应用泛函分析教案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载4柯西点列和完备度量空间教学内容 或课题 ：目的要求：把握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间.1教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 xnn 1 是R 中的点列，如0， NN，s.t.当 m,nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，有dx , x= xx，就称x是R1 中的柯西点列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nmnmnn 1可编辑资

2、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Def 1设 X = X ， d 是度量空间， xnn 1 是X 中的点列.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,NN，s.t.当m, nN 时，有dxn , xm，就称 xnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 X 中的柯西点列或基本点列.如度量空间 X ， d 中每个柯西点列都收敛，就称 X ， d 是完备的度量空间.有理数的全体按肯定值距离构成的空间不完备，如点列 1, 1.4, 1,41,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.412,在 R1 中收敛于2 ，在有理数集中不收敛.可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品名师归纳总结但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实因如xnx ，就0,NN，s.t.当 m,nN 时，都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d xn , x. 因此当n，m2N 时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d xn , xmd xn , x+d xm , x+.所以 xn22n 1 是柯西点列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2l 表有界实或复数列全体 是完备度量空间.可编

4、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明设 xmm 1 是l中的柯西点列，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xm =1 ,2 ,.0,NN，s.t.当m, nN 时，都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d xm , xn=supmn j1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结jj因此对每个固定的 j ，当m, nN 时，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23

5、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载jjmn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j于是k ， k1,2,是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的肯定值定义距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n离是完备的，故存在实或复数 j ，s.t.jj n 令 x =1 ,2 ,，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结往证xl且xmx .在2 中，令n，得mN 时，成立mjjmm

6、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m由于xm =1,2,j,l，所以K m0，s.t.j，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mmjK m 不同的数列，界可能不一样.所以jjj+ K m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以xl.由3 知， mN 时，成立dxm , xsupm.jjj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以xmx .所以l是完备度量空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2令C 表示全部收敛的实或复数列的全体，x =1 ,2 ,C ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结y =1,2 ,C ，令d x, y=supjjj .就10 dx, y0 且x = y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，dx, y=0. 又jjsupj jj =dx, y=0j =j j.于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是d x, y=0x =y .20z =1 ,2 ,C ，就由于对j，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结jjjj +jjsupj jj +supj

8、j =j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d x, z + dy, z.所以supjjjd x, z+dy, z .即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d x, yd x, z+dy, z.所以dx, y可定义为C 中两点间的距离.于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是C 按距离dx, y成为度量空间 实际上是l的一个子空间.欲证C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是完备度量空间，先证可编辑资料

9、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载Th 1完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间M 是 X 中的闭子空间.证明设 M 是完备子空间，对每个xM，M 中点列 xnn 1 ，使xnx .所以 xn n 1 是 M 中柯西点列.所以它在M 中收敛.由极限的唯一性，所以xM .所以MM .即M 是X 中的闭子空间.反之，如 xn n 1

10、是M 中柯西点列，因 X 是完备度量空间，就在 X 中收敛.即xX ，s.t.xnx . 由于M 是X 中的闭子空间，所以xM ，所以 xn n 1 在M 中收敛.于是M 是完备度量空间.例 2 的证明由 Th 1 只证C 是l中的闭子空间即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x =1 ,2 ,C 要证jk，从而xC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nxn =1,2,C n1,2, ，s.t.xnx . 所以0， N，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ns.t.当nN 时，成立可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品名师归纳总结jjjnsupnjj =dxn , x.N3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊取nN ，就对j，成立jj. 由于 x NC , 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j所以当 j时，N 收敛.故N，s.t.j , kN1 时，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1jkNN.所以j , k3N 1 时，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品名师归纳总结+NNNNjkjjjkk+=.k333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以jj是柯西数列，因而收敛. 所以x =1 ,2 ,C . 所以C 是l中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1的闭子空间.由 Th 1， C 是完备度量空间.证毕.作业：P 206. 14. 15中的S, B A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

13、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作业题解：14=1， N，s.t.当m, nN 时，有dxn , xm1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊当nN 时，有dxn , xN 11. 又nN 时，dxn , x N 1只有有限个值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 M0,s.t.d xn , x N 1M .因此n, m，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

14、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d xn , xmd xn , x N 1+d x N1 , xmmax2,1M , 2 M.所以 xnn 1 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有界点列.15 设x是S 中的柯西点列， x =n ,n ,.即0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N， s.t.m, nN 时，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm1kkd xn , xm =knm2k 11kk可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结所以k，m,nnmkkN 时，成立1nmkk2k. 由于给0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于每个固定的k ，：012k 1，然后由这个，按不等式 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N. 所以m,nnmkk1n1N 时，对这个固定的k ，成立m.kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk所以nm m, nN .所以jj是实 复 数集中的柯西点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

