初高中数学衔接教材已整理.doc

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1、. .初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中那么是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域取值X围

2、、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基此题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系韦达定理初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，那么作为必备的根本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中那么作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心和定理

3、平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中那么在使用。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至教师根本没有去延伸开掘，不利于高中数学的学习。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的缺乏，加以补充和完善。欢送广阔读者提出珍贵意见，我们将不胜感谢！目录第一章 数与式1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4

4、分式1.2分解因式第二章 二次方程与二次不等式2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2二次函数2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章 相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方

5、程选学1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离例1解不等式：4解法一：由，得；由，得；假设，不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；假设，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；假设，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4综上所述，原不等式的解为x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|图111解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|

6、PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧x0，或x4练 习1填空：1假设，那么x=_；假设，那么x=_.2如果，且，那么b_；假设，那么c_.2选择题：以下表达正确的选项是 A假设，那么 B假设，那么C假设，那么 D假设，那么3化简：|x5|2x13|x51.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：1平方差公式 ；2完全平方公式 我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：1立方和公式 ；2立方差公式 ；3三数

7、和平方公式 ；4两数和立方公式 ；5两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 ，求的值解： 练 习1填空： 1 ； 2； (3 )2选择题：1假设是一个完全平方式，那么等于 A B C D2不管，为何实数，的值 A总是正数 B总是负数 C可以是零 D可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母子有理化把分母子中的根号化去，叫做分母子有理化为了进展分母子有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有

8、二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进展，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进展运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式2二次根式的意义例1 将以下式子化为最简二次根式：1； 2； 3解： 1

9、； 2； 3例2计算：解法一： 解法二： 例3试比拟以下各组数的大小：1和； 2和.解：1，又， 2 又 42， 42， .例4化简：解： 例 5 化简：1； 2解：1原式2原式=，所以，原式例6 ，求的值 解：，练 习1填空：1_ _；2假设，那么的取值X围是_ _ _；3_ _；4假设，那么_ _2选择题：等式成立的条件是 A B C D3假设，求的值4比拟大小：2填“，或“1.1.分式1分式的意义形如的式子，假设B中含有字母，且，那么称为分式当M0时，分式具有以下性质：； 上述性质被称为分式的根本性质2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1假设，求常数的值解： ， 解

10、得 例21试证：其中n是正整数； 2计算：；3证明：对任意大于1的正整数n， 有1证明：， 其中n是正整数成立2解：由1可知 3证明：， 又n2，且n是正整数，一定为正数， 例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2练 习1填空题：对任意的正整数n，()；2选择题：假设，那么 A B C D3正数满足，求的值4计算习题11A 组1解不等式： (1) ； (2) ； (3) ，求的值3填空：1_；2假设，那么的取值X围是_；3_B 组1填空： 1，那么_ _；2假设，那么_；2：，

11、求的值C 组1选择题：1假设，那么 A B C D2计算等于 A B C D2解方程3计算：4试证：对任意的正整数n，有1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： 1x23x2； 2x24x12； 3； 4 解：1如图111，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1142611图1131211图11212xx图111 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式

12、时，可以直接将图111中的两个x用1来表示如图112所示2由图113，得x24x12(x2)(x6)3由图114，得11xy图1154xy(xy)1(x1) (y+1) 如图115所示课堂练习一、填空题：1、把以下各式分解因式：1_。2_。3_。4_。5_。6_。7_。8_。9_。10_。2、3、假设那么，。二、选择题：每题四个答案中只有一个是正确的1、在多项式1234 5中，有一样因式的是 A、只有12 B、只有34 C、只有35 D、1和2；3和4；3和52、分解因式得 A、 B、 C、 D、3、分解因式得 A、B、C、D、4、假设多项式可分解为，那么、的值是 A、， B、， C、， D、

13、，5、假设其中、为整数，那么的值为 A、或 B、 C、 D、或三、把以下各式分解因式1、 2、3、 4、2提取公因式法例2 分解因式： 12解： 1=2= = 或 课堂练习：一、填空题：1、多项式中各项的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7计算=二、判断题：正确的打上“，错误的打上“ 1、 2、 3、 4、 3：公式法例3 分解因式：1 2解：(1)=(2)=课堂练习一、，的公因式是_。二、判断题：正确的打上“，错误的打上“ 1、 2、 3、 4、 5、 五、把以下各式分解1、 2、3、 4、4分组分解法例4 1 2 2= =或 = = =课堂练习：用分组分解法分解

