6春季学期《线性代数》学习指导 .docx

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1、精品名师归纳总结2006 年春季学期线性代数学习指导一、考试形式：闭卷二、参考书：课本，杨荫华版三、学习要点：1、基础学问在复习过程中，我们肯定要把教材中提到的基础学问复习一遍，把握每个关键学问点的含义。基本概念懂得不透彻，对解题会带来思维上的困难和纷乱因此对概念必需搞清它的内涵，仍要争论它的外延，要懂得正面的含义，仍要摸索、懂得概念的侧面、反面。例如关于矩阵的秩，教材中的定义是： A 是 sXn 矩阵，如 A 中有一个 r 阶子式不为零，全部 r 阶以上子式 假如它仍有的话 均为零，就称 A 的秩为 r ，记成 rankA=r 或rA r ，秩 A r 明显，定义中内涵的要点有：1 A 中至

2、少有一个 r 阶子式不为零。2 全部 r 阶以上均为零3 如全部 r+1子式都为零，就必有全部r 阶以上子式均为零要点 2 和 3 是等价条件，至于r 阶子式是否可以为零？小于r 阶的子式是否可以为零.全部 r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，假如这些概念搞清晰了。那么下述挑选题就会迎刃而解例 1 设 A 是 m n 矩阵， rA r ，就 A 中 A 至 少 有 一 个 r 阶 子 式 不 为 零 ， 没 有 等 于 零 的 r-1 阶 子 式 B 有 不 等 于 零 的 r 阶 子 式 ， 没 有 不 等 于 零 的 r+1 阶 子 式 C 有 等 于 零 的 r

3、阶 子 式 ， 没 有 不 等 于 零 的 r+1 阶 子 式 D 任 何 r 阶 子 式 不 等 于 零 ， 任 何 r+1 阶 子 式 都 等 于 零 答案： B基本方法要娴熟把握娴熟把握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在懂得的基础上适当记忆把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，肯定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决基本运算要娴熟学习数学，离不开运算，运算要娴熟，当然要做肯定数量的习题， 通过肯定数量的习题，把运算的基本功练扎实在练习过程中，自觉的提高运算才能，提高运算的精确性，养成良好的运算习惯和科学作风

4、特殊对线性代数而言，运算并不复 杂，大量的运算是大家早已娴熟了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中 行列式、矩阵、向量、方程组 绝大多数的运算是初等变换用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组 或矩阵 的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等可以想象，一旦初等变换过程中显现某个数值运算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试卷来看，每年需要通过运算得分的内容均在 70% 左右，可见运算才能培育的重要只听不练，只看不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情形，在历次考试中，不乏有教训惨痛的人可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

5、师归纳总结2 、活用概念线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交叉，学问前后紧密联系是线性代数课程的特点，所以我们应通过全面系统的复习，充分懂得概念，把握定理的条件、结论及应用，熟识符号的意义，把握各种运算规律、运算方法，并准时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的学问点串起来、连起来，使所学学问融会贯穿，实现一个“活”字五、学问要点第一部分 线性代数中的最基本概念基础比较好的考生可不必看这部分内容, 或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.1. 矩阵1基本概念矩阵是描写事物形状的数量形式的进展.由 m n 个数排列成的一个m行 n 列的表格 , 两边界以圆括号或方括号, 就成

6、为一个m n型矩阵 . 这些数称为它的元素 , 位于第 i 行第 j 列的数称为 i,j位元素 .元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵 , 通常就记作 0.两个矩阵A 和 B 相等 记作 A=B, 是指它的行数相等, 列数也相等 即它们的类型相同 ,并且对应的元素都相等. 2线性运算和转置加 减法: 两个 m n 的矩阵 A 和 B 可以相加 减, 得到的和 差仍是 m n 矩阵 , 记作A+B A- B, 法就为对应元素相加 减.数乘 :一个 m n 的矩阵 A 与应当数 c 可以相乘 , 乘积仍为 m n 的矩阵 , 记作 cA, 法就为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算, 它们满意

