【教案】平面向量的概念及运算.doc

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1、平面向量的概念及运算一、【课标要求】1平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2 向量的线性运算通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平

2、面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。4向量的应用：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二【要点精讲】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。向量的表示：.几何表示：向量可以用一条有向线段来表示；.字母表示：向量也可用小写英文字母带箭头来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如；.坐标表示法。 向量的大小即向量的模：有向线段 的长度(记作|)即向量的大小

3、， 记作|=| 。两个向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量。向量为单位向量1。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取。必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，

4、要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同，。2向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.两个向量的和：已知非零向量、，作，则+=叫做向量、的和。规定： ；非共线向量加法满足“三角形法则”与“平行四边形法则”（）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从

5、减向量的终点指向被减向量的终点.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。向量加法满足交换律与结合律。（2）向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。两个向量的差：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：.作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量，作（、有共同起点）。向量加法与减法的性质：（非共线向

6、量满足三角形三边不等关系定理 ；“=”取得是共线时才有可能）（3）实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。 数乘向量满足交换律、结合律与分配律.；.; .（4）向量的数量积两个非零向量的夹角：已知非零向量与，作，则AA（）叫与的夹角。说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0q180。数量积的概念：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积）。规定。向量的投影：cos=R，称

7、为向量在方向上的投影。数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积.向量数量积的性质：设两个非零向量与. .向量的模与平方的关系：即.向量的夹角：cos= (当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题).乘法公式：；平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的数量积不满足结合律3两个向量共线定理.向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。A、B、C三点共线有且只有一个实数，使得对平面内任意一点O,有且只有一个实数，使得4平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一

8、平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。5.平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算若，则；若，则；若=(x,y)，则=(x, y)

9、；两个向量的数量积的坐标运算 ：已知两个向量，则=。若，则。垂直：如果与的夹角为900，则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O。平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A、B，那么(称平面内A、B两点间的距离公式) .4向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。三【典例解析】题型1：平面向量的概念例1（1）给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。（2）设为单位向量，若为平面内的某个向量，则

10、=|;若与平行，则=|；若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ） A0B1C2D3(3) 判断下列各命题正确与否：；若，则；若，则当且仅当时成立；对任意向量都成立；对任意向量，有。（4）设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（）（）= | （）（）不与垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.解析：解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的

11、长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故、也是假命题。综上所述，答案选D。(3) 错； 对； 错； 错； 错； 对。点评：向量的

12、概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念;了解向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零.（4） 答案：D。 平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（）（）=（）（）=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=94=9|24|2成立。故真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型2：平面向量的运算法则例2（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（

13、2）已知向量，则|=_.【答案】 【解析】由（3）已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析 ,由及向量的性质可知, C正确.例3设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0.解析：原方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0， =+ 。点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。题型3：向量的夹角例4.（1）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。（2）已知两单位向量与的夹

14、角为，若，试求与的夹角。（3）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150解析：解析（1）；（2）由题意，且与的夹角为，所以，同理可得。而，设为与的夹角，则。（3）C 设所求两向量的夹角为 即 所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握例5（1）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中求和

15、的值；若，求的值例6.已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记（1） 求关于的表达式;（2） 求的值域。解：（1）由正弦定理和向量数量积得 （2）由，得 ，即的值域为.例7. 已知, , 。 （1）求；（7） （2）设BAC，且已知cos(+x) ，求sinx （）题型4：平面向量的坐标及运算例8已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC边上的高为AD，求。解析：设D(x,y)，则得所以。例9已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。解析：设，则因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。即得，由点得，。得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。例10平面内给定

16、三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求。解析：（1）由题意得，所以，得。（2），；（3）由题意得，得或。例11已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为 所以则（2），因为与平行，所以即得。此时，则，即此时向量与方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5：共线向量定理及平面向量基本定理例12 . 已知向量，如果 ，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平

17、行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例13（1） 已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于（ ）A B3 C D（2）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_. 答案 2解析 设 ，即例14 已知

18、中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则（） （）的取值范围是 .【解析】设，因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（），故；（），那么，当与重合时，当位于中点时，故，故但因为与不能重合，故例15过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC为正三角形易得3选B题型6：向量的模例16（1）已知向量与的夹角为，则等于（ ） A5B4C3D1（2）（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于（ ）A. B.2 C.4 D.

19、12解析：（1）B；（2）B例17已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y 又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y 由有24xy+25y 将变形代入可得：y=再代回得：点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型7：向量垂直、平行的判定例18已知向量，且，则 。解析：，。例19已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（

20、2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.题型8：平面向量在代数中的应用例20已知。证明：设 则。点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。例21已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。解析：。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。题型9：平面向量在几何图形中的应用例22用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：

21、如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不与A、B重合），求证：APB90。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。例23已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解： （2）由题意可知 由余弦定理可知， 题型10：平面向量在物理中的应用例24如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力.解析：所

22、求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。四【思维总结】学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点1.注意区分点（1）向量

23、的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系.（5）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别两个向量的数量积是一个实数，符号cosq的值所决定；两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若0，且=0

24、，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是= ；如右图：= |cosb = |OA|，c = |c|cosa = |OA| =，但 ；在实数中，有() = ()，但是() ()，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。（6）平面向量数量积的运算律要特别注意：结合律不成立：；消去律不成立不能得到；=0不能得到=或=。（7） 数量积的主要应用：求模；求夹角；判垂直；2注重数学思想方法的学习数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法

25、，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。3突出向量与其它数学知识的交汇“新课程增加了新的现代数

26、学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。在学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。向量高考题的难度一般不会上升到压轴题的水平.巩固训练1、（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向答案 D2、已知O为坐标原点, 集合,且 .（46）3、(2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.答案 B解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。4、（

27、2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心答案 C（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析5. 若向量a=，b=，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 6. （2009浙江卷文）已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 答案 D7. 对于个向量，若存在个不全为零的实数使得成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量是线性相关的实数的值依次为 .（只需写出一组值即可）根据线性相关的定义得，令则，的一组值为4，2，18. 已知向量i=(1,

28、0),j=(0,1),A,B,若，则OCD的面积为：A. B. C. D.1+29. 设向量与的夹角为，则（）10. 已知向量的夹角的大小为 （11. 已知ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点BCP与ABP的面积分别为s1,s2,则s1:s2=_12. 设定义域为的函数yf（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量（x1，y1），（x2，y2），（x，y），满足xx1（1）x2（01），又有向量（1），现定义“函数yf（x）在上可在标准k下线性近似”是指|k恒成立，其中k0，k为常数。根据上面的表述，给出下列结论：A、B、N三点共线

29、；直线MN的方向向量可以为（0，1）；“函数y5x2在上可在标准下线性近似”“函数y5x2在上可在标准1下线性近似”； 其中所有正确结论的序号为_ (、)13. P为ABC所在平面上的点，且满足=+，则ABP与ABC的面积之比是_（12 ） 14. 若向量的夹角为15、在ABC中，设设E、F分别是线段AC、BD上的点，且EF过点M,设（ 1 ）16. 如图，在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60，AHBC，垂足为H，M为AH的中点，若的值等于 。17. 在中，若， 则 18. 若正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围是 19. 已知是两个互相垂直的单位向量, 且,则对任意的正实数,的最小值是 .20. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 1- - 20 - -