必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算 .docx

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1、精品名师归纳总结一 线线角立体几何专题：空间角和距离的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 直三棱柱A 1B1C1-ABC ， BCA=90 0，点 D 1 ， F1 分别是A 1B1 和 A 1C1 的中点，假设BC=CA=CC 1，求 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值。CB 11D 1F1A1BCA2. 在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是直角梯形， BAD=90 0， AD BC， AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA面 ABCD ，PD 与底面成 300 角，1假设 AE PD，E 为垂足，求证： BEPD 。 2假设 AE PD，求异面直线 AE

2、与 CD 所成角的大小。PEBCA D二线面角1. 正方体 ABCD-A 1B1C1 D1 中， E， F 分别为 BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，1求直线 D1F 和 AB 和所成的角。 2求 D 1F 与平面 AED 所成的角。CD11A1B 1EDFCAB2. 在三棱柱 A 1B1C1-ABC 中， 四边形 AA 1B1B 是菱形， 四边形 BCC 1B 1 是矩形， C1B 1 AB ，AB=4 ， C1B 1=3， ABB 1=600，求 AC 1 与平面 BCC 1B 1 所成角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 1C 1A1的大小。可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品名师归纳总结BCA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三二面角1. 已知 A1B 1C1-ABC 是正三棱柱， D 是 AC 中点，1证明 AB 1 平面 DBC 1。 2设 AB 1BC 1，求以 BC 1 为棱， DBC 1 与 CBC 1 为面的二面角的大小。CB 11A 1B CDA2. ABCD是直角梯形， ABC=90 0， SA 面 ABCD ， SA=AB=BC=1 ，AD=0.5 ，1求面SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小。 2求 SC 与面 ABCD 所成的角。SADBC3. 已知 A 1B1 C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，A 1

4、AC=60 0 ， A 1AB=45 0，求二面角 BAA 1 C 的大小。B 1C 1A 1BCA四 空间距离运算点到点、异面直线间距离1 B1C1D1 中， P 是 BC 的中点， DP 交 AC 于 M， B1P 交 BC 1 于N，1求证： MN 上异面直线 AC 和 BC 1 的公垂线。2求异面直线AC 和 BC 1 间的距离。D 1C 1A1B1NDCPMA点到线， 点到面的距离 2点 P 为矩形 ABCD 所B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在平面外一点， PA面 ABCD ， Q 为线段 AP 的中点， AB=3 ， CB=4 ，PA=2，求 1点 Q到直线 B

5、D 的距离。2点 P 到平面 BDQ 的距离。3边长为 a 的菱形 ABCD 中， ABC=60 0 ，PC平面 ABCD ，E 是 PA 的中点，求 E 到平面 PBC 的距离。线到面、 面到面的距离 4. 已知斜三棱柱A 1B1C1-ABC 的侧面 A 1 ACC 1 与底面 ABC 垂直，ABC=90 0，BC=2 ， AC=23 ，且 AA 1 A 1C， AA 1=A 1C，1求侧棱AA 1 与底面 ABC所成角的大小。 2求侧面 A 1ABB 1 与底面 ABC 所成二面角的大小。 3求侧棱 B 1B 和侧面 A 1ACC 1 距离。B 1C 1A 1BCA5正方形 ABCD 和正

6、方形 ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD 、ABFE 相互垂直，点 M 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，假设 CM=NB=a 0a当 a 为何值时， MN 的长最小。2 ，1求 MN 的长。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立体几何中的向量问题空间角与距离基础自测可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m=0，1，0，n=0， 1， 1，就两平面所成的二面角为.答案45或 135A、B 两点，直线 AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB. 已知 AB=4，AC=6，BD=8，CD=21

7、7 ，就该二面角的大小为.答案603. 如下图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1 B1 C1D1 中， O是底面 ABCD的中心， E、 F 分别是 CC1 、AD的中点，那么异面直线OE和 FD1 所成角的余弦值等于.答案1554. 如下图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体 ABCOA B CD， AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为.答案2 a25. 2021福建理， 6如下图，在长方体 ABCD A1 B1 C1D1 中， AB=BC=2，AA1=1，就 BC1 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为.答案105例 12021海南理， 18如下图，已知点P 在正方

