微分中值定理教案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次章一元函数微分学 2.6微分中值定理【课程名称】高等数学【授课题目】 微分中值定理【授课时间】 20XX年 11 月 18 日【授课对象】 20XX级电子信息专业【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理 拉格朗日（ Lagrange）中值定理，罗尔（ Rolle ）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特别情形，而柯西（Cauchy）中值定理就是拉格朗日中值定理推广。微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。

2、微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的许多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要争论的洛必达（Lhospital）法就、泰勒（ Taylor ）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。【教学目标】1、使同学把握拉格朗日中值定理，娴熟运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等。2、使同学在把握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的学问层次与结构。3、使同学经受拉格朗日中值定理的完整的争论过程，体会数学争论与数学应用的乐趣，进展应用意识和解决问题的才能。【教学重点】 微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。【教学难点】 微分中值

3、定理中拉格朗日中值定理的证明。【教学方法及手段】 以启示式讲授为主，采纳多媒体帮助演示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2.6.2拉格朗日中值定理（幻灯片1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、内容回忆定理 1（Rolle

4、）如函数f x满意条件板书标题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）在闭区间 a, b上连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在开区间 a, b 内可导。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） faf b 。（幻灯片2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就至少存在一点 a, b，使得f0。几何意第一回忆前面所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义：在定理的条件下，区间

5、 a, b 内至少存在一点，学习的内容，然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得曲线在点 , f处具有水平切线 。后通过提问引入新课的内容 :微可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、拉格朗日中值定理定理 2（Lagrange ）设函数f x满意条件：分中值定理的核心内容 - 拉格可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）在闭区间 a, b 上连续。（ 2）在开区间 a, b 内可导。 就在 a, b 内至少存在一点，朗日（ Lagrange）中值定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得f

6、fbf a。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或写成f bf af ba 。上述公式称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉格朗日中值公式，且对于ba 也成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几何意义 ：假如连续曲线yf x上除端点外到处具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不垂直于 x 轴的切线，就在曲线弧AB 上至少存在一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,f ，在该点处曲线的切线平行于弦AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

7、 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由拉格朗日定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（幻灯片3 ）【本节重点】的几何意义可以看出，当函数满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结板书定理内容足f af b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，此时弦AB可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载精品名师归纳总结说明定理的条件及结论，指出的斜率等于零。即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理条件的一f0。这便可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结般性。（幻灯片4 为Lagrange生平简介。）是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特别情形。 即Lagrange 中值定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rof af blle定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（幻灯片5 ）借助于多媒体，图文并茂的说明定理几何意义。证明分析 ：如记f bf ak ba，要证（ 1）

9、式，即证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fk f xkxf 0k0 f xkx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是是否存在 a, b，使函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xf xkx在 x处的导数为零？

10、即0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 作帮助函数xf xkx ， x a, b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简单验证 x在闭区间 a, b上连续，在开区间 a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内可导，且 af akaf afbf a a【本节难点】板书分析证明的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf aba思路af b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 x a, bbab 。满意罗尔定理的条件，即至少

11、存在一点，使0 。 即引导同学采纳 逆向思维的方式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ffbf a证毕。，从结论入手分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba（幻灯片6 ）引导同学通过观看图形的区分引导同学摸索拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系析得出需证明的结论的条件。（幻灯片7） 此定理的证明关键是构造帮助函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

12、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数满意罗尔定理例1证 明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件，然后利用罗尔定理的结论证明。arcsin x。arccos x, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：设f xarcsin xarccos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此处提出问题让同学摸索是否仍有别的方法构造帮助函数满意条件，然，就在 1,1 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x110可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结后给出提示。1x21x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，由推论 1 可知f xarcsin xarccos xC由拉格朗日中值定理仍可以得出下面的推论：（ 常 数 ）。 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论设函数f x在开区间 a, b 内可导 , 且x0 ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0 ，就在 a, b 内f x为常数。即C。又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0 ， x a, bf xC , xa,b，其中 C2

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为常数。f 1，故2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：任取x1, x2 a, b，不妨设 x1x2 ，在 x1 , x2 上所证等式在定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用定理 2，得f x2 f x1 f x2x2 ，其中域 1,1上 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1,x2 a,b。由于f x0, xa,b，所以立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f0，从而f x1 f x2 。由x1 , x2 a, b 的任练习1 ：证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

15、结意性可知，f x为常数。arctan xarccot x, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、定理的应用证：设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xarctan xarccotx ，就在 , 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（幻灯片10 ）可编辑资

16、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（幻灯片8-9 ）此处引导同学摸索证明的思路与方法，然后由同学回答，最终老师总结完整证明过程。板书例题的具体证明过程。此处应提示同学留意证明过程的严谨性和完整 性。（幻灯片11 ）此处可以请一名学生回答， 然后老师做点拨。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1101x21x2，由推论可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

17、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xarctan xarccotxC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 x0, 得 C。2故所证等式在定义域, 上成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 2证明不等式 1xln1xx x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：设f t ln1t ，就f t 在0,x 上满意拉格朗可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结日中值定理条件，因此有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf

18、 0f x0,0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln1所以xx1x，又由于 1xxx ，1（幻灯片12 ）板书证明的分析过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xln1xx1xx0。程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 2：证明不等式指出此题的关键是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结baln bba0ab 。找出争论的对象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa函数， 留意

19、观看不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：设f xlnx ， x a,b ，就f x在 a, b 上满等式的特点， 找出合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足拉格朗日中值定理的条件，因此有适的函数， 合理运用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f bf afba,ab定理证明不等式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bba即 lnabababa，由于ba，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以baln bba 0ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -0f 010，1f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（幻灯片13 ）。由零点定理知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此处请一名同学上讲台做练习，然后巡察其他同学的答题情形，最终教 x在 0,1 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师做总结。至少存在一个零点，即方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx10在 0,1 内 至 少有一个实根。 唯独性（反证法） 假设方程f xx1在 0,1 内 有 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个实根x1 , x2 ，不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结妨设例 3设f x 在 0,1 内可导，且 0f x1 ，又对于0x1x21 ，0,1 内的全部点 x 有 f x1，证明方程就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx10 在 0,1 内有唯独实根。f x1 1

22、x1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： 存在性f x2 1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 xf xx1, x0,1对函数f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 x在0,1 内可导 , 连续。又 0f x1 ，所以 x1 , x2 上 应 用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

23、- - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 知 存 在 x1, x2 ， 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ff x2x2f 1x x1 1 2xx2 11xx1，1 与题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 fx1冲突，唯独性得证。课堂小结：一、拉格朗日中值定理（留意与罗尔定理的

24、关系）。 二、拉格朗日中值定理的推论。三、拉格朗日中值定理的应用。（证明恒等式、不等式以及方程根的存在情形等）课后作业： P96 ：9、10、11（1）、（3）、4 、（6）。 幻灯片 14-16 分析：先证明存在性，再证明唯独性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结引导同学摸索证明存在性可能需要用到的定理，而证明唯独性的一种常用方法就是反证法。（幻灯片17-18） 课堂小结、 布置作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载