应用柯西不等式解中学数学题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载应用柯西不等式解中学数学题（竞赛专题）温州中学谢正康柯西不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其他一些不等式，有时仍较为简捷。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结柯 西 不 等 式 内 容 是 ： 如a1 , a2，a n与b1,b2，bn为 两 组 实 数 ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122a ba b222nn12a baaab 2b 2b 2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n12na1a2当且仅当b1b2a n时，（ A ）式取等号。bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1证明：由于a2b1x022b2 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2anbn x0222所以把上列 n 个不等式相加得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fxa1b1 xa2b2 xanbn x0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fxb 2b 2b 2 x22 a ba ba bxa 2

3、a 2a 20 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n1 122nn12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1b2由于 b 2220, 且 fx0 ，所以关于x 的二次三项式fx 的判别式0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b22222n即 = 4 a ba ba b24 b2bbaaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 122nn12n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a ba ba b2a 2a 2a 2b 2b 2b 2 A可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品名师归纳总结1 122nn12n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结现在讨论（ A）式取等号问题。如（ A ）式取等号，就=0，于是由（ 2）知方程f x0 有二重实根xk, 代入（ 1）得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a1b1 k2a2b2 k2anbn k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是， a1b1 ka 2b2 ka nbn k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

5、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a 2所以b1b2ank3bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样，就是由如（A ）式取等号，推导得（3）成立。反之，由（ 3）易于推导出（A ）式取等号说明：应用柯西不等式（A ）证题的关键是善于构造两组数：a1 , a2 ,b1 ,b2 ,an ;bn ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式（ A ）

6、的左端是这两组数对应项的乘积之和的平方，即a1 b1a2 b22anbn，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右端是每组中诸数平方和之积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a122222aabbb2n12na 2a 2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：已知，12nxxx122212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：a1x1a2 x2an bn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法一：（常用证法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2211a2x22a1 x1 2a x, a2x22

7、a x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222nnnnxn把上面 n 个不等式相加，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaxx2222212n1222a1x12a 2 x22a n xn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 a1 x1即a2 x2an xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 x1a2 x2an xn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证法二：（利用柯西不等式来证明）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：a1, a2 ,a n ; x1 ,

8、x2xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由柯西不等式（A）有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 x1a2 x22an xn222222aaaxxx12n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 x1a2 x2an xn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2 ： 设a1 , a 2 ,a n 是 一 串 互 不 相 同 的 正 整 数 ， 证 明 对 一 切 自 然 数 n ， 都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a212

9、22an111n 22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载分析：上不等式可写为111a1a2an12n1222n2构造如下两组数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a 2,12,an。1,1,1na1a 2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a21an12a1a2an1111a12a2

10、nan21222na1a2an2由柯西不等式（A），有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a1a 2an111222即12n12na1a 2a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与原不等式比较，须证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a1a2111an121就行了n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结怎样证明上一不等式了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a1 , a2 ,a n 是不相同的正整数，不失一般性，故可设a1 , a 2 ,an ，是从小到大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

11、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结排列的正整数，于是有a11, a22,a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11, 1a1a21 ,112a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把上 n 个不等式相加，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a1a 2111111a n12n1a1a 2a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n122 2n 2请读者依据上面的分析写出证明例 3：设 ABC为任意三角形，求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg 2 A2tg 2 B

12、2tg 2 C12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：从所要证明的不等式动身，构造如下两组数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A ,tg B , tg C， 1， 1，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载由柯西不等式（A），有可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Atg12Btg122Ctg12tg 2 Atg 2 B22tg 2 C1212122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21ABC即tgtgtg3222tg 2 A2tg 2 B2tg 2 C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把上面这个不等式与求证的不等式比较，可知假如能推导出ABCtgtgtg2223 ，问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题就解决了，但是，tg A 2tg B 2tg C23 ，所以，这样构造的

14、两组数不能证明求证的不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式成立，因此应修改所构造的两组数如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Atg, tg 2B C, tg。22BCtg, tg22A, tg, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由柯西不等式（A），有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A 2tg B 2tg B 2tg C2tg C22tg A 2tg 2 A2tg 2 B2tg 2 C2tg 2 B2tg 2 C2tg 2 A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

15、即tg A 2tg B 2tg B2tg C2tg C22tg A 2tg 2 A2tg 2 B22tg 2 C.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把上面不等式与求证不等式比较，可知要证原不等式成立，须证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A 2tg B 2tg B 2tg C2tg C2tg A1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上面这个不等式，可证明如下：由已知 ABC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tgAB 2tg Atg B22ctg C ,21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tgA tg B 2

16、2tg C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A tg Btg B tg Ctg C tg A1.222222这样，此题即可证明白.依据上面的分析，写出证明如下：先构造如下两组数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A , tg 2Btg, tg 2B ,

17、 tg C ; 22C A, tg.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由柯西不等式（A）有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A 2tg B 2tg B 2tg C2tg C22tg A 2tg 2 A2tg 2 B2tg 2 C2tg 2 B2tg 2 C2tg 2 A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即tgA tg B 22tg B tg C222tg C tg A22tg 2 A2tg 2 B22tg 2 C.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知 ABC,可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结tgAB 2tg Atg B22ctg C ,21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tgA tg B 22tg C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg A tg B22tg B tg C22tg C tg A1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是，有 1tg 2 A2tg 22B tg 2 C,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tg 2 A2tg 2 B2tg 2 C1 .2可编辑资料 -

19、- - 欢迎下载精品名师归纳总结12 xn1 xn x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4：设 fxn2，lg其中 a 是实数， n 是任意给定的自然数且 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(i) 假如f x 当 x,1 时有意义 , 求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(ii) 假如 a0,1, 证明 2 fxf2x当 x0 时成立 .1990年全国一般高等学校招生统可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一考试第26 题

20、此题其次步骤用柯西不等式证明较为简捷.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：构造两组数，1,2 x ,3 x , n1 x , n x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,1,1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载当 0a1x0 时，有 a 2a由柯西不等式（A）有可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品名师归纳总结1 12 x13 x1n1 x1n xa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212 122 x 23 x 2n x a 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n122 x2 2 x32 x32 xn1 2xn1 2 xn 2 x a 2 n 2 x a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当a1, x0 时，因 12 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是由柯西不等式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 xn1 xn x 2n 12 2x n1 2xn 2x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故当 a0,1 x0都有12 xxx2n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12 2x n1 2xn 2x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载