抛物线及其性质知识点大全.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -抛物线及其性质1 抛物线定义 ： 平面内到肯定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线2 抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.2y2 px p0y22 px p20x2 py p0x 22 py p0焦 点 位置X 正X 负Y 正Y 负开口方向右左上下标 准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦 点坐标准 线方程 p ,02pp ,02p0, p 0,p22pp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x

2、xyy2222x0, yRx0, yRy0, xRy0, xR对 称 轴X 轴X 轴Y 轴Y 轴范 围顶 点坐标（ 0,0 ）离心率e1通 径2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦半径A x1 , y1pAFx12pAFx12pAFy12pAFy12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点弦长AB x1x2 px1x2 p y1y2 p y1y2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点弦长AB以 AB 为直径的圆必与准线l 相切可编辑资料 - - - 欢迎

3、下载精品名师归纳总结的补充Ax1, y1 如 AB 的倾斜角为，AB2 psin22x xp如 AB 的倾斜角为，就 ABy yp22 p cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B x2 ,y2 12412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11AFBFAB2AFBFAFBFAFBFp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3抛物线y22 px p0 的几何性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 范畴：由于p0，由方程可知x 0，所以抛物线在y 轴的右侧，当 x 的值增大时，| y | 也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延长可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号打算开口方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 顶点（ 0， 0），离心率：e1，焦点F p ,0 ，准线 x 2p，焦准距p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4焦点弦：抛物线y 22 px p0

5、的焦点弦AB ，Ax1 ,y1 ,B x2, y2 , 就 |AB |x1x2p 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弦长 |AB|=x 1+x2+p, 当 x 1=x2 时，通径最短为2p。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4焦点弦的相关性质：焦点弦 AB ，A x1, y1 ,B x2 , y2 ，焦点F p ,0 2p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 如 AB 是抛物线y22pxp0的焦点弦（过焦点的弦），且 Ax1, y1 ， Bx2 , y2 ，就：x1x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2y yp2 。(2)

6、如 AB是抛物线y22 pxp0的焦点弦，且直线AB的倾斜角为 ，就 AB2 Psin 24（ 0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 已知直线 AB是过抛物线y22 px p0 焦点 F ,11AFBFAB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFBFAFBFAFBFp(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径(5) 两个相切： 1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5弦长公式：Ax1 ,y1

7、,B x2 , y2 是抛物线上两点，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB xx 2 yy 21k 2 | xx|11| yy|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212k 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点。（ 2）当 k0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点。=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点。 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（ 3）如直线与抛

8、物线只有一个公共点, 就直线与抛物线必相切吗.（不肯定）7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l ： ykxb抛物线， p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ykxbk 2 x22kbp xb 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 22 px可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 交 点 坐 标 为Ax1, y1 ,B x2 , y2 ， 就 有0 , 以 及 x1x2 , x1 x2， 仍 可 进 一 步 求 出可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2kx1bkx2bk x1x2 2b ，y1 y2kx1b kx2b k 2 x xkb x1x2 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如22a. 相交

10、弦 AB的弦长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1kx1x21k 2 x1x 24 x1 x21k 22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或AB112y1y2 k112 y1ky 24 y1 y21 k 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 中点M x0, y0 ,x0x1x2 ，y 2y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0点差法：设交点坐标为A x1 , y1 ，B x2 , y2 ，代入抛物线方程，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y222y12 p

11、x12 px将两式相减，可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y1y2 y1y2 2 p x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2x1x22 py1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 在涉及斜率问题时，k AB2 pyy2 py1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为M x0 ,y0 ，122 pp，可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品名师归纳总结p即 kAB，y0x1x2y1y22 y0y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，对于抛物线 x22 py p0 ，如直线 l 与抛物线相交于A、B 两点，点M x0, y0 是弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 的中点，就有k ABx1x2 2 p2x0x02 pp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（留意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【经典例题】（ 1）抛物线二次曲线的

13、和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的全部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点的集合 . 其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 1】P 为抛物线y

14、22 px上任一点， F 为焦点，就以PF 为直径的圆与y 轴（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 相交B.相切C.相离D.位置由 P 确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】如图，抛物线的焦点为Fp ,02，准线是YHQP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l : xp . 作 PH l 于 H，交 y 轴于 Q，那么PFPH ，NM2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 QHOFp. 作 MNy 轴于 N就 MN是梯形 PQOF的

15、2OF p ,0X2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中位线，MN1OFPQ11PHPF . 故以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相像的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论就分别是相离或相交的.l : x = - p2y2 = 2 px可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，很多都与它的焦点弦有关. 懂得并把握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮忙的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】 过抛物线y 22 px p0 的焦点 F 作直线

16、交抛物线于A x , y, Bx , y两点， 求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）ABx1x2p（ 2）1AF12BFp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证明】（ 1）如图设抛物线的准线为l ，作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAlA , BBl于B ，就 AFpAAx，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Y1111112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFBB1x2p. 两式相加即得：2Ax,y1A11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

17、结ABx1x2pXFB 1 Bx,2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 AB x 轴时，有AFBFp，2112AFBFpl成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：ykxp. 代入抛物线方程：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k2xp 22 px . 化简得：k 2x2p k 2p22xk 2014可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程（ 1）之二根为x1， x2，k 21xx2

18、.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -111111x1x2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFBFAABBpppp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x1x2x xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221 22124x1x2px1x2p2p2

