2019-2020学年八年级数学上册-15.1《整式的乘法》教案-新人教版--.doc

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1、2019-2020学年八年级数学上册 15.1整式的乘法教案 新人教版 教 法 建 议抛砖引玉本单元讲授整式的乘法.应首先复习幂的运算性质（同底幂的乘法，幂的乘方，积的乘方），它是学习整式乘法的基础.教学时，适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义.在讲授三个性质中，同底数幂的乘法性质是最基本的，它又是第一个要学习的，因此，应集中力量，并用较多的时间进行学习.通过实例，重点练习，使学生理解，掌握同底幂的乘法性质的推导和运用，其他两个性质便迎刃而解了.在学生掌握了幂的运算性质以后，作为它们的一个直接应用.单项式的乘法是学好本单元的关键，我们知道，运用多项式乘法法则进行多项式乘法

2、的关键是熟练地进行单项式乘法，因此，教学时，应予以足够重视，使学生能运用法则熟练地进行单项式乘法运算.指点迷津在本单元推导性质的学习中，是一个由特殊到一般的认识过程；把性质运用到具体的解题中去，则是一个由一般到特殊的过程.在学习时，一定要注意知识发生的过程，千万不要死记硬背性质的结论，再用结论模仿例题做题.在知识发生的学习中，应注意由具体到一般归纳推理的方法和依据，从知识发生的过程中理解并切实掌握性质.对性质字母表达式和文字语言表达，应在理解的基础上加以记忆；在运用的基础上加以巩固，产生质的飞跃，以强化数学素质.在乘法法则的学习中，应注意“转化”的思想方法.例如，多项式与多项式相乘，根据法则，

3、第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法.单项式乘法“转化”为有理数乘法与幂的运算.步步孕育着转化，是本单元学习的“精髓”.总之，要打好幂运算性质，基础，抓好单项式乘法这个关键，熟练掌握“转化”方法，就能顺利学好本单元内容，并能取得较好的效果.学 海 导 航思维基础扎实基础，熟练掌握，灵活运用，便可更上一层楼，下面一些基础知识，一定要掌握.1.(m,n表示任意正整数) 这就是说，同底数 .2.(am)n=amn(m,n )这就是说，幂的乘方 .3.(ab)n=anbn(n为 )这就是说，积的乘方， .4.一般地，单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘， .5.单

4、项式与多项式相乘， .6.多项式与多项式相乘， .7.(x+a)(x+b)=x2+( )x+( )8.如右图长方形的面积，请你用算式表示出来：（ ）（ ）= 学法指要 【例1】 计算：mm2m3(-a)2a3(-a2)(3x+2y)2(3x+2y)3(a-3b)2(a-3b)m-1(a-3b)2m+32223242思考：1.你知道同底数幂的乘法性质吗？ 2.在幂的运算法则中的底数，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式吗？ 3.指数可以是自然数，也可以是代表自然数的字母吗？思路分析：本例是同底数幂的乘法运算，根据其性质，便可顺利求得结果.解：（1）原式=m1+2+3=m6（2）原式=a2a3

5、(-a2)=-a2+3+2=-a7（3）原式=(3x+2y)2+3=(3x+2y)5（4）原式=(a-3b)2+m-1+2m+3=(a-3b)3m+4（5）原式=22+3+4+1=210=1024【例2】 计算：（1）xxm-xm+1（2）5256-555+52(-54)（3）(a+b-c)2n(c-a-b)2n-1+(a+b-c)2n+1(c-a-b)2n-2思考：1.你知道运算顺序吗？ 2.幂的运算法则可以逆向应用吗？ 3.2n+1和2(n+1)都是偶数吗？思路分析：本例为混合运算，应先根据同底数幂的运算性质进行乘法运算，再进行加减运算，对运算公式要考虑正向及逆向应用.解：（1）原式=x1

6、+m-xm+1=0（2）原式=52+6-51+5-52+4 =58-56-56 =5256-56-56 =(52-1-1)56 =2356（3）原式=(a+b-c)2n2n-1+(a+b-c)2n+12n-2 =-(a+b-c)2n+2n-1+(a+b-c)(2n+1)+(2n-2) =-(a+b-c)4n-1+(a+b-c)4n-1 =0【例3】 计算：（1）(a3)5（2）(-x3)2(-x2)3（3）(m2n-1)2(mn+1)3（4）32（5）（6）(-2a4)4+2a10(-2a2)3+2a45(a4)3思考：1.你知道幂的乘方性质吗？ 2.你会叙述积的乘方性质吗？ 3.幂的乘方和同

