-01-02--解答-12高等代数1期末试卷 .docx

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1、精品名师归纳总结2021 学年第一学期 高等代数 A 卷一、挑选题 本大题共 5小题，每题 3分，共 15分1、设 A, B 为n 阶方阵，以下运算正确的选项是D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A装AB 12A12 B12BAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C A2B2ABABD假设 A 可逆，就112A1 A 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12分析： ABAB ABAB, A12 B12AAABAB ，矩阵乘法不满意交换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品名师归纳总结律，故两者不肯定相等。订同理， ABABA2AB - BAB2A2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nA （-1） AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、设 A 是 56 矩阵，其秩为 5，就齐次线性方程组 AX线0 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A基础解系恰有 5 个解向量B基础解系恰有 6 个解向量C基础解系恰有 1 个解向量D只有零解分析： 基础解系所含向量个数： n 未知数个数 -r A的秩 0=6-5=13、假设矩阵 An m 的秩为 r ，就以下结论正确的选项是D(A) A 的任何级数不超过

3、r 的子式都不等于零(B) A 的任何级数不超过 r 的子式都等于零(C) A 的任何级数大于 r 的子式都不等于零(D) A 的任何级数大于 r 的子式都等于零分析： 细读课本 134 页定理 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 设1, D2 ,r 是 n 维列向量，就1,2 ,r 线性无关的 充要条件 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(A) 向量组 1,2 ,r 中任意两个向量线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(B) 存在一组不全为 0 的数c1, c2 , cr，使得c11c22crr0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

4、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(C) 向量组 1,(D) 向量组 1,2,r 中存在一个向量不能由其余向量线性表示2,r 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、设 A, B 都是 n 阶正定矩阵，就以下结论正确的选项是C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAB 是正定矩阵BAB 是正定矩阵CAB 是可逆矩阵DAB 是实对称矩阵分析： A， B 正定A0， B0ABAB0AB可逆二、填空题 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分1、设 f x 和 g x 是两个多项式 , 假设 fx , gx1

5、，就fx, g xf x 1。证明由于 f x, g x1，所以存在多项式 ux, vx 使得ux f xvxg x1于是ux f xvx g x- v x f xvx f x1 u xvx f xvx f xg x1故 f x, f xg x1 .2、六阶行列式中，a56a12a34a23a41a65 这一项该带正号。分析： 该项符号为（-1）（5,1,3,2 ，4,6 ）+（ 6,2,4,3 ，1,5 ）=（-1）14 =13、设 A为三阶方阵， A* 为 A的相伴矩阵， 且有 A2 ，就 3 A11 A*2427分析： A -1 = A*A= A ，A * = A 2 =4 ，故23A4

6、、设11,1,2 ,21,0,0 ,31,4, k 的一个极大线性无关组是1,就 k8 。分析： 依题意 1 ,2 ,3 线性相关，从而。11 A*A 11A*111-A* =-A* = -A* =（-）3 A * =42326233273 ，1121000814k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、假设二次型fx , x , x2x 2x 2x 22 x xtx x 是正定的，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就t 满意条件：21231231223t2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、判定题

7、 本大题共 5 小题，每题 2 分，共 10 分请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否就打 “ ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结装1 A, B 均为n 阶复对称矩阵，就A, B 合同的充要条件是秩 A秩B 。 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、含有 n 个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于 n 。分析： Axb有解rA=rA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结订3、A, B 均为矩阵，假设 AB0 ，就 A0 或者 B0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 矩阵乘法不满意交换律，消去律，即AB

8、=BA 不肯定成立。 AB=0 不肯定得到 A=0或B= 0。 AB =AC 不肯定有 BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线4、假如向量组 1,性组合。2 ,r 线性相关， 就每个 i 都可以表示为其余向量的线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 向量组 1,性组合。2 ,r 线性相关， 就至少有一个i 都可以表示为其余向量的线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、假设多项式f x 和g x的最大公因式唯独， 就f xg x0 。 可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结四、简答题 本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分1100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、设A*021011，又 A0 ，求矩阵 A 以及它的逆矩阵 A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由于AA*A E ，所以有AA A* 1 ， A 11 A* A2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 A*A 3 1 ,且 A0， A1，4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品名师归纳总结又 A* 1100011012，6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 A A* 1100011，012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： A* 1的求法 1利用100021011为分块对角矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 A* E1作初等行变换* *（ A ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 A*=，此法繁琐，不举荐A*可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 为 n 阶矩阵，涉及A* 的题目 充分利用以下公式： A 11 A*， A* An-1= A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、求 n 阶行列式112n1的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n112n111解 ：行列式特点： 每一行的和 相等为“ 1” , 每一列的和 相等为“ 1”1112n1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112n1r1ri i2,3, n112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品名师归纳总结12n1112n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n11111112n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rir1 ,i2,3, n001n04 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01n00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n 11n000n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121n8 分1 x1x2x303、争论取何值时，线性方程组x11 x2x3xx1 x2123(1) 有唯独解。2无解。 3有无穷多个解，并求出此方程组的通解。111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：

