弹性力学与有限元分析试题及参考答案 .docx

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1、精品名师归纳总结弹性力学与有限元分析试卷及参考答案四、分析运算题1、试写出无体力情形下平面问题的应力重量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应力重量是否可能在弹性体中存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）xAxBy ，yCxDy ，xyExFy 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）Ax 2y 2 ，Bx 2y2 ，Cxy 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxy其中， A ， B ，C， D， E， F 为常数 .解 ： 应 力 分 量 存 在 的 必 要 条 件 是 必 须 满 足

2、 下 列 条 件 ： （ 1 ） 在 区 域 内 的 平 衡 微 分 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x yxxyy xyyx0。（ 2）在区域内的相容方程022x 2y 2xy0 。（ 3）在边界上的应力边界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l xm条件m ylyxsxy sf x sf y s。（ 4）对于多连体位置移单值条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）此组应力重量满意相容方程.为了满意平稳微分方程，必需A=-F ， D=-E. 此外仍应满意应力边界条件 .（ 2）为了满意相容

3、方程，其系数必需满意A+B=0 。为了满意平稳微分方程，其系数必需满意A=B=-C/2. 上两式是冲突的，因此，此组应力重量不行能存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、已知应力重量Qxy2C x3 ，3xy2 ，C y 3C x2 y ，体力不计， Q 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cx1y22xy23试利用平稳微分方程求系数C1， C2， C3.解：将所给应力重量代入平稳微分方程x yx0xy0y xyyx得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Qy 23C x 23C y 2C x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1233C 2 xy2即2C 3xy 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33C1Cx 2Q 3C 2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 x，y 的任意性，得3C 22C 3 xy 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3C1 C 30Q 3C 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此解得， C1Q ， C 623Q ， CQ323C 22C30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

5、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知应力重量xq，yq ，xy0 ，判定该应力重量是否满意平稳微分方程和相容方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将已知应力重量xq，yq ， xy0 ，代入平稳微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxX0xyyxyY 0yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知，已知应力重量xq ， yq ，xy0 一般不满意平稳微分方程，只有体力忽视不计时才可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满意 .按应力求解平面应力问题的相容方程：2

6、22xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xyy 2 yxx 21x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将已知应力重量xq ，yq ，xy0 代入上式，可知满意相容方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按应力求解平面应变问题的相容方程：2222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yx1yx 2y1x1x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将已知应力重量xq ，yq ，x

7、y0 代入上式，可知满意相容方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、试写出平面问题的应变重量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应变重量是否可能存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） xAxy，yBy3 ，xyCDy 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） xAy2 ，Bx2 y ，xyCxy 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y（ 3）x0 ，y0 ，xyCxy 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中

8、， A ， B ，C， D 为常数 .解：应变重量存在的必要条件是满意形变和谐条件，即222xyxyy 2x 2x y将以上应变重量代入上面的势变和谐方程，可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）相容 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）2A 2 ByC （ 1 分）。这组应力重量如存在，就须满意：B=0 ，2A=C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 0=C。这组应力重量如存在，就须满意：C=0，就x0 ，y0 ，xy0 （ 1 分） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

9、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、证明应力函数（体力不计，by 能满意相容方程，并考察在如下列图的矩形板和坐标系中能解决什么问题2b 0 ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ol/2l/2h/2xh/2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将应力函数by2 代入相容方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44420x4x 2y 2y 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知，所给应力函数by 2 能满意相容方程 .可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于不计体力，对应的应力重量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xy22b ，y2220 ， xy0xx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，依据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上边， yh ， l 20 ， m1 ， f xxy yh0 ， f y 2y yh0 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下边， yh ， l 20 ， m1 ， f x xy

11、 h y20 ， f yy h0 。y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边，xl ， l 21 ， m 0 ， f xx l x22b ， f y xy xl0 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边， xl ， l 21 ， m0 ， f xx x l 22b， f y xy l0 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b.因此，应力函数by2 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b

12、0 ）和均布压力（ b0 ）的问题 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、证明应力函数axy 能满意相容方程，并考察在如下列图的矩形板和坐标系中能解决什么问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（体力不计，a 0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ol/2l/2h/2xh/2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y解：将应力函数axy 代入相容方程44420x4x 2y 2y 4可知，所给应力函数axy 能满意相容方程 .由于不计体力，对应的应力重量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

13、归纳总结2xy20 ， y2220 ，xyaxx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，依据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上边，yh ， l 20 ， m1 ， f xxy h y2a ， f yy yh0 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下边， yh ， l 20 ， m1 ， f x xy h y2a ， f yy y h0 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

14、载精品名师归纳总结左边， xl ， l 21 ， m 0 ， f xx l x20 ， f y xy xla 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边， xl ， l 21 ， m0 ， f xx lx20 ， f y xy la .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a.因此，应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力的问题.7、如下列图的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力重量.可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品名师归纳总结Ox解：依据结构的特点和受力情形，可以假定纵向纤维互不挤压，即设x0 .由此可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2gyx20q将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x, yf1 x yf 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将上式代入应力函数所应满意的相容方程就可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d 4 fy1 xd 4 f x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx 4dx42.3 直角三角形固定在

