7版线性代数课程电子版教材 .docx

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1、精品名师归纳总结考研线性代数电子讲义主讲：尤承业欢迎使用新东方在线电子教材教材说明：本电子教材 word 文档下面的页码跟教材完全一样，学员只需依据老师说的多少页找到相应的页面学习即可。这次授课老师没有完全依据讲义授课，请学员仔细做好笔记。请提前预习、仔细学习、准时复习，预祝广大考研学子考研胜利！可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一讲 基本概念1线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为：a11 x1a12 x2a 21 x1a 22 x2a1n xna2 n xnb1 ,b2 ,a m1 x1am 2 x2amn xnbm ,其中未知数的个数n 和方程式的个数 m 不必相等。

2、线性方程组的解是一个n 维向量k1, k2, kn 称为 解向量 ），它满意：当每个方程中的未知数 xi 都用 k i 替代时都成为等式。线性方程组的解的情形有三种：无解，唯独解，无穷多解。对线性方程组争论的主要问题有两个：时求通解。1）判定解的情形。 2）求解，特殊是在有无穷多解b1b2bm0的线性方程组称为齐次线性方程组。n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。因此齐次线性方程组解的情形只有两种：唯独解即只要零解）和无穷多解即有非零解）。把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0 ，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。2 矩阵和向量1 ）基本概念矩

3、阵和向量都是描写事物形状的数量形式的进展。由 mn 个数排列成的一个m 行 n 列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m矩阵。例如是一个 4a115 矩阵，对于上面的线性方程组，称矩阵a12a22a1na11Aa 21a 2n和A |a21a12a22a1na2nb1b2am1am2amnam1am2amnbmn 型21011111022542933318为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵表达了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系数矩阵就表达其全部信息。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个矩阵中的数称为它的元素，位于第i 行第 j 列的数称为元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，

4、通常就记作0 。i , j位元素。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个矩阵 A 和 B 相等 记作 A并且对应的元素都相等。B ） ,是指它的行数相等，列数也相等即它们的类型相同），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量，称这些数为它的重量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结书写中可用矩阵的形式来表示向量，例如重量依次是a1, a2 , an 的向量可表示成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1, a2 , an 或a1a2，可编辑资料 - - -

5、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an请留意，作为向量它们并没有区分，但是作为矩阵，它们不一样左边是 1n 矩阵，右边是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 矩阵）。习惯上把它们分别称为行向量和列向量。请留意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区分。）一个 mn 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量。每一列是一个m 维向量，称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它的列向量。经常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为1,2,n 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

6、欢迎下载精品名师归纳总结它们都是表示为列的形式！）可记A1 ,2 ,n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的很多概念也可对向量来规定，如元素全为0 的向量称为零向量，通常也记作0 。两个向量和相等 记作），是指它的维数相等，并且对应的重量都相等。2 ）线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的，下面以矩阵为例来说明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加减）法：两个m n 的矩阵 A 和 B 可以相加 减），得到的和差）仍是 mn 矩阵，记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB AB ，法就为对应元素相加减）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、名师归纳总结数乘：一个mn 的矩阵 A 与一个数 c 可以相乘，乘积仍为mn 的矩阵，记作 cA ，法就为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的每个元素乘 c 。这两种运算统称为线性运算，它们满意以下规律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 加法交换律：ABBA 。 加法结合律：ABCABC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 加乘安排律： c ABcAcB 。 cd AcAdA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 数乘结合律：c d A

8、cd A。 cA0c0 或 A0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转置：把一个 mn 的矩阵 A 行和列互换，得到的n m的矩阵称为 A 的转置，记作AT 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TA ）。 有以下规律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T ATA 。 ABATBT 。cA TcAT 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向量上，就意味着把这个向量看作矩阵了。当是列向量时，T 表示行向量，当是行向量时，T 表示列向量。可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结向 量 组 的 线 性 组 合 ： 设1 ,2 ,s 是 一 组 n 维 向 量 ，c1, c2 , cs是 一 组 数 ， 就 称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11c22css可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 1,2 ,s 的以 c1, c2, cs 为系数的）线性组合。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n维向量组的线性组合也是n 维向量。3 ） n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n 的

10、矩阵也经常叫做 n 阶矩阵。把 n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线。其上的元素行号与列号相等。） 下面列出几类常用的n 阶矩阵，它们都是考试大纲中要求把握的。对角矩阵：对角线外的元素都为0 的 n 阶矩阵。单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵，记作E 或 I ）。数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数c 的对角矩阵，它就是cE 。上三角矩阵：对角线下的元素都为0 的 n 阶矩阵。下三角矩阵：对角线上的元素都为0 的 n 阶矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T对称矩阵：满意An阶矩阵。A 矩阵。也就是对任何i, j,i , j位的元素和j ,i位的元素总是相等的

