必修一第二章函数知识点总结2.docx

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1、精品名师归纳总结必修一其次章函数一函数1 函数的概念：传统定义： 在某一个变化过程中有两个变量x 和 y ,假如对于某个范畴内的任一个x 的值,都有唯独的 y 值与之对应,就称y 是 x 的函数, x 叫做自变量, y 叫做因变量。现代定义： 设 A、B 是非空 的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使对于集合 A 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的任意一个 数 x ,在集合B 中都有 唯独确定 的数f x和它对应,那么就称f ：A B 为从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y = f x , x A其中, x 叫做自变量

2、,x 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结围 A 叫做函数的定义域。 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 叫做函数的值域函数的三要素： 定义域、值域、对应法就f x|x A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）。定义域一样 两点必需同时具备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 定义域：（1） 定义域定义： 函数f x 的自变量 x 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 确定函数定义域的原就：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。（3）

3、 确定函数定义域的常见方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f如 fx 是整式,就定义域为全体实数x 是分式,就定义域为使分母不为零的全体实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例: 求函数 y1的定义域。11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x 是偶次根式,就定义域为使被开方数不小于零的全体实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x233x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1 求函数y的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2 求函数 yx1202x21x1的定义域。可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品名师归纳总结对数函数的真数必需大于零指数、对数式的底必需大于零且不等于1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fx为复合函数,就定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指数为零底不行以等于零,如x 01 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.（4） 求抽象函数（复合函数）的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知函数f x的定义域为 0,1求f x2 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知函数f 2 x1

5、) 的定义域为 0,1 ）求f 13x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 值域 :（1） 值域的定义： 与 x 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。（2） 确定值域的原就： 先求定义域（3） 常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 确定函数值域的常见方法：直接法 ：从自变量 x 的范畴动身,推出yf x的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：求函数 yx1的值域。可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：x0 ,x11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yx1的值域为 1, 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方法： 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如F xaf 2 xbf xc 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的值域问题,均可使用配方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：求函数yx24 x2 （ x 1,1）的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： yx24 x2 x2 26 ,可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1,1, x23, 1 , 1 x2 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3 x2265 , 3y5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数yx24 x2 （ x1,1）的值域为 3,5 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别常数法 ：分子、 分母是一次函数得有理函数,可用分别常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：

8、求函数 y1x2 x5的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2 x577可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： y1x2212,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x52 x7522 x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20 , y1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x5函数 y1x2 x52的值域为 y | y1 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换元法 ：运用代数代换, 奖所给函数化成值域简单确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如 yaxbcxd （ a 、b 、c 、d 均为常数

9、, 且 a0 ）的函数常用此法求解。例：求函数y2 x12 x 的值域。1t 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 t12 x （ t0 ）,就 x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yt 2t1t1 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t1,即 x23时, y8max5,无最小值。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y2 x12 x 的值域为 5, 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判别式法：把函数

10、转化成关于x 的二次方程F x,y0 。通过方程有实数根,判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a x 2b xcy1112aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ,从而求得原函数的值域,形如的值域,常用此方法求解。a 2 xb2 xc 2（ 1 、 2 不同时为零）的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：求函数yx2x23 的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 yx2x23 变形得 y1x2 y1 xy30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1

11、当 y1 时,此方程无解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y1 时, xR, y124 y1 y30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 111y,又 y 3x2x3111 , 1y311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数yx2的值域为x1 y |1y 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域为 y |1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：求函数4. 函数的表示方法（1） 解析法、列表法、图象法2 x2yx2x2 的值域x1可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品名师归纳总结（2） 求函数解析式的常见方法：换元法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知f 3 x14 x3 ,求f x的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如1f xx, 求 f1xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知 f x12x3,求 f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组法例：设函数f x 满意f x+2 f （1 ） =x（ x 0）,求x

13、f x 函数解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一变：如f x是定义在 R 上的函数,f 01 ,并且对于任意实数x, y ,总有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f x yf xy2 xy1, 求f x。（令 x=0 , y=2x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结待定系数法例：已知f x是一次函数,并且f f x4x3 求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设f xkxb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

14、总结f f xkf xbkkxbbk2 xkbb4 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2就kbb4,解得3k2k2或b1b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求一次函数解析式配变量法f x2x1 或f x2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知1f x21x2 ,求f x的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例：如 f x1xx 2x , 求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特别值代入法（取特别值法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：如f xyf xf y , 且f

15、 12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求值 f f21f 3f 2f 4f 3f 2005.f 2004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：设f x是 R 上的函数,且满意f 01 并且对任意实数x, y 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xyf xy2 xy 1 求f x 的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 xy 就 f

16、0f xx2 xx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f xx2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或设 x0 就 f yf 0yy11yy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x x1x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 ： 对 x R,f x 满 足f xf x1 , 且 当 x 1,

17、0时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx 22 x 求当 x 9,10时f x的表达式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：f xf x1 ,就f x1f x 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1f x1,f xf x2 , T=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 分段函数(1) 定义：在函数的定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数叫分段函数。(2) 留意：分段函数的定义域是各段定义

