微积分期末复习指导-下.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2021-2021 学年（下）微积分高数三期末复习指导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第五章不定积分一.本章重点原函数与不定积分的概念,不定积分的运算.二.复习要求1. 懂得原函数与不定积分的概念,把握不定积分112凑微分 21x 2 d 1x 1 l n 1 x 2c2例 2 求以下不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的基本性质 .2. 熟记并正确懂得基本积分公式,娴熟把握不定1x ln xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分的直接积分法.3. 娴

2、熟把握不定积分的第一换元法凑微分法 .凑微分法的关键是要凑出适当的换元因子的2 x1(2) dxx解:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分 du x dx . 使其在换元后可直接利用(1) 此题被积函数为xlnx 且1 的情形 ,属可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本积分公式运算结果.4. 把握不定积分其次换元法的原理.当被积函数于适用分部积分的类型，132x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x含有根式而不能用直接积分法及凑微分法令 ulnx ,dvx

3、dx , 就 dudx ,vx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分时 ,一般要用其次换元法有理化根式,娴熟掌33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n原式 = 2 x 2 ln x2x21 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结握x 含axb 时的有理化变换.53x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 娴熟把握不定积分的分部积分法.熟识常见的几31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类 用 分 部 积 分 法 求 积 分 的 类 型 及 其 中= 2 x2 ln x2x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

4、u x , dv x33的挑选 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.把握简洁有理分式的不定积分=x2 ln xx 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结39三.例题选解22=xx ln xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知f x 的一个原函数为arctan x ,求33摸索 :如1 ,积分又如何处理 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf x dx .2. 求2 x1 xdx 不能用直接积分法,也不能用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 由已知f

5、 x arctan x 1,1 x 2凑微分法 ,适用其次类换元法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xf xdxxdx令2 x1t ,就 x1 t 221,dx=tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x1dxt =2x-

6、 1ttdt1第六章定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xt21222一本章重点定积分的基本性质，定积分的运算。 变上限定积分的求导法。定积分在几何上的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2tdt2t11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t22dt1 t 21dt12 2 dt1t二复习要求1. 懂得定积分的概念，知道定积分与不定积分的区分。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2t2arctan tc函数f x的不定积分是求导和求微分运算的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

7、结回代22 x12arctan2 x1c逆运算。函数f x 在a , b 上的定积分是一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四.练习题及答案和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 填空积函数f x 及积分区间a ,b 有关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(1) 设 excosx 是f x 的一个原函数 ,就2. 懂得并记住定积分的基本性质。3. 懂得变上限定积分的概念，娴熟把握求变上、下限定积分的导数的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f

8、x ;1dxdxaf t dtf x,dbdxxf t dtf x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xsinxdx =db x f tdtfb xb xfa xa x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 求不定积分3x2dxa x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132dxx112dxarcsinxdx4. 娴熟把握用牛顿莱布尼兹公式求定积分的方法。牛莱公式将定积分与不定积分这两个 截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2x1需求出被积函数f x 的一个原函数F x ，再可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品名师归纳总结答案 : 1.1ex 2sin x2xex2cos x;应用牛莱公式即可。因而运算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 2cosxc分部积分法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.13x3arctan xc5. 娴熟把握定积分的换元积分法，分部积分法。留意： .用换元法求定积分时，换元必换限 ，无需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) x arcsinx1x2c2仍元 。如是用凑微分而不显示“换元”，就积分限不作变换 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

10、总结(3) 2lnx11cx11 . 定积分适用分部积分的类型及u 、 dv 的挑选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结自我复习 : 习题五 A7. ,8. , , , ,14,都与不定积分类似，唯独的区分是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. , , . .10. , , .习题五 B 1.4.17.了削减出错，要准时运算出uv a 的值。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

11、- - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7娴熟把握用定积分求平面图形的面积及平面图形的体积。解：由所给曲线方程解得交点：（ 1，1），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三例题选解（2， 12）， 2， 2 .画出平面图形如下:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.f xx 2cosxt 2e2 t dt ，求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx2exxxexx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 x5 exxx ex2i2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 求定积分：视平面图形为X 形区域，得平面图形面积为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xdx2S x1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20 11x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

13、结2x4tan xdx xlnx |23 ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12解: 此积分适用其次类换元法，222（2）求上述平面图形绕X 轴旋转所成旋转体的体积，应视平面图形为X 形区域，有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 t1x ，就 xt1 ， dx2tdtV x21 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时， t1 。 x3 时， t2 .x dx21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 t1x31211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式

14、2tdt（换元就换限）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 t13x16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22t 212t dt（留意求Vx 的公式与求面积的公式的区分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 t3t2 2 5.四练习题及参考答案1.填空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3131 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分2x4 tan xdx 是奇函数在对称区间上2 f xarctanx 2tdt ，就可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的积分，所以有：2x4 tan xdx =0.f x = a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 求21yx、 yx 、 x2 围成的平面图形的x sin23axdx = 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、求积分面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - -

16、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1xdx1xx2dx当|q|1 时， p 级数1 收敛。n p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xarctanx12x arctanxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0.2、21 。1 ln 2 .当 p 1 时， p 级数1发散。npn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结424. 娴熟把握正项级数收敛性的判定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2423、1;.4641 第一考察是否有lim unn0 ，

