抛物线的性质归纳及证明说课讲解.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段。焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过抛物线y2 2px（p 0）焦点 F 的弦两端点为A x1 ,y1 ,B x2 ,y2 , 倾斜角为, 中点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cx 0,y 0,分别过 A、B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A、 B、 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

2、结1. 求证： 焦半径| AF |x1pp21cos。焦半径| BF |x2pp;21cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112 。 弦长| AB| x1 x 2 p=2 p。特殊的，当 x 1=x2=90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AF | BF |psin 2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，弦长 |AB| 最短，称为通径，长为2p。 AOB的面积 SOAB证明：依据抛物线的定义，| AF | | AD | x1 p， | BF | | BC | x2 p，.2 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22|

3、 AB | | AF | | BF | x1 x2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图 2，过 A、B 引 x 轴的垂线 AA 1、BB1，垂足为yA1、B1，那么 | RF | | AD | | FA 1 | | AF | | AF |cos ，DAx1，y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | AF | RF |1 cosp1 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| RF |pB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理， | BF |1 cos1 cosROFA1x可编辑资料

4、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | AB | | AF | | BF |p1 cosp1 cos2pCsin2.B x2 ，y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SOAB SOAF S OBF 1| OF | y1 | 21| OF | y1 | 21 p图 2 | y1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| | y1 | y1y2 p2，就 y1、y2 异号，因此， | y1 | | y1 | | y1 y2

5、|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SOAB pp2p2 22p22p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4| y1 y2 | 4y1 y2 4y1y2 44m p 4p21 m2sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

6、- - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 求证：p2xx。y yp211 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结41 21 2当 AB x 轴时，有。| AF | BF |p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFBFp，成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：ykxp. 代入抛物线方程：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22kxp 22 px . 化简得：k 2 x

7、2p k 2p22xk 2014可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程（ 1）之二根为x1，x2，k 21xx2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111AFBFAA1BB11x1x2ppppp2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x1x2x1x2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2224x1x2px1x2p2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p22ppp.ApA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x242x1x2p42CC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

8、欢迎下载精品名师归纳总结3.求证：AC BA FBRt .KOFxBB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先证明： AMB Rt 【证法一】延长AM 交 BC 的延长线于E，如图 3，就 ADM ECM ， | AM | | EM |， | EC | | AD | | BE | | BC | | CE | | BC | | AD | | BF | | AF | | AB |yDAx1， y1MNORFxECBx2，y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只供学习与沟通图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 ABE 为等腰三角形，又M 是 AE 的中点， BM AE，即 AMB Rt【证法二】取AB 的中点 N，连结 MN ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| MN |1| AD | | BC | 212| AF | | BF |1| AB |， | MN | | AN | | BN | 2可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故AMB Rt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法三】由已知得Cppy， 2、D ， y1py1 y2，由此得M ，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y12y1 y22py122 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kAM 2y1 y2py2py1 y22 p2 y12 p2 p ，同理 ky1pBM y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 22 1 py1y1 2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品名师归纳总结 kAM kBMp p pp22 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y 1y2y1y2py可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BM AE，即 AMB Rt .DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法四】由已知得Cpy2、D py1，由此得 M 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结py1y2 ，221M2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，.22 py1 y2py2 y14 3ROFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MA x1 ，22， MB x3 ，CB22可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品名师归纳总结 ppy1 y2 y2 y1图 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MA MB x1 2 x2 2pp24y1 y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1x2 x1 x2244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p2p y2y2p2y2 y2 2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 1 2 2p2122p 4 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p2y1y2p2 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MA MB ，故

13、 AMB Rt .【证法五】由下面证得DFC 90 ，连结 FM ，就 FM DM .又 AD AF ，故 ADM AFM ，如图 4 1 2，同理 3 4只供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 31 180 902 AMB Rt.接着证

14、明： DFC Rt 【证法一】如图5，由于 | AD | | AF |， AD RF，故可设 AFD ADF DFR ，同理，设 BFC BCF CFR ， 而 AFD DFR BFC CFR 180 2 180 ，即 90 ，故 DFC 90yDAx1， y1ORxF p， 0 2C B x2， y2图 5y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法二】取CD 的中点 M ，即 M py1y2，22D1DAx1， y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p y 2 y2pG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由前知 kAM y1， kCF ppp y 1M

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 kAM kCF ， AM CF ，同理，BM DF DFC AMB 90 .ORHFxCB x2， y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法三】 p， y1， p， y2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DFDFCF p2CF图 6 y1y2 0ly可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DF CF ，故 DFC 90 .M1M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法四】 由于 | RF |2 p2 y1y2 | DR | RC |，即| DR | RF |可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品名师归纳总结| RF |，且 DRF FRC 90| RC | DRF FRC DFR RCF，而 RCF RFC90 DFR RFC 90 DFC 90OFxN1N图 7y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. C A 、C B 是抛物线的切线ppy21D1D A x1， y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法一】kAM ， AM 的直线方程为y y1xM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1只供学习与沟通y12pORFxC Bx2， y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

17、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -图 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除与抛物线方程y22px 联立消去x 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y yp y2y21，整理得y2 2yy y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y1 2p2p111可见 2y1 2 4y2 0，故直线 AM 与抛物线y2 2px 相切，同理 BM 也是抛物线的切线，

18、如图8.【证法二】由抛物线方程y2 2px，两边对x 求导， y2x 2pxx，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 2yy2p， ypy2 2px 在点 Ax1，y1处的切线的斜率为k 切 y | y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y1 p .y1xx y，故抛物线xp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结切线 .又 kAM y1， k 切 kAM ，即 AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法三】过点Ax，y 的切线方程为yypx x