13、方程组的系数行列式为111111231 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 当3 且0 时，R ARA3n ，方程组有 唯独解 ;2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11292110r2 r1（2）3 时，21101129A1213r1r31213r3 2r1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11291129可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0336装r3 r20336， 阶梯型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结03

14、31800012RA3R A2 ，此时，方程组 无解;4 分30 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结订1110A11101110r2 r1r3 r1111000000000， 最简型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RAR A1n3 ，此时方程组有 无穷多解 ，6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线由最简型的一般解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x2x2x3x3x3 x2 , x3 为自由未知量 ，所以所求通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x111可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2k11k20, k1 ,k2 为任意常数。8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x301可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、设有二次型fx , x , xx22x2x22x x2x x4x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1231231 21 32 3（1） 写出二次型 f 的矩阵 A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 把二次型fx1, x2, x3经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结退化线性替换。解： 1 二次型的矩

16、阵为111A1221212 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2111111100100100122011011011010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21r2 r1r3 r1010c2 c1c3 c10001001A110=r3 r20 01c3 c20 016 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E11111110010010010011010010010010010011 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110令 C011 ,001就非退化线性变换XCY7 分可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把二次型化为标准形fx1, x2, x3y1y2y3。8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： A 作行变换而 E 不变，接着 ”A 和 E”同时作和行变换相同的 列变换，当 A 化为对角元为 “ 1， -1”的对角阵时， E 化为“C”五、证明题 本大题共 4 小题，每题 7 分，共 28 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、证明：假如A, B 均是正定矩阵，就A0也是正定矩阵。0B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： 由于 A 和 B 都是正定矩阵，

18、所以A 和 B 都是实对称矩阵，又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TA0AT00B0BTA0,0B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A0因此是实对称矩阵。2 分0B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 由 A 和 B 都是正定矩阵知 A 和 B 都和 E 合同，即存在可逆阵C 1,C 2使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122CT ACE, CT BCE 。3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结构造分块阵 CC 100C 2，就 C 可逆，且4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品名师归纳总结TC0A0C0C T AC0E0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0C0B0C0C T BC0E6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 A0与单位阵合同，结合知0BA0是正定矩阵。7 分0B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、设 A 和B 是两个同型矩阵，证明：秩 AB秩 A +秩 B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明方法 1： 设矩阵 A 的列向量组为A1,A2 ,.,An ，其极大无关

20、组为Ai , Ai ,., Ai， 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12r分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 B 的列向量组为B1 , B2,.,Bn ，其极大无关组为Bi , Bi,., Bi， 2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 Aik1 Aik2Ai.kr Ai ， i1,2,., n3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12rBi故 Ail1Bil 2Bi.Bik1 Aik2 Ails Bi.s ， ikr A

21、ir装121,2,., n4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l1Bil2 Bi.l sBi ， i1,2,., n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 AB 的列向量组可由Ai , Ai ,. Ai , Bi , , Bi,.Bi线性表示 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12r1 12s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就秩 AB rank Ai , Ai ,. Ai , B i , , Bi,.Bi rs=秩 A +秩 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

22、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12r1 12s7 分订留意： A 组可由 B 组表示rank A rankB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明方法二：由课本166 页结论，秩 AB= 秩（ A+ （-B） 秩 A +秩 - B =秩 A +秩 B线负号不会转变行列式是否为零的性质，因此不会转变矩阵的秩，故秩 - B =秩 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、用 f 代表f x ， g 代表g x ，设 f i , g j 1,i , j1,2 ，证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

23、品名师归纳总结 f1 g1 , f 2 g2 f1 , f 2g1, g2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 由于 f1,f2 f1 , f1 , f 2 f 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g1, g2 g1 , g1, g2 g2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f1,f2 g1 , g2 f1g1, f1,f2 g1, g2 f2 g2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

24、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这说明 f1 ,f 2 g1 , g2 是f1g1与f2 g 2 的一个 公因式。又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f1,f 2 =u1 f1v1 f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 g1 , g2 = u2 g1v2 g2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而f i, g j1,i , j1,2 ，由课本习题一题 13 结论可知， f1 f 2 , g1 g2 1 ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1uf1 f2vg1 g2可

25、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式左右两边相乘知是 f1,f 2 g1 , g2 是f1g1 与f2 g2 的组合，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故由课本习题一题 8 结论可知 f1 ,f2 g1 , g2 是f1g1与f2 g 2 的最大公因式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此， f1 g1 ,f2 g2 f1 , f 2g1 , g2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、向量组 1,2 ,r 线性相关的充要条件是至少有一个向量i

26、 1ir 可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以被它前面的1,2 ,i1 线性表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： “必要性” 由于向量组1 ,2 ,.,r 线性相关， 所以存在不全为零的数k1, k2,., kr ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得k11k22.krr01 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不妨设k1, k2,.,

27、kr中最终一个不为 0 的数是ki 1ir ，于是有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kk1i1122k i.k i 1i 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 i 可以被它前面的1 ,2 ,.,i1 线性表示。4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“充分性” 由于向量组中至少有一个向量i 可以由它前面的向量线性表示，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不妨设il11l 22.l i 1i，15 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即l 11l 22.l i 1i 1i0i 1.0r06 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以向量组1,2,.,r 线性相关。7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载