9课时无穷小与无穷大 .docx

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1、精品名师归纳总结总 课 题第一章函数、极限与连续总课时第 17、18 课时分 课 题1.5 无穷小与无穷大分课时第 1、2 课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教案目标学问目标：1. 要求同学能够在懂得无穷小的概念基础上，把握无穷小与无穷小之间的关系，并能够判定常见的无穷小。2. 结合无穷小与无穷大的特点自由探讨无穷大的概念及其相关性质。技能目标：1. 知道什么是无穷大与无穷小。2. 会进行无穷小之间阶的比较。 情感目标：在把握无穷小与无穷大的过程中培育同学勇于探究的精神，激发同学对极限争论学习的深厚爱好可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重点难点1无穷小与无穷大的

2、概念。2无穷小与无穷小之间阶的比较。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教案方法讲练结合教案法要求同学能够懂得无穷小与无穷大的概念及其它们之间的关系，并能够在对两个无穷小之间进行阶的比较基础上，利用等价无穷小这一有利工具解决一些极限运算问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教材分析一、无穷小在微积分学中的位置极限概念是微积分理论的重要基石，极限思想贯穿于整个微积分学。无穷小是极限的灵魂与内核。在高等数学课程中，无穷小主要起运算工具的作用，它不仅被用以运算极限，而且仍被用以证明极限的性质和运算法就。因此，在微积分学中，整个极限理论就是无穷小的分析与应用的理论。二、“无穷

3、小的比较”在高等数学中的位置和作用在高等数学中，“无穷小的比较”是争论极限理论和运算极限的重要工 具。其中，以等价代换原理为核心的等价无穷小理论尤为重要。略去高阶无穷小不计的等价代换原理，不仅是处理微积分问题的重要思想，而且是简化极限运算的有效方法。三、“无穷小的比较”与教材中前后学问的联系在高等数学与微积分教材中，“无穷小的比较”一般是以函数的极限、极限运算法就、无穷小与无穷大的概念、以及无穷小的性质等为基础。同时，它又是微积分后继内容的理论基础和思想工具。如在极限运算中，协作使用等价代换方法与洛必达法就，可使运算简化。在判定级数收敛性时，将通项进行等价替 换，也可使得运算大为简化。可编辑资

4、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学情分析09 级理科班作为毕业班面临着就业及“5+2”专转本升学考试的双重压力。而由于前面已经学习过了数列和函数的极限，大部分同学已经能够娴熟把握常见的极限的运算方法，对于常见以0 或为极限的函数数列）极限问题较为熟识，这为本课争论“无穷小与无穷大”打下了基础。本课将在给出无穷小的概念，与同学一起探究无穷小的性质及其无穷小阶的比较的基础上，其次节课将无穷大放手给同学自由争论、争论，最终与同学一起争论无穷小与无穷大的关系，从而突出重点，突破难点。第一课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习引入通过前面的学习，信任大家对极限的运算能够有肯定程

5、度的把握。第一我们简洁的检查一下大家的学习成果：练习：运算以下极限1）。 2）。3）。4）。5）。6 ）同学活动 1：1、快速口答上述极限的结果。2、结合上述六个极限，你能发觉那些规律？ 通过对上述极限特点总结，给出无穷小的定义：新课讲授一、无穷小的定义如 函 数当 或） 时 的 极 限 为 0 ， 就 称 函 数为或）时的无穷小量，简称 无穷小 。同学活动 2：例 1 以下变量在给定的变化过程中，哪些是无穷小？1）2）3）4 ）5）7）6）8）注：无穷小与自变量的变化趋势有关，在表达的时候应表达清晰是何种变化设计意图 ：1、前面教案过程中已经涉及了大量的函数或数列的极限运算问题。2、这几个极

