概率论和数理统计课后题答案全.doc

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1、. .1 概率论与数理统计习题及答案习题 一1略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示以下事件：1 A发生，B，C都不发生； 2 A与B发生，C不发生；3 A，B，C都发生； 4 A，B，C至少有一个发生；5 A，B，C都不发生； 6 A，B，C不都发生；7 A，B，C至多有2个发生； 8 A，B，C至少有2个发生.【解】1 A 2 AB 3 ABC4 ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且PA=0.7,P(A-B)=

2、0.3，求P.【解】P=1-PAB=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A，B是两事件，且PA=0.6,P(B)=0.7,求：1 在什么条件下PAB取到最大值？2 在什么条件下PAB取到最小值？【解】1 当AB=A时，PAB取到最大值为0.6.2 当AB=时，PAB取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且PA=PB=1/4，PC=1/3且PAB=PBC=0，PAC=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 PABC=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=7.从52X扑克牌中任意取出13X，问有5X黑桃，

3、3X红心，3X方块，2X梅花的概率是多少？【解】p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：1 求五个人的生日都在星期日的概率； 2 求五个人的生日都不在星期日的概率；3 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】1 设A1=五个人的生日都在星期日，根本领件总数为75，有利事件仅1个，故PA1=5 亦可用独立性求解，下同2 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故PA2=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日PA3=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件n30.如图阴影局部所示.22.从0，1中随机地取两个数，

4、求：1 两个数之和小于的概率；2 两个数之积小于的概率.【解】 设两数为x,y，那么0x,y1.1 x+y.(2) xy=.23.设P=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求PBA【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中

5、有80%的人是努力学习的，试问：1考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？2考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的，那么=被调查学生是不努力学习的.由题意知PA=0.8，P=0.2，又设B=被调查学生考试及格.由题意知PB|A=0.9，P|=0.9，故由贝叶斯公式知1即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.假设接收站收到的信息是A，试问原发

6、信息是A的概率是多少？【解】 设A=原发信息是A，那么=原发信息是BC=收到信息是A，那么=收到信息是B由贝叶斯公式，得27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，假设发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种【解】设Ai=箱中原有i个白球i=0,1,2，由题设条件知PAi=,i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品，B

7、=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得29.某保险公司把被保险人分为三类：“慎重的，“一般的，“冒失的.统计资料说明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“慎重的被保险人占20%，“一般的占50%，“冒失的占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，那么他是“慎重的的概率是多少？【解】 设A=该客户是“慎重的，B=该客户是“一般的，C=该客户是“冒失的，D=该客户在一年内出了事故那么由贝叶斯公式得30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解

8、】设Ai=第i道工序出次品i=1,2,3,4.31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进展多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进展n次独立射击.即为 故 n11至少必须进展11次独立射击.32.证明：假设PAB=P(A)，那么A，B相互独立.【证】 即亦即 因此 故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求将此密码破译出的概率.【解】 设Ai=第i人能破译i=1,2,3，那么34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，假设只有一人击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假设有两人击中，那么飞机被击

9、落的概率为0.6；假设三人都击中，那么飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效，反之那么认为无效，求：1 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否认的概率.2 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率

10、.【解】1 (2) 36.一架升降机开场时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率：1 A=“某指定的一层有两位乘客离开；2 B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开；3 C=“恰有两位乘客在同一层离开；4 D=“至少有两位乘客在同一层离开.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.1 ，也可由6重贝努里模型：2 6个人在十层中任意六层离开，故3 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一

11、层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；4人同时离开，有种可能结果；4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故4 D=.故37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求以下事件的概率：1 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；2 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；3 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 1 (2) (3) 38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x,y,a-x-y.那么根本领件集为由0xa,0ya,0a-x-y乙反由对称性知P甲正乙正=P甲反乙反因此P(甲正乙正)=46.证明“确定的原那么Sure-thi

12、ng：假设PA|CP(B|C),P(A|)P(B|)，那么PAP(B).【证】由PA|CP(B|C),得即有 同理由 得 故 47.一列火车共有n节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设Ai=第i节车厢是空的，i=1,n,那么其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是故所求概率为48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为0.试证明：不管0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，那么A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币次品硬币的两

13、面均印有国徽.在袋中任取一只，将它投掷r次，每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 那么由贝叶斯公式知50.巴拿赫Banach火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时不是发现空而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，那么有.1发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒已空，n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。把取2n-