17、如有就un 必n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结自我复习习题六A4. ，。5.10 、11。发散。2 通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.（ 1）、。12.1 、2 。 .21.1 、 .（并求平面图形绕X 轴旋转而成的旋转un 收敛性，特殊是n 1u n 中含 nn .或 a n 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结体体积）。第七章无穷级数情形。3 考虑用比较判别法时，应先对通项un 作初步估可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结一本章重点计，再用适合的p 级数的通项作出判定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数项级数收敛性的判定 包括正项级数的收5. 娴熟把握交叉级数1 uu0绝可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn敛性判定。交叉级数的肯定收敛与条件收敛的判n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定。幂级数的收敛域的确定。利用幂级数的性质求幂级数的和函数。对收敛仍是条件收敛的判定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二复习要求(1) 先考查u n 是否收敛，如n 1un 收敛，就n 1

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1. 懂得级数的基本概念。记住级数的基本性质，1nu是肯定收敛。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊是：如级数u收敛，就必有lim u n0 ，nnn 1n 1(2) 如un 发散，就用莱布尼兹判别法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但 lim unn0 时，级数un 未必收敛。n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 熟记等比级数aqnn 1的敛散性：n1 un 是否收敛，如收敛，就为条件收敛。n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

20、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 会求不缺项幂级数许缺有限项） 。na xn 的收敛域（注：允n 0故2 n n 13肯定收敛。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 第一考查limnan 1an，确定收敛半径R 及收敛2 记 un1n 13n1，显13n1可编

21、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间 R, R 。然 n时 , un 与n2为同阶无穷小, 事实上n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 争论 - R, R的端点 x=-R 及 x=R 处级数an x3n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 0lim2lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的收敛性，并写出收敛域（收敛区间加收敛的端点）。7. 熟记幂级数的性质，特殊是幂级数在收敛区间n1nn13n132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内可以逐项微分、逐项积分的性质，并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数。由n 1n发散

22、，得1n 1n 1发3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) xn1n 01x1x1散。但有 :22unun 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n13n13n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2)n1x01x1x1limu0 ，nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三.例题选讲例 1判定以下级数的敛散性，对交叉级数需说明是肯定收敛仍是条件收敛所以交叉级数(3)1n 1n 123n1条件收敛。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nn n1) n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1

23、.记.unn,u n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 n 12un 1 n1 n2) 3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 13 n1u3n 1n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3nn n13n11 n2113n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n 1n2n 12 n1正项级数n nn 13 n1 收敛。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1令 u n2 n ，就3 . 记 u n就n1 n1n2，2 n111可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n2un2n120 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结unn 1n 13是公比q的等比级数，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n1nn12 n2发散。11A.n 1n22n收敛 ;可编辑资

25、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2求幂级数nxn 的收敛半径、收敛区间及n 11nB.n 1n不肯定收敛 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和函数。 解：令 ann ，就C.0.99nn 1发散 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结llimn 1lim1D.发散 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na nnn1n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以幂级数的收敛半径

26、R=1，收敛区间为2.下面级数肯定收敛的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,1 .当 x= -1 或 x1 时，原级数为n1n 1A. 1n n 113 n;B.n1n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其通项unnlim un0nC. 1nn11nD. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原级数发散n 13n5n 1 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结级数收敛域也为 - 1, 1。2.判定以下级数的敛散性，对交叉级数,需说明是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n设 s x nxn 11x1肯定收敛仍是条件收敛5

27、n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x0 ,明显有s0n0 n0n 1,11n 1;n1n 12n33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时,2n n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s xxnx n 1 n 1xnxn 1 n 131 n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xn n 1xn n 1n 13. 求 x 23n1x3x4xn 1的 收 敛 半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11x1xxx 211x223n径，收敛域及和函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上 ,

28、原级数和函数为4. 求 n2 x n的收敛半径,收敛区间及和函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s x x1x 21x1n 0数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四练习题及参考答案1. 单项挑选题答案： 1.B; D.2.1. 肯定收敛。2. 收敛。 3发散。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1下面说法正确选项3.1, 1。S x 1x ln。1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - -

29、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.s x2x1x 21x18. 把握二重积分在极坐标系下的运算法。9.会用二重积分求平面区域D 的面积SD :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结自我复习：习题七 A 4.7 。5.1, 3,4 , 。6.1 4,67. ， 3。 8. 。9. ，习题七 B:10,12.SDdxdy .D三例题选解：例 1.求以下函数的全微分或偏导数.(1). zln1

30、x 2y2 ,求其全微分dz ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第八章多元函数xy2.arctanzx确定 z是x , y 的函数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一本章重点多元函数的偏导数的运算。多元函数的极值与条件极值。二重积分的运算。二复习要求1.懂得多元函数的概念，会求二元函数的定义域。zz求，xyz2 x解: 122x1xyz2 y,22y1xy222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 娴熟把握二元函数一阶及二阶偏导数的运算，会求二元函数的全微分。dzzx dxz ydy1xy xdxydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 娴熟把握多元复合函数的链式求导法，特殊是抽象复合函数的偏导数求导法。(2). 此题函数为隐函数.令xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 娴熟把握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：F