总结拉格朗日中值定理的应用 .docx

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1、精品名师归纳总结总结拉格朗日中值定理的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个 微分学的理论基础, 特殊是拉格朗日中值定理。 他建立了函数值与导数值之间的定量联系, 因而可用中值定理通过导数讨论函数的性态。 中值定理的主要作用在于理论分析和证明,例如为利用导数判定函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等 项重要函数性态供应重要理论依据,从而把握函数图像的各种几何特点。总之, 微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。 而拉格朗日中值定理作为微分中值

2、定理中一个承上启下的一个定理, 我们需要对其能够娴熟的应用, 这对高等数学的学习有着极大的意义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面： 利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、讨论函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。第一我想介绍几种关于如何构造帮助函数的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式,凑出适当的函数做为帮助函数,即将要证的结论中的换成 X,变形后观看法凑成 FX ,由此求出帮助函数 Fx 如例 1.常数值法： 在构造函数时。 如表达式关于端点处的函数值具有对称性, 通常用

3、常数 k 值法来求构造帮助函数, 这种方法一般选取所证等式中含 的部分作为k,即使常数部分分别出来并令其为 k,恒等变形使等式一端为 a 与 fa 构成的代数式,另一端为 b 与fb 构成的代数式,将所证式中的端点值 a 或 b改为变量x 移项即为帮助函数 fx, 再用中值定理或待定系数法等方法确定 k,一般来说, 当问题涉及高阶导数时,往往考虑多次运用中值定理,更多时要考虑用泰勒公式如例 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倒推法： ：这种方法证明方法是欲证的结论动身, 借助于规律关系导出已知的条件和结论如例 4。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结乘积因子法：

4、对于某些要证明的结论, 往往显现函数的导数与函数之间关系的证明,直接构造函数往往比较困难 将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数, 证明的结论往往不受影响,为常数是常用的乘积凶子 如例 5.介值法：证明中,通过引入帮助函数gx=fx-x 将原问题转化为 a,b 可导 函数 gx 的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到,从而可通过 gx 在（a,b ） 可导条件,直接运用费马定理,完成证明。如例6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一拉格朗日中值定理证明（不）等式在不等式的证明中, 关键是选取适当的帮助函数 （）和区间（,）, 通过的范畴,依据导函数确定（）和分式的范

5、畴,得证。如例题7。例 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8：例 9：二利用拉格朗日中值定理求极限求极限的方法有许多,常见的有利用洛必达法就, 利用重要极限等,而对于一些极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方法来求解,如例10,11.例 10：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三讨论函数在区间上的性质由于拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系,许多时候。我们可以借助其导数,讨论导数的性质从而明白函数在整个定义域区间上的整体熟悉。比如讨论函数在区间上的符号、单调性、一样连续性,凸性等等,都可能用到拉氏中值定 理的结论。通过对函数局部性质的讨论把握整体性质, 这是数学讨论中一种重要的方法。如例 12 ：四估值问题证明估值问题, 一般情形下选用泰勒公式证明比较简便。 特殊是二阶及二阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值,可以采纳拉氏中值定理来证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五证明级数收敛例 13：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Welcome ToDownload .欢迎您的下载,资料仅供参考！可编辑资料 - - - 欢迎下载