7、底数的乘法有什么不同？ 4.负数的奇次幂为负，偶次幂为正，你知道吗？思路分析：本例是幂的乘方和积的乘方运算.应用它们的性质可打通思路，对混合运算要注意运算顺序，对符号的变化也不可忽视.解：（1）(a3)5=a35=a15（2）(-x3)2(-x2)3=(-1)2(x3)2(-1)3(x2)3 =x6(-x6) =-x12(3)(m2n-1)2(mn+1)3 =m2(2n-1)m3(n+1) =m4n-2m3n+3 =m7n+1(4)32 =(3x+2y)23(3x+2y)32 =(3x+2y)6(3x+2y)6 =(3x+2y)12(5) (6)(-2a4)4+2a10(-2a2)3+2a45

8、(a4)3 =(-2)4(a4)4+2a10(-2)3(a2)3+2a45(a4)3 =16a16+2a10(-8)a6+2a45a12 =16a16-16a16+10a16 =10a16【例4】 计算:(1) （2）(-3a2b3)24(-a3b2)5 （3）(xy2z3)2-(2x2y3z)3+2x2yz3(-yz)3-2y3z3思考：1.单项式的乘法法则是什么？ 2.乘法的交换律、结合律你知道吗？ 3.幂的运算性质、积的乘方性质还熟悉吗？思路分析：本例是单项式的乘法，按照单项式的乘法法则进行运算.单项式的相乘以幂的运算性质为基础的，凡有幂的乘方或积的乘方时，可先计算，最后转化为数的乘法及

9、同底数幂的乘法.若单项式系数中既有分数，又有小数，通常化为分数.解：（1）原式= = =-6a9b10c5（2）原式=(-3)2(a2)2(b3)24(-1)5(a3)5(b2)5 =9a4b64(-1)a15b10 =-36a19b16（3）原式=x2(y2)2(z3)2-23(x2)3(y3)3z3+2x2yz3(-1)3y3z3 -(-x3)22y3z3 =x2y4z6-8x6y9z3-2x2y4z6-x6y6y3z3 =x2y4z6-8x6y9z3-2x2y4z6-x6y9z3 =-x2y4z6-9x6y9z3【例5】计算：（1）4ab(3a2+2ab-1)（2）（3）2x(x2-xy

10、-y2)-3xy(4x-2y)+2y(7x2-4xy+y2)思考：1.单项式与多项式的乘法计算方法如何？请叙述. 2.单项式乘以多项式，积仍是一个多项式吗？其项数与所乘多项式的项数相等吗？ 3.积的各项符号应如何确定？思路分析：本例是单项式乘以多项式，必须按照其法则进行.对于混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，后加减，运算结果要检查，如果有同类项要合并，结果要最简.解：（1）原式=4ab3a2+4ab2ab+4ab(-1) =12a3b+8a2b2-4ab（2）原式= =-4y4+3xy-2y（3）原式=2x3-2x2y-2xy2-12x2y+6xy2+14x2y-8xy2+2y3 =2x

11、3-4xy2+2y3【例6】 计算（1）(3x4-3x2+1)(x4+x2-2)（2）(3x+1)(x+1)-(2x-1)(x-1)-3x(x-2)-2x(-3x)思考：1.请叙述多项式乘以多项式的法则. 2.怎样可避免出现多项式的乘法在展开后合并同类项前出现“重”或“漏”？检查的方法是什么？ 3.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时，如何确定积中各项的符号？思路分析：多项式乘以多项式的运算法则是打开本例的症结.要按照运算法则一步一步细心运算，并要做到不“重”不“漏”，别出现符号错误，计算结果要最简.解决此类问题便可扫清障碍.解：（1）原式=3x8+3x6-6x4-3x6-3x

12、4+6x2+x4+x2-2 =3x8-8x4+7x2-2（2）原式=3x2+3x+x+1-(2x2-2x-x+1)-(3x2-6x)+6x2 =3x2+3x+x+1-2x2+2x+x-1-3x2+6x+6x2 =4x2+13x【例7】 计算（1）(x+7)(x-8)（2）(-3x+2)(-3x+6)思考：1.(x+a)(x+b)= ;2.利用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab可直接写出上两式的计算结果吗？ 3.多项式乘以多项式的法则还适用吗？思路分析：本例符合“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”的形式，可利用其公式直接写出结果.不过对（2）式必须视“-3x”为“x”，