14、r次火柴视作2n-r重贝努里试验，那么所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性即也可以是B2盒先取空.2 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.那么由以上两式相减得所求概率为假设要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，那么只要将两式相加，即得.52.设A，B是任意两个随机事件，求P+BA+B+A+的值.【解】因为AB=ABBA=AB所求 故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，

15、且PABC=9/16，求PA.【解】由故或,按题设PA,故PA=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求PA.【解】 故 故 由A,B的独立性，及、式有故 故 或舍去即PA=.55.随机地向半圆0y0,P(A|B)=1,试比拟P(AB)与P(A)的大小. (2006研考)解：因为所以 .习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大，写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，

16、作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：1 X的分布律；2 X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P2 当x0时，Fx=PXx=0当0x1时，Fx=PXx=P(X=0)=当1x2时，Fx=PXx=P(X=0)+P(X=1)=当x2时，Fx=PXx=1故X的分布函数(3) 3.射手向目标独立地进展了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.那么X=0，1，2，3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.1 设随机变量X的分布律为PX=k=，其

17、中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.2 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数a.【解】1 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：1 两人投中次数相等的概率;2 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，那么Xb3，0.6,Yb(3,0.7)(1) +(2) =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于

18、0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，那么Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，那么有即 利用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少利用泊松定理？【解】设X表示出事故的次数，那么Xb1000，0.00018.在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，那么故所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，

19、当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，1 进展了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；2 进展了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】1 设X表示5次独立试验中A发生的次数，那么X65，0.3(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，那么Yb7，0.310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为1/2t的泊松分布，而与时间间隔起点无关时间以小时计.1 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；2 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】1 (2) 11.设PX=k=, k=0,1,2PY=m=,m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y

20、的概率分布，如果PX1=，试求PY1.【解】因为，故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，那么Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 13.进展某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000

21、元赔偿金.求：1 保险公司赔本的概率;2 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年为单位来考虑.1 在1月1日，保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为X，那么Xb(2500,0.002)，那么所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P保险公司获利不少于20000即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+,求：1A值；2P0X1; (3) F(x).【解】1 由得故 .(

22、2) (3) 当x0时，当x0时，故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：1 在开场150小时内没有电子管损坏的概率；2 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；3 Fx.【解】1 (2) (3) 当x100时Fx=0当x100时故 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a，密度函数为故当xa时，Fx=1即分布函数18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进展三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，

23、即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间X以分钟计服从指数分布.某顾客在窗口等待效劳，假设超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到效劳而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N40，102；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N50，42.1 假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？2 又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】1

24、 假设走第一条路，XN40，102，那么假设走第二条路，XN50，42，那么+故走第二条路乘上火车的把握大些.2 假设XN40，102，那么假设XN50，42，那么故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN3，22，1 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3;2 确定c使PXc=PXc.【解】1 (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度cmXN10.05,0.062,规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】23.一工厂生产的电子管寿命X小时服从正态分布N160，2，假设要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】故 24.设随机变量X分布函数为F

25、x=1 求常数A，B；2 求PX2，PX3；3 求分布密度fx.【解】1由得2 (3) 25.设随机变量X的概率密度为fx=求X的分布函数Fx，并画出fx及Fx.【解】当x0时Fx=0当0x1时当1x0;(2) f(x)=试确定常数a,b，并求其分布函数Fx.【解】1 由知故 即密度函数为 当x0时当x0时故其分布函数(2) 由得 b=1即X的密度函数为当x0时Fx=0当0x1时当1x0时，故 (2)当y1时当y1时故 (3) 当y0时当y0时故31.设随机变量XU0,1，试求：1 Y=eX的分布函数及密度函数；2 Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】1故 当时当1ye时当ye时即分布函

26、数故Y的密度函数为2 由P0X0时，即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y0时，当0y1时，当y1时，故Y的密度函数为33.设随机变量X的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项.【解】由知填1。由右连续性知，故为0。从而亦为0。即34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。i=1,2,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现6点。那么 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，那么Xb(n,0.1)即 得 n22即随机数字序列至少要有22个数字。36.Fx=那么Fx是 随机变量的分布函数.A 连续型； B离散型；C 非连续亦非离散型.【解】因为Fx在-,+上单调不减右连续，且,所以Fx是一个分布函数。但是Fx在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故Fx是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选C37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，那么区间 a,b等于 (A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0;(D)0,.