数学建模例题_之_饮酒驾驶模型.doc

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1、. .饮酒驾驶模型摘要本文针对酒后驾车造成交通事故死亡率高，以及根据国家质量检验检疫局发布的饮酒后驾车新标准，建立了饮酒后血液中酒精含量的数学模型。通过了解酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与人体内酒精反应的定量关系建立微分方程，运用药物动力学原理建立单室和双室模型。得出血液中的酒精含量,与进入体内总酒量、时间的函数关系式：单室模型：双室模型：本文还运用了 Wagner-Nelson法（待吸收的百分数对时间作图法），与题中给出的参考数据在计算机运行的结果作对比。本文还解决了如下问题：1、从模型分析了大李第二次被判为饮酒驾车是因为二次饮酒，而使血液中酒精含量累积而超标。2、对喝了低

2、度酒多长时间驾车违反规则作了量化分析；3、从单室模型得出了一个血液中酒精含量峰值计算公式：4、用本文的模型对天天喝酒能否开车作了讨论。本文最后对模型的优点和不足作了评价。一、问题提出据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问

3、题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1） 酒是在很短时间内喝的；2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。二、问题假设1、 机体分为中心室（I室）和周边室（II室），两个室的容积（即血液体积或药物分布容积）的过程中保持不变1。2、 药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的血药浓度成正比。3、 酒精含量的变化

4、基本只受消除速度常数支配。4、 假定消除只发生在中心室，两个房室内酒精初始量都为零（即没有喝酒）。5、 酒在体内运动的配置和消除都是药物动力学过程。6、 人都是在精神状态正常情况下喝酒。7、 酒精可在整个机体内以同速度达到平衡。三、符号定义：房室表观分布容积；：酒精消除速度常数；：酒精吸收速度常数；：酒精转移速度常数（）；：时刻体内吸收酒精的速度;：血酒浓度的最高峰值；：血液中酒精含量；：进入体内的总酒量；：一次喝下的酒量；：时刻体内吸收的酒精量；：时刻中心室内的酒精量；：时刻周边室内的酒精量；：第次喝酒的时刻；：血液浓度达到最高峰值的时刻；：已经代谢排泄酒物总量；：一次喝酒后的吸收总量；四、

5、模型建立（一）、单室模型将人的机理作为一个房室处理的模型，人喝酒后，酒精需要一定的吸收过程，可建立模型图（1）： 图(1)依条件及示意图，得到单室模型；（1）（2）酒精逐渐进入血液循环后；（3）得到:（4）将（2）式代入（3）得（5）根据动力学原理的有关计算方法，总结出的血液中酒精含量最大峰值和达到最大峰值时间计算公式2 （6）（7）(二)、双室模型3二室模型假设酒精进入体内后在两个房室内配置，一个中心室，另一个是外周室，酒精在体内的配置和消除都是一级动力学过程，但酒精的吸收可以是任意的，见图（2）：图（2）按照质量平衡原理，时间X围内吸收进入体内的总酒量为（8）其中（9）代入式（5） 并在等

6、号两边同时除以表观分布容积得到（10）其中血液中酒精含量=。 根据式（7）, 当时，计算酒精吸收分数的公式为：（11）我们运用Wagner-Nelson方法求解，对此，我们在算法作如下基本假设：在时间和之间外周室酒精量可以用线性插值近似逼近，因此曲线下的面积可用梯形法进行运算(12)则 (13)为了叙述方便，令则有（14）这是一个递推公式，。当时t0=0，则根据上述递推公式（15）外周室的药物量变化微分方程为（16）在时间X围内，对式(10)等号两边积分,得到（17）在上式等号两边同时除以,得到(18)整理上式后（19）2、递推计算过程用数学不完全归纳法，对式(15)和式(11)进行递推计算,

7、 计算过程为:时时时如此递推计算可得到： （20）根据题中所给出的数据和（20）式作出图（3）：图（3）由以上各推导公式我们可以计算人在一次饮酒的量，以及多次饮酒的量后体内酒精含量随时间的变化。五、模型结果分析及验证1、对大李的问题给予解释：通过双室模型可以看出，第一次饮酒时，虽然,也就是但是第二次饮酒后，由于他第一次饮酒时血液中还残留有一定酒精，有如下关系式即时，就违反了国家的新标准。2、对喝了3瓶啤酒的在多长时间内驾车就会违反标准。A、酒是在短时间内喝的：只要，即内开车，就会违反国家的新标准。按照题中给出的参考数据，70的人在短时间内喝下的2瓶酒后，得到的数据代入，同样体重的人喝3瓶啤酒，

8、解得约在11小时内，就会违反国家新标准。B、酒是较长时间内喝。我们对上述问题定性地假设长时间内喝了 n次（每次都是在短时间内喝），因为则有 即 内开车就会违反国家的新标准。 3、怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高；方法一、根据题目给出的参考数据：时间（小时）0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间小时678910111213141516酒精含量3835282518151210774用Matlab作出图像：根据图表数据和图像的变化规律，我们可以粗略统计出：当时，人体内的酒精含量最高。方法二、根据我建立的单室模型，和参