13、方可利用.解：（1）(x+7)(x-8)=x2+(7-8)x+7(-8) =x2-x-56（2）(-3x+2)(-3x+6)=(-3x)2+(2+6)(-3x)+26 =9x2-24x+12【例8】 计算：(x+2)(x-2)(x2+4)思考：1.三个多项式相乘应如何进行运算？多项式乘以多项式的运算法则还适用吗？ 2.本例是否可利用“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”这一公式？思路分析：三个多项式相乘，可先把两个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘即可.对本例又符合“(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab”的形式，因此，本例有两种思路可运用.解：(x+2)(x-2)(

14、x2+4) =(x2+4) =(x2-4)(x2+4) =(x2)2+(-4+4)x2+(-4)4 =x4-16又解：(x+2)(x-2)(x4+4) =(x2-2x+2x-4)(x4+4) =(x2-4)(x2+4) =x4+4x2-4x2-16 =x4-16思维体操 【例1】计算：（1）（2）（3）(2.5)2000161000【例2】 已知：x2+x-1=0，求x3-2x+4的值.思考：1.你如何根据题设条件求x3-2x+4的值？ 2.x3-2x+4含有x2+x-1的式子吗？ 3.如何将x2+x-1=0进行变形，向要求的未知过渡？反之，如何将x3-2x+4向已知变形，架起它们之间的桥梁？

15、思路分析：本例必须从已知向未知转化，式从未知向已知转化，也可二者同时进行，相辅相成，逆向思维，大胆探索，便可找到十分漂亮的解法.解： x2+x-1=0 x2=1-x x3-2x+4 =x(1-x)-2x+4 =x-x2-2x+4 =x-(x2+x-1)-x+3 =x-0-x+3 =3又解： x2+x-1=0x3-2x+4=x3+x2-x+x2+x-1-2x2-2x+2+3 =x(x2+x-1)+(x2+x-1)-2(x2+x-1)+3 =x0+0-20+3 =3 x3-2x+4=3再解： x2+x-1=0 x3+x2-x=0 x3=x-x2 x3-2x+4=x-x2-2x+4 =-x2-x+1

16、+3 =-(x2+x-1)+3 =-0+3 =3【例3】 某学生在计算一个整式乘以3ac时错误地算成了加上3ac，得到的答案是3bc-3ac-2ab，那么正确的计算结果应是多少？思考：1.如何找出这位学生产生错误的原因？怎样纠正？ 2.单项式乘以多项式的法则是什么？ 3.如何进行整式加减？思路分析：应找出产生错误的症结是以乘误为加.可根据加数与和的关系求出原来正确的多项式，进而再应用单项式乘以多项式的法则进行运算，就可计算出正确结果.解：依题意可知，原来正确的多项式是 （3bc-3ac-2ab）-3ac=3bc-3ac-2ab-3ac =3bc-6ac-2ab 正确的计算结果为 (3bc-6a

17、c-2ab)3ac=3bc3ac-6ac3ac-2ab3ac =9abc2-18a2c2-6a2bc三、智 能 显 示心中有数对本单元同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等幂的运算性质，能用字母式子和文字语言表述这些性质，加深理解，并能应用它进行运算.单项式的乘法法则是学好本单元的关键，要认真领会，熟练掌握，灵活运用其法则进行运算.单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的法则也应理解并掌握，以便运用它们进行运算.动脑动手计算：12.(b-a)3(a-b)4(a-b)2(b-a)23.4.5.6（x2+x-5）(x2-x+10)7.(4x+5)(4x+6)8.先化简，再求值：，其中创新园地 1.如

18、图，计算变压器铁芯片的面积.（图中的长度单位：厘米） 2.若(x2+px+8)(x2-3x+q)的积中，不含x2和x3项，求p,q的值.3.先化简，再求值： 其中、y=24.解方程： 5x(x-2)-(x-2)(x+4)=2(x-2)(2x-3)四、同 步 题 库填空题1.积的乘方，等于把积的每一个 ，再把所得的 ；用字母表示为 .2.2= .3.(a+b-c)2(-a-b+c)3= .4.0.1253212= .5.若，则x= .6.正方体油箱的棱长为a103毫米，则油箱的体积为 毫米3.7.光的速度是每秒3105千米，太阳光射到地面需要8分20秒的时间，则地球与太阳之间的距离为 .8.若(

