必修-平面向量知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结一、向量的基本概念平面对量学问点小结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分. 向量常用有向线段来表示.留意：不能说向量就是有向线段,为什么？提示：向量可以平移.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 1已知 A 1,2 , B4,2,就把向量 AB 按向量 a 1,3 平移后得到的向量是.结果： 3,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,规定：零向量的方向是任意的。3. 单位向量

2、 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性。AB）。| AB |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,记作：a b , 规定： 零向量和任何向量平行.注：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等。两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合。平行向量无传递性！ （由于有 0 。三点 A、B、C 共线AB、AC 共线.6. 相反向量 ：长度

3、相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量记作a .举例 2如以下命题：（ 1）如 | a | | b | ,就 ab .（2） ）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.（3） ）如 ABDC ,就 ABCD 是平行四边形 .（4） ）如 ABCD 是平行四边形,就 ABDC .（5） ）如 ab , bc ,就 ac .（6） ）如 a / /b , b / /c 就 a / / c . 其中正确选项 .结果：（ 4）（ 5）二、向量的表示方法1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后。2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示,如a ,

4、b , c 等。3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ,j为基底,就平面内的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任一向量 a 可表示为axiyj x, y,称 x, y 为向量 a 的坐标, ax, y 叫做向量 a 的坐标表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论：假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面对量的基本定理定理设 e1, e2 同一平面内的一组基底向量,a 是该平面内任一向量, 就存在唯独实数对 1 ,2 ,使 ae1122e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

5、（1）定理核心：a1 e12e2 。（2）从左向右看,是对向量a 的分解,且表达式唯独。反之,是对向量a 的合成 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）向量的正交分解：当e1 ,e2 时,就说a1e12 e2 为对向量 a 的正交分解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 3（ 1）如 a1,1 , b1, 1 , c 1,2 ,就 c.结果： 1 a3 b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（2） ）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. e0,0 , e1, 2B.e 1,2 ,

6、 e5,7C. e3,5 , e6,10D. e132, 3 , e,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212121224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）已知 AD, BE 分别是ABC 的边 BC , AC 上的中线 , 且 ADa , BEb , 就 BC 可用向量a, b 表示为 .结果： 2 a4 b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）已知 ABC中,点 D 在 BC 边上,且 CD332DB , CDrABsAC ,就 rs的值是 .结果： 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、实数与向量的积实数与

7、向量 a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下：（ 1）模： |a | | | a |。（ 2）方向：当0 时, a 的方向与 a 的方向相同, 当0 时, a 的方向与 a 的方向相反, 当0 时, a0 ,留意：a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、平面对量的数量积1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量a, b ,作 OAa,OBb ,就把AOB0 称为向量 a, b 的夹角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当0 时, a , b 同向。当时, a , b 反向。当时, a , b 垂直 .22.

8、 平面对量的数量积：假如两个非零向量 a , b ,它们的夹角为,我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或内积或点积） ,记作： a b ,即 a b| a | | b | cos.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数,不再是一个向量.举例 4（ 1） ABC 中, | AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5 ,就 AB BC .结果：9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知 a1,1, b20, 12, cakb , dab , c 与 d 的夹角为,就

9、 k .结果： 1.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）已知 | a | 2 , | b | 5 , a b3 ,就 | ab |.结果： 23 .（ 4）已知 a,b 是两个非零向量,且 | a | | b | | ab | ,就 a 与 ab 的夹角为 .结果： 30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 向量 b 在向量 a上的投影： | b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 5已知 | a | 3 , | b | 5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为.结果： 12

10、 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. a b 的几何意义 ：数量积 a b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就：（ 1） aba b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 a 、 b 同向时, a b| a | | b | ,特殊的, a2a a| a |2| a |a2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b| a | | b | 是 a 、 b 同向的 充要分条件 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a 、 b 反向

11、时, ab| a | | b|, a b| a | | b| 是 a 、 b 反向的 充要分条件 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 为锐角时, a b当 为钝角时, a b0 ,且 a 、 b 不同向, a b 0 ,且 a 、 b 不反向。 a b0 是 为锐角的 必要不充分条件 。0 是 为钝角的 必要不充分条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）非零向量 a , b 夹角 的运算公式： cosa b。 a b| a | b | a | b | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 6（ 1）已知 a ,2 , b3 ,2 ,假