9、考药物动力学有关知识，总结出如下关系式计算出人喝酒后的酒精含量峰值的时间4、验证如果人天天喝酒还能否开车？如果人天天喝酒，存在下面关系式，假若算出 小时，就能开车；假若算出 小时，就会违反规定。六、模型评价与改进优点：（1）、本文有明确的求解方向，以药物动力学的有关原理为参考资料和理论基础。模型具有科学性和普遍的适用性。（2）、本模型参考药物动力学，建立饮酒后酒精在血液中的含量的数学模型，并对单次饮酒和多次饮酒后的情况进行讨论，具有较强的稳定性。（3）、本模型以生活的事例为检验资料，所得出的结论基本吻合，并易于推广。缺点：（1）、由于变量参数大多，即使将原问题线性化，计算依然相当繁杂。（2）、

10、由于时间和知识的有限，在求解实际问题时，对人体的机理简单的分为单室模型和双室模型。模型改进：基于本模型的参数多，可以通过一些仪器实验算出参数的具体值。基于我们只建立单室模型和双室模型，可以进一步考虑多室模型的方向，使酒在人体内消化反应出来，使结果更加切合实际。七、给爱好喝酒的朋友一封信亲爱的酒友：首先，我们不是一帮酒鬼，但通过数模竞赛我们对酒有一定的了解：酒对人脑的作用与人体血液中酒精浓度有着密切的关系，它将影响人体思想、行为，少喝固然能促进消化，有益身心健康。但是，多喝的后果是不堪设想的：伤及他人；对人体大脑的伤害；更可怕的是在交通事故中它所扮演的恶性角色。正所谓“多喝”无性，“少喝”怡情。

11、在生活节奏紧X而又繁忙的司机们，想得到一份精神的解脱和轻松，“小喝”怡情，倒也无妨。只是“大喝”无性者，将会失去理性，终将害人害己（见附录一）。看吧，不要因为一时的酒瘾，而失去美好的一切。参考文献1姜启源数学模型 ：高等教育 1993年8月第二版2 魏树礼 生物药剂与药物动力学 ：医科大学 1997年3 陆瑜X家壁梁秉文二室模型药物体内吸收计算方法的改进.454pharm./esmxywtnxsjs.doc 访问时间:2004.9.19附录一：酒后血中浓度与行为表现的关系血中酒精浓度（mg/dl）行为表现大于30驾车有障碍3050驾驶能力变坏50100多话、大笑、感觉障碍100150说话含糊、

12、脚步不稳、可能会恶心150200明显酒醉、恶心、步履踌躇附录二：Matlab6.1程序清单（1）x=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;y=30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4;plot(x,y,*)plot(x,y,*,x,y)（2）x=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;y=3.75,17

13、,28.125,41,61.5,77,85,102,101.9,102,112.5,102.5,114,122.5,112,112.5,90,82.5,72,65,49,52.5,32;plot(x,y,*) plot(x,y) x1=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3;y1=3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102; a=polyfit(x1,y1,2)a = -6.4863 55.7627 -9.2847 x2=0.25:0.5:3; y2=-6.4863*x2.2+55.7627*x-9.2847;? Error using = +Matr

14、ix dimensions must agree. x2=0.25:0.5:3;y2=-6.4863*x2.2+55.7627*x2-9.2847; plot(x,y,*,x2,y2) polyfit(x1,x2,3)? Error using = polyfitX and Y vectors must be the same size. polyfit(x1,y1,3)ans = 2.1562 -16.9706 69.6712 -13.6200 y2=2.1562*x2.3-16.9706*x2.2+69.6712*x2-13.6200; plot(x,y,*,x2,y2) x=0.25,0

15、.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;y=3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102,101.9,102,112.5,102.5,114,122.5,112,112.5,90,82.5,72,65,49,52.5,32;plot(x,y,*) plot(x,y) x1=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4;y1=3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102,101.9,102; a=polyfit(x1,y1,2)a = -7.

16、7319 59.3789 -10.9764 x2=0.25:0.5:4; y2=-7.7319*x2.2+59.3789*x2.-10.9764;? y2=-7.7319*x2.2+59.3789*x2.-10.9764; |Error: identifier expected, - found. x2=0.25:0.5:4;y2=-7.7319*x2.2+59.3789*x2-10.9764; plot(x,y,*,x2,y2) polyfit(x1,y1,3)ans = -0.2926 -5.8683 56.1772 -9.7604 y2=-0.2926*x2.3-5.8683*x2.2+

17、56.1772*x2-9.7604; plot(x,y,*,x2,y2) x3=4.5,5,6,7; y3=102,102.5,114,122.5; b=polyfit(x3,y3,2)b = 0.9347 -1.9849 90.9799 x3=4:0.5:7; y3=0.9347*x3.2-1.9849*x3+90.9799; plot(x,y,*,x2,y2,x3,y3) polyfit(x3,y3,3)ans = 0.0000 0.9347 -1.9849 90.9799 x4=4:0.5:7; y4=0.0000*x4.3+0.9347*x4.2-1.9849*x4+90.9799;

18、plot(x,y,*,x2,y2,x4,y4) x5=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16; y5=122.5,112,112.5,90,82.5,72,65,49,52.5,16; c=polyfit(x5,y5,2)c = -0.3201 -3.4140 161.6318 x6=7:0.5:16; y6=-0.3201*x6.2-3.4140*x6+161.6318; plot(x,y,*,x2,y2,x4,y4,x6,y6) polyfit(x6,y6,3)ans = 0.0000 -0.3201 -3.4140 161.6318 x6=7:0.5:16; y6=0.0000*x6.3-0.3201*x6.2-3.4140*x6+161.6318; plot(x,y,*,x2,y2,x4,y4,x6,y6). .word.