成都市中考满分作文-第八章线性方程组的迭代解法.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀范文第八章线性方程组的迭代解法7.1 引言解线性方程组的直接方法得到的解是理论上精确的，但是我们可以看得出， 它们的运算量都是n3 数量级， 储备量为 n2 量级，这在系数矩阵A 的规模比较小的时候仍比较合适（如：矩阵维数n400）。但是，当 A 为大型稀疏矩阵 时，再利用直接法时就会耗费大量的时间和储备单元。因此我们有必要引入一类新的方法： 迭代法 。从第六章方程求根的迭代方法可以估计：迭代法： 从线性方程组一个初始的近似解（向量）动身，反复套用同一个迭代公式，构造一个无穷序列，逐步靠近方程组精确解

2、的方法（一般有限步内得不到精确解）。特点： 该方法具有储备单元较少、程序设计简洁、原始系数矩阵在运算过程中始终不变等优点，但是存在收敛性 及收敛速度 方面的问题。例 8.1（P201）如何设计方程组的迭代公式线性方程组：等价的迭代方程组：迭代过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxbxBxfx k 1Bx kf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以写成多种等价的迭代方程组，例如：AIAIxIA xbBxf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADADxID1 A xD1bBxf ，aii0（例 8.1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ALDUxD 1LUxD1bBxf ，aii0Jacobi 迭代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： AL -D -U 的形式如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀范文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a1n00a11a12a13a1n可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品名师归纳总结a21a22a2 na210a220a23a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Aa31a3200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaaan 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n2nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2an 300可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L-D-U问题：1、是否任意一个等价的迭代方程组，按迭代法做出的向量序列都肯定逐步靠近方程组的解了？2、如何保证收敛性？定义 8.1x 1Bx 0f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于给定

5、的方程组xBxf ，用式子xBxf21.逐步代入求近似解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk1xBxf的方法称为 迭代法 （或称为 一阶定常迭代法 ， 这里 B 与迭代次数 k 无关）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 limkx k 存在（记作x* ），称此迭代法 收敛，明显x* 就是方程组的解。否可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk就称此迭代法 发散。收敛性争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk从误差的角度分析，引入误差向量：xx *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

6、归纳总结就： lim x kx *kl i m k k，0xx *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1Bx 0x 2Bx 1将.kBxxk -1f f的各个方程减去x*fBx*f 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kBk 1B2k 2.Bk0，0 为初始误差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - -

7、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀范文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如矩阵 B 满意 lim B kk0（零矩阵），那么 limkk0 就成立，即 lim x kkx * ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结迭代过程收敛。8.2 Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel迭代法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8.2.1 Jacob（i雅可比）迭代法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结迭代公式线性方程组：矩阵形式描述：可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品名师归纳总结a11x1an1x1a1n xnb1annxnbnA xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等价的迭代方程组：x1baxax1112 21nna111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2b2a22a21 x1a23x3a1n xnaii0xB xfB=？ f=？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1baxax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn1 1annn n 1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： xi1nbiaij x j可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aiij 1ij因此， Jacobi迭代法的迭代公式为0000Txx1, x2,., xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xk 11ibiaiinkaij x jj 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij迭代矩阵令ADLU，其中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优

10、秀范文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a0a2 100a120a13 a23a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D=22annL =a3 1a 3 20U0an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1a n2a n 300可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就，等价的迭代方程组为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxbDLUxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ID 1LUxD 1bBD 1LUID 1A可编辑资料 - - - 欢迎下载

11、精品名师归纳总结xD 1LUxD 1bfD 1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xBxf迭代公式的矩阵形式为：0000T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx1, x2,., xn称 B 为 Jacobi 方法迭代矩阵 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1kxBxf特点：Jacobi 迭代法公式简洁，每迭代一次只需要运算一次矩阵和向量乘法！在用运算机运算时，运算xk+1时需要 xk的全部重量，因此需开两组储备单元分别存放 xk和 xk+1。8.2.2 Gauss-Seide（l 高斯 -赛德尔）迭代法由 Jacobi方法迭代公式可知，迭代的每一

12、步运算过程，都是用xk的全部重量来运算 xk+1的全部重量。k1i能否在运算 xk+1的第 i 个重量 x时，利用 xk+1已经运算出的前i-1 个重量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1kx1, x21k 1,., xi 1的信息？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样做有两方面的优势：1、 从直观上看，最新运算出的重量可能比旧的重量要好些（更精确靠近线性方程组的真实解向量） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