12、如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是.结果：4 或0 且1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）已知 OFQ 的面积为 S ,且 OFFQ1 ,如 1S3 ,就 OF , FQ 夹角的取值范畴是33.结果：,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（3） ）已知 acos x,sin x , bcos y,sin y ,且满意 | kab |3 | akb | （其中 k0 ）.4 3k 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 k 表示 a b 。求 a b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角的大小 .结果： a b六、向量的

13、运算1. 几何运算（ 1）向量加法运算法就：平行四边形法就。三角形法就. k0 。最小值为4k,60 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算形式：如 ABa , BCb ,就向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即 abABBCAC 。 作图：略 .注：平行四边形法就只适用于不共线的向量.（ 2）向量的减法abABACADDC。 ABb , ACc ,就 | a运算法就：三角形法就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算形式：如 ABa , ACb ,就作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同.CA ,即由减向量的终点指向被减向量的终点.可编辑资料 - - -

14、欢迎下载精品名师归纳总结举例 7（ 1）化简： ABBCCD。 ABCD ACBD.结果： AD 。 CB 。 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）如正方形 ABCD 的边长为 1, ABa , BCb c |.结果： 2 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）如 O 是 ABC 所在平面内一点,且满意OBOCOBOC2OA ,就 ABC 的外形为 .结果：直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）如 D 为 ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点 P

15、 ,满意PABPCP0 ,设 | AP | PD |,就的值为 .结果： 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） ）如点 O 是 ABC 的外心,且OAOBCO0 ,就 ABC 的内角 C 为.结果： 120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 坐标运算 ：设 a x1 , y1 , b x2 , y2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab x1x2 , y1y2 ,ab x1x2 , y1y2 ., C7,10 ,如APABACR,就当 时,点P 在第一、三象限的角平分线上.（ 1）向量的加减法运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品名师归纳总结举例 8（ 1）已知点A2,3 ,B5,4结果： 1 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）已知A 2,3 , B1,4 ,且 1 AB2sin x,cos y , x, y, ,就 xy. 结果：或。2 262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）已知作用在点A1,1 的三个力F13,4 , F22, 5 , F33,1 ,就合力FF1F2F3 的终点坐标是 .结果： 9,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）实数与向量的积 ： ax1, y1 x1 ,y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

17、（ 3）如A x1 , y1 , Bx2 , y2 ,就 AB x2x1 , y2y1 ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标减去起点坐标 .举例 9设 A2,3 , B 1,5 ,且 AC1 AB , AD33AB ,就 C, D 的坐标分别是.结果：1,11, 7,9 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）平面对量数量积 ： a bx1x2y1 y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 10已知向量 asin x,cos x , bsin x,sin x , c 1,0 .可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）如x,求向量 a 、 c 的夹角。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）如x3, ,函数f x1a b 的最大值为,求的值 . 结果：（ 1） 150 。（ 2） 1 或21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结84（ 5）向量的模 ： a 2| a |2x2y 22| a |2x2y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 11已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为60 ,那么 | a3b |.结果： 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）两点间的距离 ：如A x1 , y1 , Bx2 , y2 ,就| AB | x22x1 y22y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 12如图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60 ,平面上任一点P 关于斜坐标系y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的斜坐标是这样定义的：如OPxe1ye2 ,其中e1 ,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位向量,就 P 点斜坐标为 x, y .（1） ）如点 P 的斜坐标为 2, 2 ,求 P 到 O

20、的距离 | PO | 。（2） ）求以 O 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程 .60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结果：（ 1） 2。（ 2） x2七、向量的运算律y2xyOx1 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 交换律： abba ,a a , a bb a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 结合律：abc ab c , abcabc , ab a b ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 安排律： aaa , ab ab , ab ca cb c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品名师归纳总结举例 13给出以下命题：a bca ba c 。 ab ca b c 。 ab 2| a |22| a |b | | b |2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 a b0 ,就 a0 或 b0 。如 a bc b 就 ac 。 | a |2a 2 。a bb。 a b 2a2 b2。 ab 2a22 a bb2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2a其中正确选项 .结果： .说明：（ 1）向量运算和实数运算有类似的的方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个