19、2x+3)(5-2x)=ax2+bx+c,则a= ,b= ,c= .9.若(x2+px+8)(x2-3x+1)的展开式中不含有x3的项，则P= .10.(x-2)(x2+2x+4)= .选择题11.(-2)3(-2)4= . （A）27 （B）-27 （C）212 （D）2-1212.下列说法中，错误的是 . （A）单项式乘单项式，积一定是单项式 （B）两个单项式相乘，乘积结果的次数是这两个单项式次数的和 （C）两个单项式相乘，乘积结果的次数是这两个单项式次数的积 （D）两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现13.m为正整数时，2m+18m的化简结果为 . （A）162m+1 （B

20、）16m2+m （C）24m+1 （D）23m2+3m14.若(-2)5(-2)n0，则n为 . （A）奇数 （B）偶数 （C）5 （D）615.若353n=3m+4;232m=23n，则m、n的值为 . （A） （B） （C） （D）16.若（410n）(20103)(5102)=4109，那么n的值等于 . （A）2 （B）3 （C）4 （D）517.如果(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a与b一定是 . （A）互为相反数 （B）互为倒数 （C）相等 （D）a比b大18.若M=(x-3)(x-5),N=(x-2)(x-6)，则M与N值的关系为 . （A）M=N （B）MN （C

21、）MN （D）M与N的大小由x的联值而定19.一条水渠的横断面为梯形，已知梯形的上底为a，下底为(a+2b)，高为(a-b)，则梯形面积的代数式为 . （A）2a2-2b2 （B）a2-b2 （C）2a2-b2 （D）20.一个正方形边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，那么这个正方形的边长是 . （A）5cm （B）6cm （C）8cm （D）9cm计算题21.222.23.-21000.5100(-1)199924xn+1(yn+2)2(xy)225.26.5x3y(-3y)2+(-6xy)2(-xy)-xy3(-4x)227.(-3ab2)2(ab2-2a2b+a3)28.(x2)3

22、-2x329.5a(a-b+c)-2b(a+b-c)-4c(-a-b-c)30.(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)解答题31.计算(xm+n)2(-xm-n)3+x2m-n(-x3)m.32.求值yn(yn+9y-12)-3(3yn+1-4yn)，其中y=-3,n=2.33.已知x2+x-1=0，求x3-2x+4的值.34.3(x2)4(x3)3-x(-x4)4+(-2x4)2(-x)3(x2)3，其中x=-1.35.若x3n=5,试求代数式(-2x2n)3+4(x3)2n的值.36.在半径为5R的圆圈内有一个半径为R的小圆圈，当小圆圈沿大圆圈内壁滚动一周后，小圆圈滚过的面积

23、为多少？37.，其中.38.,其中x=-1,y=2.39.,其中.40.,其中. 参 考 答 案动脑动手1.原式= =2.原式=-(a-b)3(a-b)4(a-b)2(a-b)2 =-(a-b)3+4+2+2 =-(a-b)113.原式 4.原式 5.原式 6.原式=x4-x3+10x2+x3-x2+10x-5x2+5x-50 =x4+4x2+15x-507.原式=(4x)2+(5+6)4x+56 =16x2+44x+308.原式 上原式 注：本例视(xy)为一整体，然后进行代入求值，大大简化运算过程.可见，整体思维方法应好好学习与掌握.创新园地1.解法一：变压器铁芯片的面积是 (2.5a+1

24、.5a)(a+2a+2a+2a+a)-22.5a2a=4a8a-10a2 =32a2-10a2 =22a2（厘米2）解法二：变压器铁芯片的面积是 2.5aa+2.5a2a+2.5aa+1.5a8a=2.5a2+5a2+2.5a2+12a2 =22a2(厘米2)解法三：变压器铁芯片的面积是 解法四：变压器铁芯片的面积是 2(2.5a+1.5a)a+(2.5a+1.5a)2a+22a1.5a=2.4aa+4a2a+4a1.5a =8a2+8a2+6a2 =22a2(平方厘米)2.(x2+px+8)(x2-3x+q)=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+8x2-24x+8q =x4+(p