7、以下规律: 加法交换律 : A+B=B+A. 加法结合律 : A+B+C=A+ B+C. 加乘安排律 :c A+B=cA+cB.c+d A=cA+dA. 数乘结合律 : cdA=cd A. c A=0c=0 或 A=0.转置 : 把一个 m n 的矩阵 A 行和列互换 , 得到的 n m 的矩阵称为A 的转置 , 记作 AT 或A.有以下规律 :T T A =A.TTT A+B =A +B.TT c A =c A .3 n阶矩阵几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵, 行列数都为 n 的矩阵也经常叫做n 阶矩阵 . n 阶矩阵 A 的相应的行列式记作 | A|, 称为 A 的行列式 .把 n

8、 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线. 其上的运算行列号相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面列出几类常用的n 阶矩阵 , 它们但是考试大纲中要求把握的.对角矩阵 :主对角线外的的元素都为0 的 n 阶矩阵 .单位矩阵 :主对角线外的的元素都为1 的对角矩阵 , 记作 E 或 I .数量矩阵 :主对角线外的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵 , 它就是 cE.上 下三角矩阵 :主对角线下 上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 .T对称矩阵 : 满意 A =A 矩阵. 也就是对任何 i,j, i,j位的元素和 j ,i位的元素总是相等的 n 阶矩阵 .反对称矩阵 :

9、满意 AT=- A 矩阵. 也就是对任何 i,j, i,j位的元素和 j ,i位的元素之和总等于 0 的 n 阶矩阵 . 反对称矩阵对角线上的元素肯定都是0.4矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的 初等行变换 有以下三种 : 交换两行的上下位置 . 用一个非 0 的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上.类似的 ,矩阵仍有三种 初等列变换 , 大家可以仿照着写出它们, 这里省略了 .初等行变换与初等列变换统称 初等变换 .阶梯形矩阵 : 一个矩阵称为阶梯形矩阵, 假如满意 : 假如它有零行 , 就都显现在下面 . 每个非零行的第一个非0 元素所在的列号自上而下严格单调递增.频繁运用的基

10、本运算 , 必需非常娴熟 .2.向量1基本概念向量是另一种描述事物形状的数量形式.由 n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量 , 称这些数为它的 重量 .书写中可用矩阵的形式来表示向量, 例如重量依次是a1,a 2,a n 的向量可表示成a1a 1,a 2,a n或 a2,an请留意 , 作为向量它们并没有区分, 但是作为矩阵 , 它们不一样 左边是 1 n 矩阵, 右边 n 1是矩阵 . 习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 请留意它与矩阵的行向量和列向量的区分一个 m n 的矩阵的每一行是一个n 维向量 , 称为它的行向量。每一列是一个 m维向量 ,称为它的列向量. 经常用矩阵的列向量组

11、来写出矩阵, 例如当矩阵A 的列向量组为1,2,n 时 它们都是表示为列的形式. 可记 A=1,2,n.矩阵的很多概念也可对向量来规定2线性运算和线性组合, 如向量的相等, 零向量等等 . 这里从略 .向量也有加减法和数乘这两种线性运算述了 ., 并且也有完全一样的运算规律, 这里也不来复向量组的线性组合: 设,+c s1,2,s 为,s 是一组 n 维向量 , c 1,c 2,c s 是一组数 , 就称c11+ c 22+1,2,s 的 以 c 1,c 2,c s 为系数的 线性组合 . 它也是 n 维向量 .每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵. 这种运算是在线性代数的各类运算题中.3

12、线性方程组1基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组的一般形式为:a11x1+a12 x2+a 1nx n=b1, a21x 1+a22x 2+a 2n xn=b2,am1x 1+am2x 2+a mnxn=bm,其中未知数的个数n 和方程式的个数 m不必相等 . 分别称矩阵a11 a12a 1na11 a 12a 1nb1A= a 21a 22a 2n和 A|=a21 a 22a2nb2am1 a m2a mnam1 a m2a mnbm为方程组的 系数矩阵 和增广矩阵 .假如 b1=b2=bm=0, 就称为 齐次线性方程组. 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数