8、体 ABCD ABCD的对角线 BD上 , PDA=60.(1) 求 DP与 CC所成角的大小 ;(2) 求 DP与平面 AAD D所成角的大小 .解 如下图，以 D 为原点， DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 DA =1， 0， 0， CC连接 BD, BD .在平面 BBD D中,延长 DP交 BD于 H.=0,0,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 DH = m, m,1 m0, 由已知 DH , DA =60,由 DA DH =| DA |DH |cos DH ,DA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品名师归纳总结可得 2m=2m 21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 m=2 , 所以 DH = 2 , 222 ,1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(1) 由于 cos DH , CC =20202121 1=2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 DH , CC =45 ,即 DP与 CC所成的角为 45.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 平面 AADD 的一个法向量是DC =0,1,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由于 cos

10、DH , DC =2所以 DH , DC =60 ,0212121 0= 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得 DP与平面 AA DD 所成的角为 30.例 2在三棱锥 SABC中， ABC是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SA=SC=23 ，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如下图 .求点 B到平面 CMN的距离 .解 取 AC的中点 O，连接 OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC， 平面 SAC平面 ABC=AC，SO平面 ABC， SO BO.如下图，建立空间直角坐标系O xyz，就 B0，23 ，

11、 0， C-2 ，0，0，S0， 0，22 ， M1，3 ，0，N0， 3 ， 2 . CM =3，3 ， 0， MN =-1 ， 0， 2 ， MB =-1 ，3 ，0.设 n= x, y, z 为平面 CMN的一个法向量，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 CMn3x MNn-x3y0 ，取 z=1， 2z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 x=2 , y=-6 , n= 2 ，-6 ， 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 B到平面 CMN的距离 d=n MB n4 2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 316 分

12、如下图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD是矩形， PA底面 ABCD，PA=AB=1， AD=3 ，点 F是 PB 的中点，点 E 在边 BC上移动 .1点 E 为 BC的中点时，试判定 EF 与平面 PAC的位置关系，并说明理由。2求证：无论点 E 在 BC边的何处，都有PEAF。3当 BE为何值时， PA与平面 PDE所成角的大小为 45.1解当点 E 为 BC的中点时， EF与平面 PAC平行.在 PBC中， E、F 分别为 BC、PB 的中点， EFPC.又 EF平面 PAC，而 PC平面 PAC，EF平面 PAC.4 分2证明以 A 为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系就 P0，0

13、，1，B0， 1，0，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F0， 1 ，21 ， D 3 ， 0，0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 BE=x ，就 Ex ，1， 0，PE AF =x ，1，-1 0， 1 ，21 =0，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PEAF.10 分3解设平面 PDE的法向量为 m= p, q,1,由 2知 PD = 3 ，0， -1 ， PE =x， 1，-1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m PD由m PE01，得 m=,103x ,1 .12 分3

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 AP =0， 0， 1，依题意 PA与平面 PDE所成角为 45,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin45 =mAP2=，2m AP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1211x33= 1,14 分21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 BE=x=3 -2 或 BE=x=3 +2 3 舍去 .故 BE=3 -2 时， PA与平面 PDE所成角为 45 .16 分1. 如下图， AF、DE分别是 O、O1 的直径， AD与两圆所在的平面均垂直， AD=

15、8. BC是 O的直径， AB=AC=6， OE AD.1求二面角 B- AD- F 的大小。2求直线 BD与 EF 所成的角的余弦值 .解 1 AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故 BAF是二面角 BADF 的平面角 .依题意可知， ABFC是正方形， BAF=45 .即二面角 BADF 的大小为 45 ;2以 O 为原点， CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系如下图， 就 O0，0，0，A0，-32 ， 0， B32 ，0， 0， D0，-32 ，8， E0，0，8，F0，32 ，0， BD =-32 ，-32 ，8， EF =0， 32 ， -8 .可编辑资

16、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos BD , EF = BDEF =BD EF01864 =-82 .1008210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设异面直线 BD与 EF所成角为，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos=|cos BD , EF |=82 .10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即直线 BD与 EF所成的角的余弦值为82 .10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知：正四棱柱 ABCDA1 B1 C1 D1 中，底面边长为 22 ，侧棱长为 4， E

17、、F 分别为棱 AB、BC的中点 .1求证：平面 B1 EF平面 BDD1 B1 。2求点 D1 到平面 B1EF 的距离 .1证明建立如下图的空间直角坐标系，就D0，0， 0， B22 ， 22 ，0，E22 ， 2 ，0，F 2 ，22 ，0，D1 0，0， 4，B1 22 ，22 ，4.EF =-2 ， 2 ，0， DB =22 ， 22 ，0， DD 1 =0，0，4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF BD =0， EF DD 1 =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EFDB，EFDD1，DD1 BD=D，EF平面 BDD1B1.又 EF平面 B