25、-3)x3+(q-3p+8)x2+(pq-24)x+8q 积中不含x2和x3项 3.原式 当时上原式 4.解：5x2-10x-x2-4x+2x+8=4x2-8x-6x+12 5x2-10x-x2-4x+2x+8x+6x-4x2=12-8 2x=4 x=2又解：5x(x-2)-(x-2)(x+4)=2(x-2)(2x-3) 5x(x-2)-(x-2)(x+4)-2(x-2)(2x-3)=0 (x-2)=0 (x-2)(5x-x-4-4x+6)=0 2(x-2)=0 x=2同步题库填空题1.因式分别乘方；幂相乘，(ab)m=ambm 2.x28 3.-(a+b-c)5 4.8 5. 6.a3109

26、7.1.5108千米 8.-4;4;15 9.3 10.x3-8选择题11.B 12.C 13.C 14.A 15.C 16.A 17.A 18.B 19.B 20.A计算题21.解：2=(-x2x12)2 =(-x14)2=x2822.解： =-54x5y823.解：24.解：xn+1(yn+2)2(xy)2=xn+1y2n+4x2y2 =xn+3y2n+625.解： 26.解：5x3y(-3y)2+(-6xy)2(-xy)-xy3(-4x)2 =45x3y3+36x2y2(-xy)-16x3y3 =45x3y3-36x3y3-16x3y3 =-7x3y327.解：(-3ab2)2(ab2-

27、2a2b+a3)=9a2b4(ab2-2a2b+a3) =9a3b6-18a4b5+9a5b428.解：(x2)3-2x3=x6-2x3(x3-4x3-x) =x6-2x6+8x6+2x4 =7x6+2x429.解：5a(a-b+c)-2b(a+b-c)-4c(-a-b-c) =5a2-5ab+5ac-2ab-2b2+2bc+4ac+4bc+4c2 =5a2-7ab+9ac+6bc+4c2-2b230.解：(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y) =3xy-9x2-2y2+6xy-6x2-2xy+3xy+y2 =-15x2-y2+10xy解答题31.解：(xm+n)2(-xm-n)

28、3+x2m-n(-x3)m =x2m+2n(-1)3x3m-3n+x2m-n(-1)mx3m =-x5m-n+(-1)mx5m-n当m是奇数时，(-1)m=-1，原式=-2x5m-n当m是偶数时，(-1)m=1，原式=032.解：yn(yn+9y-12)-3(3yn+1-4yn)=y2n+9yn+1-12yn-9yn+1+12yn =y2n当y=-3,n=2时y2n=(-3)22=(-3)4=8133.解：x3-2x+4=x3+x2-x+x2+x-1-2x2-2x+2+3 =(x3+x2-x)+(x2+x-1)+(-2x2-2x+2)+3 =x(x2+x-1)+(x2+x-1)-2(x2+x-

29、1)+3 x2+x-1=0 x(x2+x-1)+(x2+x-1)-2(x2+x-1)+3即 x3-2x+4=334.解：3(x2)4(x3)3-x(-x4)4+(-2x4)2(-x)3(x2)3 =3x17-x17-4x17 =-2x17 x=-1 -2x17=-2(-1)17=235.解：(-2x2n)3+4(x3)2n =-8x6n+4x6n =-4x6n x3n=5 -4x6n=-4(x3n)2=-452=-10036.解：依题意知小圆圈滚动面积为(5R)2-(5R-2R)2=25R2-9R2 =16R237.解：x(x2-6x-9)-x(x2-8x-15)+2x(3-x) =x3-6x2-9x-x3+8x2+15x+6x-2x2 =12x 38. 解：原式=(3xy-3x2y-6x2y+3xy)2x3y2 =12x4y3-18x5y3 x=-1 y=2 12x4y3-18x5y3=12(-1)423-18(-1)523 =96+144+24039.解：(x-2)(x2-6x-9)-x(x2-2x-15) =x3-6x2-9x-2x2+12x+18-x3+2x2+15x =-6x2+18x+18 40.解： (x-2y)2+(x-y)(x-2y)-2(x-3y)(x-y) =x2-4xy+4y2+x2-2xy-xy+2y2-2x2+2xy+6xy-6y2 =xy