14、多项式125关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解假设关于x的方程的两个实数根是、，那么二次三项式就可分解为.例5把以下关于x的二次多项式分解因式：1； 2解： 1令=0，那么解得， = =2令=0，那么解得， =练 习1选择题：多项式的一个因式为 A B C D2分解因式：1x26x8； 28a3b3；3x22x1； 4习题121分解因式：1 ； 2； 3； 42在实数X围内因式分解：1 ； 2； 3； 43三边，满足，试判定的形状4分解因式：x2x(a2a)5. 尝试题abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求+的值.2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式情境设置：可先让

15、学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根1(2) (3)我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0a0，用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是1当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2；2当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x2；3当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0a0的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式，通常用符号“来表示综上所述，对于一元二次方程

16、ax2bxc0a0，有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；2当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；3当0时，方程没有实数根例1 判定以下关于x的方程的根的情况其中a为常数，如果方程有实数根，写出方程的实数根1x23x30； 2x2ax10； 3 x2ax(a1)0； 4x22xa0解：13241330，方程没有实数根2该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， 3由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a13由于

17、该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根， ；当0，即a1时，方程有两个相等的实数根x1x21；当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进展讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系韦达定理 假设一元二次方程ax2bxc0a0有两个实数根，那么有；所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系： 如果ax2bxc0a0的两根

18、分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，假设x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程二次项系数为1是x2(x1x2)xx1x20例2方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我

19、们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，那么 2x1，x1由 2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例3关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：此题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注

20、意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：1在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的X围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21求出m的值，取满足条件的m的值即可1在今后的解题过程中，如果仅仅由

21、韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，那么 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根 解这个方程，得x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二直接利用韦达定理来解题要比解法一简捷例

22、5 假设x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根1求| x1x2|的值； 2求的值；3x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根，1| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26，| x1x2|23x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0a0，那么，| x1x2|于是有下面的结论：假设x1和x2分别是

23、一元二次方程ax2bxc0a0，那么| x1x2|其中b24ac今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例6 假设关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，XX数a的取值X围解：设x1，x2是方程的两根，那么x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值X围是a4练 习1选择题：1方程的根的情况是 A有一个实数根 B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D没有实数根2假设关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值X围是 Am Bm Cm，且m0 Dm，且m0 2填空:1假设方程x23x10的

24、两根分别是x1和x2，那么2方程mx2x2m0m0的根的情况是3以3和1为根的一元二次方程是3，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值习题2.1A 组1选择题:1关于x的方程x2kx20的一个根是1，那么它的另一个根是 A3 B3 C2 D22以下四个说法：方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个3关于x的一元二次方程ax

25、25xa2a0的一个根是0，那么a的值是 A0 B1 C1 D0，或12填空:1方程kx24x10的两根之和为2，那么k2方程2x2x40的两根为，那么223关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，那么它的另一个根是4方程2x22x10的两根为x1和x2，那么| x1x2|3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数B 组1选择题:假设关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，那么k的值为 ( ) A1，或1 B1 C1 D02填空:1假设

26、m，n是方程x22005x10的两个实数根，那么m2nmn2mn的值等于2如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是3关于x的方程x2kx201求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，XX数k的取值X围4一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1和x2求：1| x1x2|和；2x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，XX数m的值C 组1选择题：1一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于 A B3 C6 D92假设x1，x2是方

27、程2x24x10的两个根，那么的值为 A6 B4 C3 D3如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，那么的取值X围为 A B C1 D1 4a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是( ) A没有实数根 B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D有两个异号实数根2填空：假设方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，那么m3 x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根1是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由；2求使2的值为整数的实数k的整数值；3假设k2，试求的值

28、4关于x的方程1求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；2假设这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x25假设关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，XX数a的取值X围22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图1 (2) (3)问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2

29、x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象如图21所示，从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？图2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象如图22所示，从