18、1 EF，平面 B1EF平面 BDD1 B1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解由1知D1B1=22 ， 22 ， 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EF =-2 ， 2 ，0，B1 E =0， -2 ， -4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设平面 B1 EF的法向量为 n, 且 n= x, y, z就 n EF , n B1E即 n EF =x，y， z-2 ， 2 ， 0=-2 x+2 y=0， n B1E =x， y，z 0，-2 ，-4 =-2 y -4 z=0，可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品名师归纳总结令 x=1, 就 y=1, z=-2 , n=1,1,-2 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D1 到平面 B1EF的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D1 B1 nd=2 22 2= 1617 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n121221724可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如下图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱PA底面 ABCD，AB=3 ，BC=1，PA=2， E 为 PD的中点 .1求直线 AC与 PB 所成角的余弦值。2在侧面 PAB内找一点 N，使 NE

20、平面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 方法一1建立如下图的空间直角坐标系，就 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A0，0，0，B 3 ，0， 0、C 3 ， 1，0、D0， 1，0、P0， 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、E0 ，1 ， 1 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 AC =3 ，1， 0， PB = 3 ，0， -2 .设 AC 与 PB 的夹角为，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cos=AC PB=3= 3 7 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载

21、精品名师归纳总结ACPB2 714可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC与 PB所成角的余弦值为3 7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结142由于 N点在侧面 PAB内，故可设 N点坐标为 x,0, z, 就 NE =- x， 1 ， 1- z，由 NE平面 PAC可2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得NE AP0 ，即1x,1z2 0, 0,20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NE AC01x,1z23,1,00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简得z1013 x

22、23, x6 0z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 N 点的坐标为3 ， 0， 1，从而 N点到 AB、AP的距离分别为 1， 3 .66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二1设 ACBD=O， 连接 OE，AE，BD，就 OEPB， EOA即为 AC与 PB所成的角或其补角 .在 AOE中， AO=1， OE= 1 PB=7 ， AE= 1 PD=5 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理得175cos EOA=4422223 7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结27

23、1142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 AC与 PB所成角的余弦值为3 7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结142 在平面 ABCD内过 D 作 AC 的垂线交 AB于 F, 就 ADF=. 连接 PF, 就在 Rt ADF中,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DF=cosADADF= 2 3 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF=ADtan ADF=3 .3设 N 为 PF 的中点，连接 NE，就 NE DF.DFAC，DFPA，DF平面 PAC，从而 NE平面 PAC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

24、N点到 AB的距离为1 AP=1，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N点到 AP的距离为1 AF=3 .26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、填空题ABCDA1B1 C1D1 中, M是 AB 的中点 , 就 sin DB1 , CM 的值等于.答案21015ABCDA1B1 C1D1 的棱长为 1，O是 A1 C1 的中点，就点 O到平面 ABC1D1 的距离为.答案243. 2021全国理， 11已知三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC内的射影为 ABC的中心，就 AB

25、1 与底面 ABC所成角的正弦值等于.答案234. P 是二面角AB 棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，假如 BPM=BPN=45， MPN=60，那么二面角AB的大小为.答案90ABCDA1B1 C1D1 的棱长为 1，E、F 分别为 BB1 、CD的中点，就点 F 到平面 A1 D1E 的距离为.答案3 5106. 如下图，在三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AA1底面 ABC，AB=BC=AA1， ABC=90，点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点，就直线 EF 和 BC1 所成的角是.答案607. 如下图，已知正三棱柱ABCA1 B1C1 的全部棱长都相等， D是 A

26、1 C1 的中点，就直线 AD与平面 B1DC所成角的正弦值为.答案45S ABCD中, O 为顶点在底面上的射影 , P 为侧棱 SD的中点 , 且 SO=OD, 就直线 BC与平面 PAC所成的角是.答案30二、解答题9. 如下图，在几何体 ABCDE中， ABC是等腰直角三角形， ABC=90，9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE 和 CD都垂直于平面ABC，且 BE=AB=2，CD=1，点 F 是 AE的中点 .求 AB 与平面 BDF所成角的正弦值 .解 以点 B 为原点， BA、BC、BE所在的直线分别为 x， y，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系，就B0，0，