22、向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）向量的“乘法”不满意结合律,即八、向量平行 共线 的充要条件a b c a bc ,为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / /bab2 a b2| a | b |x1 y2y1 x20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 14 1如向量 a x,1 , b4, x ,当 x时, a 与 b 共线且方向相同 .结果： 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）已知a1,1 , b4, x , ua2b , v2ab ,且

23、 u / /v ,就 x.结果： 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）设PAk,12 , PB4,5, PC10,k ,就 k时, A, B ,C 共线.结果： 2 或 11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结九、向量垂直的充要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba b0| ab| | ab |x1 x2y1 y20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的ABACABAC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB | AC | AB | AC |可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 15 1已知 OA 1,2, OB3, m ,如 OAOB ,就 m. 结果： m3 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）以原点 O 和 A 4,2为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,B90,就点 B 的坐标是 . 结果： 1,3 或（ 3, 1）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）已知na ,b 向量 nm ,且 | n | | m | ,就 m的坐标是 . 结果： b,a) 或 b, a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线P1P2 上

25、异于P1 、 P2 的任意一点,如存在一个实数,使P1PPP2,就实数叫做点 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分有向线段P1P2 所成的比, P 点叫做有向线段P1P2 的以定比为的定比分点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） P 内分线段P1 P2 ,即点 P 在线段P1 P2 上0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ） P 外分线段10 .P1 P2时,点 P 在线段P1P2的延长线上1 ,点 P 在线段P1 P2的反向延长线上可编辑资料

26、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： 如点 P 分有向线段P1P2 所成的比为,就点P 分有向线段 P2 P1 所成的比为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 .举例 16如点 P 分 AB 所成的比为 34,就 A 分 BP 所成的比为 .结果：7 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 线段的定比分点坐标公式：x1x2x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 ,点 Px, y分有向线段 P1 P2 所成的比为,就定比分点坐标公式为11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的,

27、当1时,就得到线段P1 P2 的中点坐标公式x x1y y1x2 ,2y2 .2y1y2y.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：（ 1）在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x, y , x1, y1 、 x2 , y 2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.（ 2）在详细运算时应依据题设条件,敏捷的确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 17（ 1）如 M 3, 2, N 6, 1 ,且 MPMN ,就点 P 的坐标为 .结果：137 6, 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知A

28、 a ,0 , B3,2a) ,直线 y1ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM22MB ,就 a.结果：或4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十一、平移公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如点P x, y 按向量 ah,k平移至P x ,y ,就x xh,y yk.。曲线f x, y0 按向量 ah, k平移得曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xh, yk0 .说明：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！举例 18（ 1）按向量 a 把 2, 3 平移到 1, 2 ,就按向量 a

29、 把点 7,2 平移到点.结果： 8,3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数 ysin 2x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是ycos2 x1 ,就 a .结果： ,1 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用。2. 模的性质： | a | b | ab | | a | b | .（ 1）右边等号成立条件：a、b 同向或 a、b 中有 0| ab | a | b | 。（ 2）左边等号成立条件：（ 3）当 a、b 不共线| a |a、b 反向或 a、b 中有

30、0| b | ab | | a | b | .| ab | a | b | 。3. 三角形重心公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABC 中,如Ax , y , Bx, y , Cx , y ,就其重心的坐标为G x1x2x3 , y1y2y3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11223333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 19如 ABC 的三边的中点分别为5. 三角形“三心”的向量表示A2,1 、B 3,4 、 C 1, 1 ,就 ABC 的重心的坐标为 . 结果：2 , 4 .3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

31、（ 1） PG1 PAPBPC3G 为 ABC 的重心,特殊的PAPBPC0G 为 ABC 的重心 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） | AB | PC心.| BC| PA| CA | PB0P 为ABC 的内心。向量ABAC| AB | AC |0 所在直线过 ABC 的内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 点 P 分有向线段P1 P2所成的比向量形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

32、归纳总结设点 P 分有向线段P1P2 所成的比为,如 M 为平面内的任一点,就MPMP1 1MP2,特殊的 P 为有向线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P1P2 的中点MPMP1MP2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 向量PA, PB, PC 中三终点A, B,C 共线存在实数,使得 PAPBPC 且1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举例 20平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点果：直线 AB .A3,1 , B 1,3 ,如点 C 满意 OC1OA2OB , 其中 1 , 2R 且 121 , 就点 C 的轨迹是 .结可编辑资料 - - - 欢迎下载