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T类似的，矩阵仍有三种初等列变换，大家可以仿照着写出它们，这里省略了。初等行变换与初等列变换统称初等变换。阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，假如满意：假如它有零行，就都显现在下面。假如它有非零行，就每个非零行的第一个非0 元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0 元素所在的位置称为台角。简洁阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵，特点为：台角位置的元素为1。并且其正上方的元素都为0。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简洁阶梯形矩阵。这种运算是在线性代数的各类运算题中

12、频繁运用的基本运算，必需非常娴熟。请留意： 1一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯独的，但是其非零行数和台角位置是确定的。2一个矩阵用初等行变换化得的简洁阶梯形矩阵是唯独的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组）。线性方程组的同解变换有三种：交换两个方程的上下位置。用一个非 0 的常数乘某个方程。把某个方程的倍数加到另一个方程上。以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。线性方程组求解的基本方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵

13、消元法。对非齐次线性方程组步骤如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ）写出方程组的增广矩阵A |，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ）用 B |判别解的情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如最下面的非零行为0,0,0 | d，就无解，否就有解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有解时看非零行数 r r 不会大于未知数个数n ）， rn 时唯独解

14、。 rn 时无穷多解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：当方程的个数m n 时，不行能唯独解。）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ）有唯独解时求解的初等变换法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结去掉 B |的零行，得到一个nn 1 矩阵B0 |0，并用初等行变换把它化为简洁阶梯形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 E |，就就是解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对齐次线性方程组：1 ）写出方程组的系数矩阵A ，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B 。可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ）用 B 判别解的情形：非零行数rn时只有零解： rn 时有非零解 求解方法在第五章可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结讲）。 推论：当方程的个数mn 时，有非零解。）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结争论题1. 设 A 是 n 阶矩阵，就A ） A 是上三角矩阵A 是阶梯形矩阵。B ） A 是上三角矩阵A 是阶梯形矩阵。C） A 是上三角矩阵A 是阶梯形矩阵。D ） A 是上三角矩阵与 A 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系。2. 以下命题中哪几个成立？1 ）假如 A 是阶梯形矩阵，就A 去掉任何一行仍是阶梯形矩阵。2 ）假如 A

16、是阶梯形矩阵，就A 去掉任何一列仍是阶梯形矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ）假如A | B是阶梯形矩阵，就A 也是阶梯形矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 ）假如A | B是阶梯形矩阵，就 B 也是阶梯形矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 ）假如A 是阶梯形矩阵，就A 和 B 都是阶梯形矩阵。B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次讲 行列式一概念复习1. 形式和意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形

17、式：用n 2 个数排列成的一个 n 行 n 列的表格，两边界以竖线，就成为一个n 阶行列式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12 a22a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如行列式的列向量组为1 ,2 ,n ，就此行列式可表示为1,2,n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品名师归纳总结意义：是一个算式，把这n 个元素依据肯定的法就进行运算，得到的数值称为这个行列式的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2值。请留意行列式和矩阵在形式上和意义上的区分。当两个行列式的值相等时，就可以在它们之间写等号！不必形式一样，甚至阶数可不同。） 每个 n 阶矩阵 A 对应一个 n 阶行列式，记作A 。行列式这一讲的核心问题是值的运算，以及判定一个行列式的值是否为0 。2. 定义 完全绽开式）2 阶和 3 阶行列式的运算公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12 a22a11a22a12 a21 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

19、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a31a12 a22a32a13 a23a33a11a22 a33a12 a23 a31a13 a21 a32a13 a22 a31a11 a23 a32a12 a21 a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的，一个 n 阶行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21a12 a22a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值是很多项的代数和

20、，每一项都是取自不同行，不同列的n 个元素的乘积，其一般形式为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 j12 j 2nj ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n这里把相乘的 n个元素依据行标的大小次序排列，它们的列标j 1 j 2j n 构成 1,2, n 的一个全可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结排列 称为一个 n 元排列），共有n. 个 n 元排列，每个n 元排列对应一项，因此共有n. 个项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所谓代数和是在

21、求总和时每项先要乘1 或 1 。规定j1 j 2jn 为全排列j 1 j 2j n 的逆序可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数意义见下面），就项1 j12 j2anj 所乘的是1j1 j2jn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象显现的个数。逆序数可如下运算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和就是逆序数。例如求436512 的逆序数：3 2 3 2 0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结436512,43651232320010 。可编辑资料 - - -

22、欢迎下载精品名师归纳总结至此我们可以写出 n 阶行列式的值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21an1a12 a22an 2a1n a 2na nn1j1 j2j nj1 j2jn1 j1a2 j2a njn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里j1 j2表示对全部 n 元排列求和，称此式为n 阶行列式的 完全绽开式 。jn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用完全绽开式求行列式的值一般来说工作量很大。只在有大量元素为0 ，使得只有少数项不为0 时，才可能用它作行列式的运算。例如对角行列式，