16、品名师归纳总结1n列.而实 复 数集完备,所以kn 1 收敛，设 kk n.记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nx =1 ,2 ,，就xnx .而xS ，所以S 完备.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 xnn 1 是BA 中的柯西点列， xn = f n t， tA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0， N，s.t.当m, nN 时，成立sup f n tf m t. 所以可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结t A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m, nN 及tA ，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n tfm t.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

18、迎下载精品名师归纳总结因此在集A 上，函数列f n tn 1 收敛，设 f n tft.由 式，令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m得nN 时， f n tft.所以nN 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ftf n tf m t+ f n t+M 由于f n tn 1 收敛，从而M 存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ftB A ，又已证 fn tft所以 B A是完备度量空间.可编辑资料 -

19、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结柯西点列和完备度量空间 续教学内容 或课题 ：目的要求：再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步把握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法.教学过程：C a,b 是完备的度量空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明设xn ， n1,2,是C a,b中的柯西点列.0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N，s.t.当m, nN 时，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结maxxm txn t.4可编辑资料 - - - 欢迎下

20、载精品名师归纳总结a t b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以ta, b，有 xm txn t.于是当t 固定时，xn tn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是柯西数列. 由实 复 数集的完备性，x t，s.t.xn tx t.往证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x tCa, b， xnx 实因在4 中令m，得知nN 时，成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结maxxn txt.5所以x

21、n t在 a,b上一样收可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a t b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结敛于x t，从而x tC a, b.由5 ，当nN 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d xn

22、 , x=maxxn txt. 所 以 xnx ，故Ca,b是完备度量空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a t b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 P a, b表示闭区间a, b上实系数多项式全体,P a, b作为Ca, b 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子空间是不完备的度量空间.实因多项式列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x31x26x nn.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在闭区间a,b上一样收敛于连续的指数函数e x ，但e x 非多项式.即

23、Pa,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不是Ca, b的闭子空间.由 Th 1， Pa, b不是完备度量空间.证毕.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 X 表示闭区间0,1上连续函数全体，对x, yX ，令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d x, y1=x t0y tdt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易知 X , d成为度量空间.实因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1

24、0明显d x, y0.如t0,1时， x ty t，从而dx, y=0.反之如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d x, y1=0，即x t0y tdt=0. 因 x ty t0， 故 x t= y ta.e. 于0,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又因a.e. 相等的连续函数必定到处相等，故xy .总之dx, y0 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d x, y=0xy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20 dx, y1=x t

25、0y tdt1x tz t01dt +z t0y tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=d x, z +d y, z .所以 X , d是度量空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 上面定义的度量空间X , d不完备.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学

26、习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明令xm t=1,线性,0,11t1m21t1122m0t12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先证 xnn 1 是X , d中的柯西点列.实因0 ，当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm1时， dxn , xm1=xn t0xm t11dt =221m xn txm t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 1111.所以点列 x是X ,

27、 d中的柯西点列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2mnmnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再证点列 xnn 1 在X ,d中不收敛.实因对每个xX ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=nnd x , xxt01xtdt =2 x011tdt +221xmn txt dt +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111 12 mxtdt .如 dxn , x10,必有2 x01t dt

28、= 1 12xtdt=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但由于x t在闭区间0,1上连续，得 x t在0, 12恒为 0，在1 ,12恒为 1. 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎

29、下载精品名师归纳总结在t = 1 间断相冲突.故2X , d是不完备的度量空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作业：P 206. 15. MX、离散空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作业解答：设 xnn 1 是MX中的基本点列，0，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mXxnxmxn txm tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm1X xx1xn txm t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xn txm tdt =

30、dxn , xm.0，N，s.t.n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X 1xn txm t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mN ，有dxn , xm.从而mXxnxm1.所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mX xnxm0n, m.由此可找到自然数列：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n2n3nk，s.t.k1mXxnt11对xnkkk22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

31、总结k1,2,都成立. 记 X k = Xxnk 1txnk1k,再令 X 0 =2m 1 kX k ，就 X -m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X 0 =XX km 1 k mXX kk m， m XX 0112=2.令km 1k m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m，得m XX 0=0.所以mX 0 =mX. 显见在 X 0 上xntk 1 到处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k收敛于一个极限函数，记这个极限函数为x t.令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xt=