时， 得到，所以当x=2时，=例3当代数式的值为7时,求代数式的值.分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得 整体代人，代数式的求

9、值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4 ，求的值.分析：解法一整体代人：由 得 所以：解法二降次：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由，得，所以： 解法三降次、消元：消元、减项例5实际应用A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件根本一样，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入元第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10

10、050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，那么 的值是_ 。解：因为abc0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0，c0那么ab0，ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b0，c0时，即x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因为x=1符合大前提

11、x，所以此时方程的解是x=1当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x-20时，即x， 5x-2= -3，x= 因为x=符合大前提x0时，即x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因为x=不符合大前提x1，所以此时方程无解当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解 当x-10时，即x1，1-x=-2x+1，x=0因为x=0符合大前提xAD B.ACBD D. CD310. 如下图,L1,L2,L3交于点O,1=2,3:1=8:1,求4的度数.( 方程思想)答案：3611 如下图,ABCD,分别探索以下四个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个

12、关系中任选一个加以说明. (1) (2) (3) (4)1分析：过点P作PE/ABAPE+A+C=3602P=A+C3P=C-A,4P=A-C12如图，假设AB/EF，C= 90，求x+y-z 度数。分析：如图，添加辅助线证出：x+y-z=9013：如图，求证：分析：法一法二：由AB/CD证明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE/FP 所以第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征1各个象限的点的横、纵坐标符号2坐标轴上的点的坐标： 轴上的点的坐标为,即纵坐标为0;轴上的点的坐标为，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设、两点关于轴对称，且;、两点关于轴对称，

13、且;、两点关于原点轴对称，且。3、距离1点A到轴的距离：点A到轴的距离为|；点A到轴的距离为|；2同一坐标轴上两点之间的距离：A、B，那么；A、B，那么；二、典型例题1、点M的坐标为x，y，如果xy0 , 那么点M的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限2点Pm，1在第二象限内，那么点Q-m，0在 Ax轴正半轴上 Bx轴负半轴上 Cy轴正半轴上 Dy轴负半轴上3点Aa，b在第四象限，那么点Bb，a在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4点P1，-2关于y轴的对称点的坐标是 A-1，-2 B1，2 C-1，2 D-2，15如果点M1-x，1-y在第二象限，那么点N1-x，y-1在第象限，