6、限问题 相对比较简洁，学 生应当能够快速发 现其极限都是 0。 3、同时能够引起学 生的疑问：为什么 要复习结果都为0极限问题，为无穷小定义的给出做铺垫。同学活动 1、同学口答：无穷小的判定需要留意的是指数函数在相应的变化趋势下无穷小量与无穷大量的比较问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过程中的无穷小。二、无穷小的性质同学活动 3：例 2 结合极限的四就运算性质，摸索：1）同一变化趋势下的任意两个无穷小的和、差、积有什么特点？能否扩展到无限多个？试举例说明。性质 1 ：在同一变化趋势下的任意有限多个无穷小的和、差、积仍是无穷同学活动 2、结合极限的四就运算性质，摸索例2 并沟

7、通争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小。2）任一无穷小与有界量的积了？性质 2：任意无穷小与有界量的乘积仍是无穷小3）同一变化趋势下的任意两个无穷小的比了？争论无穷小、与的特点，观看它们的不同之处。三、无穷小的比较设与都是时的无穷小，且，记。1 ） 如， 就 称 当时 ，是 比高 阶 的 无 穷 小 ， 记 作）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2），就称当时，与是同阶无穷小。特殊的，如，就称当时，与是等价无穷小，记作）同学活动 4：例 3 当时，以下函数与相比，哪些是高阶无穷小，哪些是同阶但不等价无穷小，哪些是等价无穷小？，例 41） 07 、10 年真题）

8、当时，无穷小量是 的）设计意图 ：1、通过具体的实际问题分析，使同学清晰：无穷小的比较问题最终转化为函数极限的运算问题。2、无穷小的比较是历年来专转本考试考点之一，通过近几年的真题分析， 使同学熟识无穷小比较的相关题型。 3、而最终一题就是有关无穷小比较的反问题，视同学掌握情形作为选讲内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 高阶无穷小 B 等价无穷小 C 低阶无穷小 D 同阶但不等价无穷小2） 08 年真题）当时，与是无穷小 高阶、等价、同阶） .3） 09 年真题） 2、当时，与相比较是 ） A 高阶无穷小 B 等价无穷小 C 低阶无穷小 D 同阶但不等价无穷小例 5 设时，与

9、为等价无穷小，求的值。课堂小结通过本节课的学习，我们在把握了无穷小的定义的基础之上，把握了无穷小的性质，并学会了无穷小的比较。回忆课初，我们提到的函数极限，摸索：假如把这些函数取倒数，在相同的变化趋势下极限如何了？略微休息一下，下节课请同学们自行结合无穷小的争论方法探讨极限的另外一种情形 无穷大 。其次课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结新课讲授同学活动 5结合以下运算极限的特点，试着说一说无穷大的定义：1）。2）。3）。4）。5）。6 ） 四、无穷大的定义任给，当变化肯定以后，总有，就称为无穷大。记作：同学活动 5试着举几个无穷大量的例子，同位之间相互验证一下。同学活动 64

10、 / 7设计意图 ：1、由于上一节课已经对无穷小做了具体的分析和探讨， 因此无穷大的探究可以完全放手给同学进行。2、无穷小与无穷大的关系是本次课的 难点，难就难在学 生不简洁想到一些 特 殊 的 函 数 ， 此时，老师可以予以 适当的提示，让学 生摸索给出的函数 的特殊性。3、最终应当点出， 正由于无穷小与无穷大有了这样一种特殊的关系，所以无穷大的争论往往可归结为对无穷小的争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）与。2 ）。3）与。4 ）与。5）与。 6）与摸索：1）考虑常函数。争论：谈一谈你对无穷小与无穷大的关系的熟识。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ）

11、考虑函数。五、无穷小与无穷大的关系在 的同一个变化过程中，如为无穷大，就为无穷小。如为无穷小，且恒不为），就为无穷大。注：正由于无穷小与无穷大存在了这种特殊关系，因此对无穷大的争论往往可归结为对无穷小的争论。课堂小结通过本次课的学习，信任大家对无穷小与无穷大有了更为深刻的熟识，那么在我们高等数学课程中，无穷小主要起运算工具的作用，它不仅被用以运算极 限，而且仍通常被用以证明极限的性质和运算法就。特殊是对于无穷小的比较， 在历年的专转本考试中都有所涉及，期望同学们能够予以足够的重视。作业布置课堂作业：完成教材48 页习题 1.4 第 1、2 题。同学活动 4、同位沟通，无穷大量与无穷小量的关系，