13、- - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀范文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k2、 运算 xi1 时只需要 xk的 i+1n 个重量，因此xk+1的前 i 个重量可储备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 xk的前 i 个重量所占的储备单元，无需开两组储备单元。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kx因此，对这些最新运算出来的第k+1 次近似 xk+1的重量1 加以利用，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j得到解方程组的Gauss-Seidel迭代法（ G-S 方法）

14、。迭代公式Gauss-Seidel迭代法的迭代公式：0000Txx1, x2,., xni 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x k 11k 1kba xa x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iiijjijj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aiij 1j i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：对比 Jacobi迭代公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0x 0, x 0T,., x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nni 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 11x

15、i bik1aij xjbiaij x jkkaij x j可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aiij 1aiij 1j i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijGauss-Seidel迭代公式也可以写为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x k1 =xk +xk0,1,2,.; i1,2,., n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iii1i 1k 1nk（留意其次项求和， j=i ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xibiaiiaij x jj 1aij x jj i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结迭

16、代矩阵由 Gauss-Seidel迭代公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xk 11iibi1k 1aij xjnkaij xj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aiij 1j i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 ： a x k 1ba x k 1a xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iiiiijjijjj 1j i 1k1k写成矩阵的形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk11kDxbLxUxDLxbUx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

17、总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀范文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设 DL1存在，就：x k 11kDLUx1DLb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是， Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式为：kk1xGxf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中：1GDLU ，1fDLb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称

18、G 为 Gauss-Seidel迭代方法的 迭代矩阵。特点：在用运算机运算时，只需一组储备单元，以便存放近似解。每迭代一步只需运算一次矩阵与向量的乘法。例 8.2此例题中 Gauss-Seidel迭代法比 Jacobi 迭代法收敛快，但这个结论在肯定条件下才是对的。（当 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法都收敛时， Gauss-Seidel 迭代法比 Jacobi 迭代法收敛快）例 8.3此例题说明，存在某些线性方程组，用Jacobi 迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散。留意：1) Gauss-Seidel迭代法的运算过程中只需用一个一维数组存放迭代向量。2)

19、Gauss-Seidel迭代不肯定比 Jacobi 迭代收敛快。8.3 迭代法的收敛性前面已经从误差的角度分析了迭代过程收敛的条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如迭代矩阵B 满意 lim B kk0 （零矩阵） ，那么 limkk0 就成立，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

20、 -优秀范文可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim x k kx* ，迭代过程收敛。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵序列的极限定义 8.2 设有矩阵序列 Akkaij（ kn n1,2,. ）及Aaijn n ，假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim a ka（ i , j1,2,., n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kijij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成立，就称A收敛于 A，记作 lim AkA 。

21、kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8.4 矩阵序列的例子矩阵序列极限的概念可以用任何矩阵范数来描述。范数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如矩阵A aij的某个 非负实函数 NA ，记作A ，满意条件：n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） A0 当且仅当 A0 时， A0 （非负性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） AAR （齐次性）（ 3）对任意两个阶数相同的矩阵A,B 有 ABAB（三角不等式性）（4）A,B 矩阵为同阶矩阵 ,ABAB （相容性）就称

22、NAA 为矩阵范数 。矩阵范数的例子：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行范数：Anmaxaij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 i nj 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的列范数：A 1nmaxaij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的 2 范数：A 21 j n i11（1 是AT A 最大特点值）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 8.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim AkkA的充要条件 是AkA0 （ k）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀范文k（证明略。） 定理 8.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设迭代矩阵B bijn n ，就 B0 （ k）的充要条件是B1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（证明见 P206）注：B是矩阵 B 的普半径 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 是 n n 矩阵，i

24、 i=1,2,是n其特点值 。称Amaxi , i1,2,., n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 A 的谱半径。 即矩阵 A 的特点值中肯定值最大的那一个特点值的肯定值。矩阵 A 的特点值 和特点向量：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA detIA0 的根，为矩阵 A 的特点值 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满意i vAv 的向量 v 为矩阵 A 的对于特点值i 的特点向量 。定理 8.3 迭代法的收敛性定理0设有方程组 xBxf 对于任意初始向量x及任意 f，解此方程组的迭代法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk1（即 xBxf ）收敛的充要条件是B1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（证明见 P207-208）验证迭代过程是否收敛的例子：例 8.5，例 8.6收敛速度的争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以看出，当B1越小时，收敛速度越快。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载