19、，把 M p， y1 y2代入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1 y211y2 y1y2111222px1 p2p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边 y122pp22 px1 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边 p 2 x1 px1，左边右边，可见，过点A 的切线经过点M ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线 .y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. C A、C B 分别是 AAB 和 BBA 的平分线 .【证法一】 延长 AM 交 BC 的延长线于

20、E，如图 9，就 ADM ECM ，有 AD BC，AB BE， DAM AEB BAM ，即 AM 平分 DAB ，同理 BM 平分 CBA.E【证法二】由图9 可知只须证明直线AB 的倾斜角是直线 AM 的倾斜角的 2 倍即可， 即 2. 且 M p， y1 y2D A x1 ，y1 MNORFxCB x2，y2图 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22只供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

21、纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanky2 y1y2 y12p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB xyy212 x122y1 y2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y12p 2py1 y2py1 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan kAM 2y1 y2p2py1 y22 p2 y1p.2 p2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 22 y1 py1y11可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品名师归纳总结tan 2 2tan1 tan22p y11 py12p 2py12y2 p222py1 y2 y1y22p y1 y22 tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2，即 AM 平分 DAB ，同理 BM 平分 CBA.6. AC 、A F、y 轴三线共点，BC 、B F 、y 轴三线共点【证法一】如图10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，由以上证明知| AD | | AF |， AM 平分 DAF ，故 AG1 也是 DF 边上的中线， G1 是 DF 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 AD 与 y 轴交于点D 1， DF

23、 与 y 轴相交于点G2 ，易知， | DD 1 | | OF |， DD 1 OF ，故 DD 1G2 FOG 2 | DG 2 | | FG2 |，就 G2 也是 DF 的中点 . G1 与 G2 重合（设为点G），就AM 、DF 、y 轴三线共点，yD1DGMORHFAx1， y1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 BM 、CF 、y 轴也三线共点 .y2【证法二】 AM 的直线方程为y yp1CBx2， y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 y1x 2p，图 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 令 x0 得 AM 与 y 轴交

24、于点G10， y1 ，又 DF 的直线方程为y y1p2y1p x 2，令 x 0 得 DF 与 y 轴交于点G 0， 2 AM 、DF 与 y 轴的相交同一点G 0， y12 ，就 AM 、DF 、y 轴三线共点，同理 BM 、CF 、y 轴也三线共点H 由以上证明仍可以得四边形MHFG 是矩形 .只供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

25、- -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除7. A 、O、B三点共线， B 、O、A 三点共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法一】如图11， ky1 y1 2p，y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1OA x12y12pDA x1，y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2kOC 2y2 2py2 2py2 2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ppp2 2 y1y 2y1ORFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kOA kOC ，就 A、 O、 C

26、三点共线，同理 D 、O、B 三点也共线 .【证法二】设AC 与 x 轴交于点O ， AD RF BCC图 11Bx2，y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | RO | CO | BF | O F | CB | AD | | CA | | AB ， | AF | | AB |，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又| AD | | AF |， | BC | | BF |， | RO | AF | O F | AF |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | RO | | O F |，就 O 与 O 重合，即 C、O、A 三点共线，同理D、 O、 B 三

27、点也共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法三】设AC 与 x 轴交于点O ， RF BC，| O F | CB | AF | AB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | O F | CB | | AF | AB | BF | | AF | AF | | BF |111p 【见证】2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AF | BF | O 与 O 重合，就即C、 O、 A 三点共线，同理D、O、B 三点也共线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【证法四】 py2， y ，

28、x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OC p y 2，OAy2p y1py1y1y2y1py1p2y1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 x1 y2 21 2p y2 22p 22p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OC OA ，且都以O 为端点 A、O、C 三点共线，同理B、O、D 三点共线 .【推广】过定点 Pm， 0的直线与抛物线 y2 2px（ p 0）相交于点 A、B，过 A、B 两点分别作直线 l： x m 的垂线，垂足分别为 M、N，就 A、O、N 三点共线， B、O、M 三点也共线，如下图：只供学习与沟通可编辑资料 - -

29、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MAOPxNBMABNPOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m n8. 如| AF |： | BF | m ： n，点 A 在第一象限，为直线 AB 的倾斜角 . 就 cos m n 。【证明】如图14，过 A、B 分

30、别作准线l 的垂线，垂足分别为D， C，过 B 作 BE AD于 E，设 | AF | mt， | AF | nt，就| AD | | AF |， | BC | | BF |，| AE | | AD | | BC |m nty可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt ABE 中， cos BAE cos cos BAE mn.m n| AE | AB |mntm ntm nm nDEAROFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 6】设经过抛物线y2 2px 的焦点 F 的直线与抛物线相交于C两点 A、B，l且| AF |：| BF | 3：1，就直线 AB 的

31、倾斜角的大小为.【答案】 60 或 120 .B图 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 以 AF 为直径的圆与y 轴相切， 以 BF 为直径的圆与y 轴相切。 以 AB 为直径的圆与准线相切 ; A B为直径的圆与焦点弦AB 相切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yAAyAAyAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMCCCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OFxKOFxBBKOFxBB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【说明】如图15，设 E 是 AF 的中点，

32、p x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 E 的坐标为 22y1，2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就点 E 到 y 轴的距离为dpx1221| AF | 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故以 AF 为直径的圆与