23、上下）三角行列式的值就等于主对角线 上的元素的乘积，由于其它项都为0 。3. 化零降阶法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij把 n 阶行列式的第 i 行和第 j 列划去后所得到的n1 阶行列式称为i , j位元素aij的余子式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 M ij 。称Aij1M ij为元素aij的代数余子式 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理对某一行或列的绽开）行列式的值等于该行列）的各元素与其代数余子式乘积之和。命题第三类初等变换 倍加变换）不转变行列式的值。化零降阶法用命题把行列

24、式的某一行或列化到只有一个元素不为0 ，再用定理，于是化为运算一个低 1 阶的行列式。化零降阶法是实际运算行列式的主要方法，因此应当娴熟把握。4. 其它性质行列式仍有以下性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 把行列式转置值不变，即ATA 。 某一行 列）的公因子可提出。于是，cAcn A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 对一行或一列可分解，即假如某个行列）向量，就原行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别是把原行列式的该行列）向量换为或 所得到的行列式。例如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,12 ,1 ,2 ,。可编辑资料 - - - 欢

25、迎下载精品名师归纳总结 把两个行 列）向量交换，行列式的值变号。 假如一个行 列）向量是另一个行 列）向量的倍数，就行列式的值为0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结某一行 列）的各元素与另一行列）的对应元素的代数余子式乘积之和0 。假如 A 与 B 都是方阵 不必同阶），就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A *A 00 B* BA B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结范德蒙行列式：形如1111a1a2a3an2222a1a 2a3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n in in

26、 in ia1a 2a3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的行列式 或其转置）。它由a1, a2 , a3 , an 所打算，它的值等于ji。ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此范德蒙行列式不等于0a1,a2 ,a3, an 两两不同。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于元素有规律的行列式包括 n阶行列式），经常可利用性质简化运算，例如直接化为三角行列式等。5. 克莱姆法就克莱姆法就应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n 即系数矩阵为 n 阶矩阵）的情形。此时，假如它的系数矩阵的行列式的值

27、不等于0 ，就方程组有唯独解，这个解为D1 / D, D2 / D, Dn / D ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里 D 是系数行列式的值，Di 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值。说明与改进：按法就给的公式求解运算量太大，没有有用价值。因此法就的主要意义在理论上，用在对解的唯独性的判定，而在这方面法就不够。法就的改进：系数行列式不等于0 是唯独解的充分必要条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实际上求解可用初等变换法：对增广矩阵A |作初等行变换，使得A 变为单位矩阵：可编辑资料

28、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A |E |，就是解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用在齐次方程组上：假如齐次方程组的系数矩阵A 是方阵，就它只有零解的充分必要条件是A0 。二典型例题1. 利用性质运算元素有规律的行列式2aaaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2例 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1234523451例 234512。4512351234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 31x111111x211111x3111。11x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结a0bc0acbbca0cb0a例 4。1aa00011aa00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 50011aa 011a0。96 四）a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00011a2. 测试概念与性质的题例 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多项式 fxx 3372 x21352 x13x3612，求 fx 的次数和最高次项的系数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x39例 7求x3a143x26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x80f x0bx122124的 x 和1xx3 的系数。可编辑资料 - -

30、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8设 4 阶矩阵 A, 1 ,2,3 ， B, 1,2 ,3 ， A2 ， B3 ，求 AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9已知行列式abcx1y1zx3 y2x10dz1 的代数余子式yz3A119 ， A123 ， A131 ， A143 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 x ， y ， z 。32例 10求行列式05040222700322的第四行各元素的余子式的和。01 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

31、归纳总结3. 几个 n阶行列式两类爪行列式及其值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2a3b1c20例 11 证明0b2c3an 1an0000ni 11b1i 1bi 1ai ci 1cn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000bn 1cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示：只用对第 1 行绽开 M 1i 都可直接求出）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12a0 b1a1a2c10an 1an00nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 b20c200a0

32、cii 1c1cii 11 ai bi ci 1cn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn000cn提示：只用对第 1 行绽开 M 1i 都可直接求出）。另一个常见的 n阶行列式：例 13证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abb0aabb0000000000a bbj1aabnan i bii 0a n 1ab n 1b当 ab 时）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示：把第 j 列行）的1倍加到第 1 列行）上 j2, n，再对第 1 列行）绽开。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

33、纳总结4. 关于克莱姆法就的题例 14设有方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x3abc,axbxcxa 2b 2c 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12bcx1acx 23abx33abc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ）证明此方程组有唯独解的充分必要条件为a, b, c 两两不等。2 ）在此情形求解。参考答案4例 1 24a 2a。例 2 1875 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3x1 x2x3 x4x2 x3x4x1 x3 x4x1x2 x4x1x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 ab c abc abc abc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 5 1aaa 3a4a 5 。可编辑资料 -