27、0，A2，0，0，C0， 2，0，D0， 2， 1， E0，0， 2， F1，0，1. BD =0， 2， 1， DF =1，-2 ，0.设平面 BDF的一个法向量为n=2，a，b，n DF ，n BD ，n DF0n BD0即 2, a, b 1, 2, 002, a, b 0,2,10解得 a=1， b=-2. n=2，1，-2 .设 AB 与平面 BDF所成的角为，就法向量 n 与 BA 的夹角为-，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 2-= BA n =BA n2,0,022,1, 23= 2 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin= 2

28、, 故 AB 与平面 BDF所成角的正弦值为2 . 33P ABCDE中， PA=AB=AE=2a， PB=PE=22 a，BC=DE=a， EAB=ABC=DEA=90.1求证： PA平面 ABCD。E2求二面角 APDE 的余弦值 .1证明以 A 点为坐标原点，以 AB、AE、AP所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz，就由已知得A0，0，0，P0，0，2a， B2a，0，0，C2a，a， 0， Da，2a，0，E0， 2a， 0. AP =0， 0， 2a， AB =2a， 0，0， AE =0， 2a， 0， AP AB =0 2a+00+2a 0=0， AP

29、AB . 同理 AP AE .又 AB AE=A， PA平面 ABCDE.2解设平面 PAD的法向量为 m=1, y, z ,就 m AD =0，得 a+2ay =0，y=- 1 .2又 m AP =0，得 2az =0， z=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m=1，-1 ，0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再设平面 PDE的法向量为 n= x,1, z,而 ED =a， 0， 0， PD =a，2a，-2 a， 就 n ED =0，得 ax=0， x=0.又 n PD =0，得 ax+2a-2 az=0， z=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

30、师归纳总结n=0，1， 1.令二面角 APDE 的平面角为，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cos=-m n=mn12=10 ，5102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故二面角 APDE 的余弦值是10 .10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 如下图，在三棱锥 PABC中， ABBC，AB=BC=kPA，点 O、D 分别是 AC、PC的中点， OP底面 ABC.1假设 k=1，试求异面直线 PA与 BD所成角余弦值的大小。2当 k 取何值时，二面角 O PCB 的大小为？3解 OP平面

31、ABC，又 OA=OC，AB=BC，从而 OAOB，OBOP，OAOP，以 O 为原点，建立如下图空间直角坐标系Oxyz .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设 AB=a，就 PA=a，PO=2 a， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2 a，0，0，B0， 22 a，0， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C-2 a， 0，0，P0， 0， 22 a， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

32、总结就 D-2 a， 0， 42 a. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PA =2 a，0， - 22 a ， BD =-21 a 22 a， - 41 a 22 a， 22 a ， 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos PA , BD = PA BD =44=-3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA BD3 a232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就异面直线 PA 与 BD所成角的余弦值的大小为3 .32设 AB=a， OP=h， OB平面 POC，可编辑资料 - -

33、- 欢迎下载精品名师归纳总结 OB =0 ，2 a，0 为平面 POC的一个法向量 . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不妨设平面 PBC的一个法向量为 n=x，y， z ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2 a， 0，0 ，B0 ，22 a，0 ，C-22 a， 0，0 ，P0 ， 0，h ， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC =-2 a,-22 a,0,PC =-22 a,0,-h,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由

34、n BC0n PC0xy02 axhz02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不妨令 x=1，就 y=-1 ， z=-2a2a ，2hOB n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 n=1,-1,-, 就 cos2h=3 OB n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a=2= 12+2a1=4h=a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a22a 222h 22h 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA=AO 2PO 2 =1 a21 a 2 =43 a,2可编辑资料 - -

35、- 欢迎下载精品名师归纳总结而 AB=kPA, k= 2 3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故当 k= 2 33时, 二面角 O PCB 的大小为.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 2021 湛江模拟 如下图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB=BC=2，AA1 =4， E 是棱 CC1 上的点，且 BE B1 C.1求 CE的长。2求证： A1C平面 BED。3求 A1 B 与平面 BDE所成角的正弦值 .1解如下图，以 D 为原点， DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D xyz.D0， 0，0， A2，0， 0， B2，2，0， C0，2，0，A1 2，0，4，B1 2，2， 4， C1 0， 2，4， D10，0，4.设 E 点坐标为 0，2， t ，就 BE =-2 ， 0， t ， B1 C =-2 ， 0， -4 .BEB1C， BE B1C =4+0-4 t =0. t =1，故 CE=1.2证明由 1得， E0， 2，1， BE =-2 ，0， 1，又 A1C =-2 ， 2，-4 ， DB =2，2， 0， A1C BE =4+0-4=0 ，且 A1C