16、刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14 所示 .如按一个单元运算，水的容重g ，三角形平面构件容重g ,取泊松比 v =1/6 ，试求顶点位移和固定面上的反力.解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 求形函数矩阵：a10a20a36ab13ab20b33ac10c22ac32a建立坐标xoy :1 2a,020,3a30,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形函数 :图（ 2.14）Ni1 ai2Abi xci y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A12所以：2a3a3a2可编辑资料

17、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结N 1N 2N 3形函数的矩阵为：x 2 a y3 a1xy2 a3 ax0y01xy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NN iN jN m2a3a0x0y2a3a2a3a01xy2a3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 刚度矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结K 11KKe21K 31K 12K 22K 32K 13K 23K 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22b b1c cb c1c b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结K rsEt412Arsrs1rsrs1可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16t1Et3Ecrbsbr cs2cr csbr bs2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 12A1535a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得：3E 90K 11353E5K 2233503E90K1533404K 1213273E323573124105532143E053523E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结K 13535215K 23235可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

19、e900191015452052152Ke3E35019520525305304153132352472115252472314（ 3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：a00u2T200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结水压力和构件厚分别为：p0ght1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Re 1自重为 W 与支座反力：00q0l t 02q0h 60T0q0h03T102033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结eR 2Rx1WRy103WRx33TWRy

20、33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结eRRx1WRy13q0 h 6WRx33q0 h 3TWRy3由3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结eeKaRe得到以下矩阵方程组：Rx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结900101550915150WRy13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结405K e3E235109522220u5055332220414051327332q0 h6W3Rq0 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

21、结1化简得：155472223E50u 23350423104q0 h6W3x 33WRy33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7q0 hu26E235W36Eu2将代入下式：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01503E2uRx1WRy123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3551Rq0 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结固定面上的反力：3542q0gh23 gax33WRy33h3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

22、结从而可得支座反力为：WR x 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R y 1q 0 hW 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结WR x 312q 0 h2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 WR y 33q 0 h4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有很多多的解（全柱内的y 值都应当满意它），可见它的系数和自由项都应当等于零，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1d 4 f x0 ，d 4 f2 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这两个方程要求dx4dx 4可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f1 xAx3Bx 2Cx I ，f 2 xDx 3Ex2Jx K可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入应力函数表达式，并略去对应力重量无影响的一次项和常数项后，便得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y Ax3Bx2CxDx 3Ex 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应应力重量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xy20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yx 2y6 Ax2B6 Dx2Egy可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以上常数可以依据边界条件确定.2xyxy3Ax22Bx C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边， x0 ， l1， m0 ，沿 y 方向无面力，所以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xy x 0C 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边， xb ， l1， m0 ，沿 y 方向的面力为 q，所以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xy x b3Ab22Bb q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

25、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结上边，y 0 ， l0 ， m1 ，没有水平面力，这就要求xy 在这部分边界上合成的主矢量和主可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩均为零，即b0 xy y0 dx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0将 xy 的表达式代入，并考虑到C=0，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 3Ax 202BxdxAx3Bx2 bAb3Bb20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b而 xy y 00 0dx0 自然满意 .

26、又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y 在这部分边界上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合成的主矢量和主矩均为零，即by y00 dx 0 ，by y00 xdx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将y 的表达式代入，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 6Dx2E dx3Dx 22Ex b3Db 22Eb 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0b6Dx2E xdx32Dx20bEx032Db2Eb0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可得应力重量为0Aq ， B

27、 b2q ， C b0 ， D0 ， E 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 ,yxy2 q1 3 bbgy ,xxxyq32 bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结虽然上述结果并不严格满意上端面处（y=0 ）的边界条件，但依据圣维南原理，在稍远离y=0 处这一结果应是适用的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 、证明：假如体力重量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力重量可以表示为Vf x，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Vf y，

28、 其 中 V是 势 函 数 ， 就 应 力 分 量 亦 可 用 应 力 函 数 表 示 为 ，xy22V ，y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2yx 2V ，xy2，试导出相应的相容方程.x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：在体力为有势力的情形下，按应力求解应力边界问题时，应力重量x ，y ，xy 应当满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平稳微分方程仍应满意相容方程xyxxyyxyyxV0x（ 1 分）V0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

29、名师归纳总结22f1xf y（对于平面应力问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221ff y x（对于平面应变问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x2y 2xyxy并在边界上满意应力边界条件（1 分） .对于多连体，有时仍必需考虑位移单值条件.第一考察平稳微分方程.将其改写为yxxV0xyxyyV0yx这是一个齐次微分方程组.为了求得通解，将其中第一个方程改写为xVyxxy依据微分方程理论，肯定存在某一函数A （ x， y），使得A AxV，yxyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同样，将其次个方程改写为yVyxyx（ 1 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见也肯定存在某一函数B （ x， y），使得B ByV，yxxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此得ABxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因而又肯定存在某一函数x,y，使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A， Byx代入以上各式，得应力重量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xy 2V ，y222V ， xyxx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载