18、域的交集,值域是各段值域的并集。分段函数是一个函数,而不是几个函数。 写分段函数定义域时,区间端点不重不漏。6. 复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 yf u, uM , ug x, xA) 就 yf g xF x, xA,称为 f 、 g可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的复合函数。7. 函数图象问题（1） 熟识各种基本初等函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： y0 , ycc为常数 , yx , y1 ,xy1 , yx2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 图象变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

19、师归纳总结平移： yf x向右平移aa0个单位长度 yf xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x向上平移 bb0个 单 位 长 度yf xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称： yf x关于 x轴对称 y- f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x关于y轴对称 yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x关于原点对称y- f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结翻折： yf x , yf x 可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：带肯定值的函数去肯定值方法有分情形争论法,平方法,图象法二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （1） 增减函数和单调区间设函数 yf x 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结自变量x1 , x2 ,当x1x2 时,都有f x1f x2 ,那么就说f x在区间 D 上是增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 . 区间 D 称为 yf x 的单调增区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 果 对 于 区 间 D 上 的 任 意 两 个 自

21、变 量 的 值x1 , x2 当x1x2时 , 都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 减区间 .f x2,那么就说f x 在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 yf x 的单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：函数的单调性是函数的局部性质。（2） 图象的特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如函数 yf x 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 yf x 在这一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.（3） 函数单调区间与

22、单调性的判定方法(A) 定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1任取x1 , x2 D,且x1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2作差f x1 f x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3变形（通常是因式分解和配方） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4定号（即判定差f x1 f x2 的正负）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5下结论（指出函数f x在给定的区间 D 上的单调性） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(B) 图象法 从图象上看升

23、降 (C) 复合函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复合函数f g x 的单调性与构成它的函数ug x , yf u的单调性亲密可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相关,其规律： “同增异减”留意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：是否存在实数 a 使函数 yf xlogax 2x 在闭区间2,4 上是增函数？如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa果存在,说明 a 可取哪些值。假如不存在,说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

24、纳总结解：当 a 1 时,为使函数 yf xlogax 2x 在闭区间 2,4上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需 g xxax212x 在闭区间1 2,4 上是增函数,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g22a 4a2得 a,又由 a 1,得 a 1a02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0 a 1 时,为使函数 yf xlogax 2x 在闭区间 2,4上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需 g xxax214x 在闭区间 2,4 上是减函数,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g42 a无解

25、a16a40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上,当 a1, 时,f xlog ax2x 在闭区间2,4 上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ D）常用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x与函数 yf x 的单调性相反。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 fx 与f xc c为常数 具有相同的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 c0 时,函数f x 与cf x具有相同的单调性,c0 时,它们具有相反的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性。可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品名师归纳总结如 f x0 就函数f x 与1f x具有相反的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公共区间,增函数+增函数 =增函数、减函数 +减函数 =减函数、增函数 - 减函数 =增函数、减函数 - 增函数 =减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x0, g x0, 且f x与 g x都是增（或减）函数,就f xg x 也是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增（或减）函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x0, gx0, 且f x与 g x都是增（或减）函数,就f xg x 也是可编辑资料 - - -

27、欢迎下载精品名师归纳总结增（或减）函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xn0 ,且在定义域上是增函数, 就f x也是增函数,f n x n1) 也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是增函数。常 见 函 数 的 单 调 性 （ 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 、 对 勾 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxk k x0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ E）利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域。将复合函数分解为基本的初等函数。分别判定其单调性。依据同增异减判定可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：求函数f x2在区间 2,6 上的最大值和最小值x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 函数的奇偶性（整体性质）（1） 函数奇偶性定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的,对于函数f x 的定义域 D内的任意一个 x ,都有xD ,且 f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 f xf x ）,那么f x就叫做奇（或偶）函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称。奇函数的图象关于原点对称（3） 利用定义

29、判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 确定 f xf x 与 f xf x 是否成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 作出相应结论：如f xf x或 f xf x0 ,就f x 是偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xf x 或 f xf x0 ,就f x是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数. 如对称,再依据定义判定; 或由

30、变式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xf x0 或f x1来判定 ; 利用定理,或借助函数的图象判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 函数奇偶性的重要结论具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x、 gx 是定义域分别为D1, D 2 的奇函数, 那么在D1D 2 上,f x +g x 是奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数,f x. g x 是偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类似结论：奇奇=奇、奇奇 =偶、偶偶=偶、偶偶 =偶奇偶 =奇如 f x 是

31、具有奇偶性的单调函数,就奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f x的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 就F xf xf x是 偶 函 数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Gxf xf x是奇函数。（f xF xG x）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x 既是奇函数又是偶函数,就f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复合函数的奇偶性：内层是偶函数,就yf g x 是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（不用死记硬背）内层是奇函数,外层是奇函数,就y外层是偶函数,就yf gx 是奇函数f g x 是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 函数奇偶性与单调性的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数在偶函数在 a.b 上是增函数,在 a.b 上是增函数,在b,b,a 上也是增函数。a 上是减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：函数 yf x x0 是奇函数,且当x0, 时是增函数,如f 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求不等