12、并试着举出一些无穷大量的例子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结课外作业：阅读课外资料，找一找无穷小在数学进展史上的重要位置和作用。板书设计1.5 无穷小与无穷大一、无穷小的定义例题与练习二、无穷小的性质略三、无穷小的比较四、无穷大的定义5 / 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、无穷小与无穷大的关系阅读材料对无穷小的模糊熟识与危机的产生其实在历史上众多的数学家对无穷小也有过模糊的描述。这些描述与我们对无穷小最初的熟识有些相像。古希腊的德谟克利特将“原子论”应用于数学，认为线、面和立体等分别由有限多个原子组成，运算立体的体积就等于将构成该立体的有限多个原子的体积加

13、起来，用此方法他第一个提出了圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一。可以说这是无穷小和积分思想的先声。17 世纪的意大利数学家卡瓦利列在不行重量几何中将面和立体看成不行重量“流淌”所生成，在他看来不行重量就是无穷小。古希腊的一篇极重要的文献阿基M德方法中阿基M德运用穷竭法来解决二次曲线曲面的一些问题。阿基M德的穷竭法蕴涵了极限的思想，但他极力躲开 无穷小这一概念，以保证推理的严密性。由于他认为无穷小概念存在着说不清的冲突。最具代表性的就是芝诺悖论。古希腊哲学家芝诺提出了阿基里斯追乌龟说来否定时空的无限可分，又提出了飞矢不动说来否定时空的有限可分。如从今时算起，无穷小是否存在困扰了数学家们 200

14、0 多年。17 世纪中叶，牛顿和莱布尼茨对微积分的创立做出了打算性的奉献。但是他们都没能用一个严密的方法来定义无穷小，存在不少自己也说不清道不明的论述。牛顿在求积法中说：“让增量快速消逝”。莱布尼茨说“一个永久飞奔和变化的量直到消逝为零”。“愿要多小就有多小的量”。“无穷小不是简洁的零，而是相对的零，就是说它是消逝的量，但仍保持着它那正在消逝的特点。” 但他又说“我不太信任度量中真正有无穷小”。我们可以看出这些描述是模糊的动态的，仅凭借直觉和体会来懂得问题。但是这样模糊描述而没有精确的数学定义会使很多微积分问题无法进一步争论，甚至显现很多错误，例如莱布尼茨去争论级数。当时这些对无穷小的描述遭到

15、了大量的怀疑批判甚至是指责和攻击。18 世纪的英国大主教贝克莱讥笑牛顿的无穷小量是“逝去的鬼魂”龚升，林立军，简明微积分进展史 M ，长沙：湖南训练出版社，2005）。无穷小存在吗，是什么，为什么会显现很多的冲突或悖论？作为微积分的基础，对无穷小的懂得便引发了猛烈的争辩，这就导致了数学史称之为的其次次数学危机。其实从古希腊的安提丰、阿基M德等的穷竭法到 17 世纪意大利的卡瓦列里的不行分几何，几何方法始终是微积分争论的主要方法，甚至认为微积分与几何不行分割，只能是几何的一部分。17 世纪费马等人运用算术解读方法来争论微积分，却受到广泛剧烈的批判，例如沃利斯的无限算术被指为“卑劣的书”、“符号的疮疤”CarlBBoyer 微积分概念进展史M 上海：复旦高校出版社，2007 ）。但是将极限建立在几何直觉上是不行能将极限更一般更精确的描述出来的，也限制明白读方法的进展。到了 18 世纪瑞士数学家欧拉将以函数形式来争论微积分，完全走出了几何学的禁锢，不需要把微积分问题都归为图形来争论。在19 世纪柯西和魏尔斯特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉斯最终用算术运算来定义极限，极大促进了微积分的进展。经过达朗贝尔、波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家200 多年的努力，直到19 世纪 - 语言才成为严格精确定义极限和无穷小的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载