19、pp2pp .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x242x1x2p42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1故不论弦AB与 x 轴是否垂直，恒有AF12BFp成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的很多试题，又与它的切线有关. 懂得并把握抛物线的切线方程，是解题者不行或缺的基本功 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】证明：过抛物线y22 px 上一点 M（x 0， y 0）的切线方程是：y 0y=p （ x+x0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

20、欢迎下载精品名师归纳总结【证明】对方程y22 px 两边取导数：2 yy2 p， yp .切线的斜率y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kyx x0p.由点斜式方程：y0yy0pxxy ypxpxy 210000y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y2 px ，代入（）1 即得：y 0y=p（ x+x0）00（ 4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在很多不不易发觉，却简洁为人疏忽的定点和定值.把握它们，在解题中常会有意想不到的收成 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如： 1.一动圆的圆心在

21、抛物线y28x 上，且动圆恒与直线x20 相切，就此动圆必过定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显 . 此题是例1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 抛物线y22 px 的通径长为2p。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设抛物线y22 px 过焦点的弦两端分别为2Ax , y, Bx , y，那么：y yp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

22、112212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下再举一例【例 4】设抛物线y22 px 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1 为直径的圆必过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结肯定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而 A1B1 与 AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对AB的一般情形给于证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证明】如图设焦点两端分别为A x1, y1, Bx2 , y2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

23、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么：y ypCACByyp .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22121112AYA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设抛物线的准线交x 轴于 C，那么CFp.1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A1FB1

24、 中 CFCA1CB1 . 故A1 FB190 .M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这就说明：以A1B1 为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通 法 特法妙法（ 1）解析法为对称问题解困排难CFX B1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析几何是用代数的方法去讨论几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等） .【例 5】（ 10. 四川文科卷 .10 题）已知抛物线Yy=-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A 、B ，就 |AB| 等于（）BA.3B.4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0 垂直，且线段MAB 的中点

25、必在直线x+y=0 上，因得解法如下.OX【解析】点A、B 关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为：A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxm .由yxm22xxm301l.x+y = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设方程（ 1）之两根为x1， x2，就 x1x21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 AB的中点为M（ x ， y），就x1x211 . 故有11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00x0. 代入 x+y=0： y 0=M,22222可编辑资料 - - -

26、 欢迎下载精品名师归纳总结从而 myx1. 直线 AB的方程为：yx1 .方程（ 1）成为： x2x20 .解得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2,1 ，从而 y1,2 ，故得： A（ -2 ，-1 ）， B（1， 2） .AB32 ，选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的进展，但伴之而来的却是难以防止的纷杂运算，这又使得很多考生对解析几何习题望而生畏. 针对这种现状，人们讨论出多种使运算量大幅度削减的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 6】（

27、11.全国 1 卷.11 题） 抛物线y24x的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为3 的直线与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线在 x 轴上方的部分相交于点A ， AKl ，垂足为 K ，就 AKF的面积（）Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 4B 33C 43D 8【解析】如图直线AF的斜率为3 时 AFX=60 .KA60 M O F1,0X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AFK为正三角形 . 设准线 l 交 x 轴于 M，就FMp2,L:x=-1=Y2 2px可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 KFM=60，KF4, SAKF342443 . 选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【评注】（ 1）平面几何学问：边长为a 的正三角形的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积用公式S3 a

29、2 运算 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）此题假如用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，再运算正三角形的边长和面积. 虽不是很难，但决没有如上的几何法简洁.（ 3）定义法追本求真的简洁一着很多解析几何习题咋看起来很难. 但假如返朴归真，用最原始的定义去做，反而特殊简洁.【例 7】（ 07. 湖北卷 .7 题）双曲线x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1 :a 2b21a0， b0 的左准线为 l ，左焦点和右焦点分别为F1 和 F2 。抛物线C2 的线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

30、总结l ，焦点为F2。 C1 与 C2 的一个交点为M ，就F1 F2 MF1MF1 MF21等于（）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1B 1CD 22【分析】这道题假如用解析法去做，运算会特殊纷杂，而平面几何学问又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去查找出路吧.如图，我们先做必要的预备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为e，作MHl于H ，令y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MF1r1,MF2r2 .点 M 在抛物线上，Hr 2Mx,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MHMF2r2, 故MF1MF1r1e，r 1r 2x可编辑资料 -

31、- - 欢迎下载精品名师归纳总结MHMF2r2F1 -c , 0OF2 c,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这就是说：| MF1 |的实质是离心率e.2cl : x = - a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| MF2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次，| F1 F2 |与离心率 e 有什么关系？留意到：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F1F2 MF1| MF1 |2ce 2a r1r1e r1r2 r1e 11 ee1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

32、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样，最终的答案就自然浮出水面了：由于| F1 F2 | MF1 |e1e1 .选A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| MF1 | MF 2 |（ 4）三角法本身也是一种解析三角学隐藏着丰富的解题资源. 利用三角手段，可以比较简洁的将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后依据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

33、纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -因此，在解析几何解题中，恰当的引入三角资源，常可以摆脱困境，简化运算.A【例 8】（09. 重庆文科 .21 题） 如图， 倾斜角为a 的直线经过抛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结物线 y 28x 的焦点 F，且与抛物线交于A、B 两点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程。（）如a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交Mx 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】（）焦点F（ 2， 0），准线l; x2 .可编辑资料 - -