13、项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称 导出组.线性方程组的解是一个n 维向量 k 1,k 2,k n, 它满意 : 当每个方程中的未知数x i 都用ki 替代时都成为等式 .线性方程组的解的情形有三种: 无解 , 唯独解 , 无穷多解 .n 维零向量总是齐次线性方程组的解, 因此齐次线性方程组的解情形只有两种: 唯独解 即只要零解 和无穷多解 即有非零解 . 2同解变换与矩阵消元法线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非 0 的常数乘某个方程. 把某方程的倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组的基本

14、求解方法是消元法, 用增广矩阵或系数矩阵来进行, 称为 矩阵消元法 : 写出方程组的增广矩阵 对齐次方程组用系数矩阵, 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵, 再写出所代表的阶梯形方程组 它是原方程组的同解方程组, 用它求解 .其次部分 行列式1. 形式和意义2形式 : 用 n 个数排列成的一个n 行 n 列的表格 , 两边界以竖线 , 就成为一个 n 阶行列式 .假如行列式的列向量组为1,2,n, 就此行列式可表示为 |1 ,2,n|.2意义 : 是一个算式 , 把 n 个元素依据肯定的法就进行运算, 得到的数值称为这个行列式的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同.请留意行列式和

15、矩阵在形式和意义上的区分.当两个行列式的值相等时, 就可以在它们之间写等号. 不必形式一样 , 甚至阶数可不每个 n 阶矩阵 A 对应一个 n 阶行列式 , 记作 | A|.2. 定义 完全绽开式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 阶和 3 阶行列式的运算公式 :a 11 a 12a21 a 22= a 11a22-a 12a21 .a11 a 12 a 13a21 a 22 a 23= a 11a22a33 + a 12a23 a31 + a 13a21a32-a 13a22a31- a 11a23a32+ a 12a21a33. a31 a 32 a 33一般的 , 一个

16、 n 阶行列式a11 a 12a 1na21 a 22a 2nan1 a n2a nn的值是很多项的代数和, 每一项都是取自不同行, 不同列的n 个元素的乘积 , 其一般形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12为: a1 j a2 janj, 这里把相乘的 n 个元素依据行标的大小次序排列, 它们的列标 j 1j 2j n 构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n成 1,2,n 的一个全排列 称为一个 n 元排列 , 一共有 n. 个 n 元排列 , 每个 n 元排列对应一项 , 因此共有 n. 个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1 或-1. 规定 j 1 j

17、 2j n为全排列j 1j 2j n 的逆序数 即 小 数 排 列 在 大 数 后 面 的 现 象 出 现 的 个 数 , 例 如 6元 排 列 231645有 4个 逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结序:21,31,64,65,因此231645=4, 就所乘的是 1 j1 j2jn .于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a 12a 1na21 a 22a 2n=2nj1 j2 1jn j1 j 2ajn 1 j1a2 janj .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品名师归纳总结这里j1 j2an1 a n2a nn表示对全部 n 元排列求和 . 称上式为 n 阶行列式的 完全绽开式 .jn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 性质行列式有以下性质:T 把行列式转置值不变 , 即| A |=| A| . 某一行 列 的公因子可提出 . 对一行或一列可分解, 即假如某个行 列向量就原行列式等于两个行列式之和, 这两个行列式分别是把原行列式的该行 列向量换为 或 所得到的行列式 把两个行 列向量交换 ,行列式的值变号 .假如一个行 列向量是另一个行 列向量的倍数 , 就行列式的值为 0. 假如把一个行 列向量的倍数加到另一个行 列向量上

19、 , 就行列式的值不变 .把 n 阶行列式的第 i行和第 j列划去后所得到的n-1 阶行列式称为 i,j位元素 aij 的余子式 , 记作 Mij . 称 Aij =-1 i+j Mij 为 aij 的代数余子式 . 行列式可对某一行 列绽开 , 即行列式的值等于该行 列的各元素与其代数余子式乘积之和 . 某一行 列 的各元素与另一行 列的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 假如 A 与 B 都是方阵 不必同阶 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A *=A O =| A|+| B|.OB*B范德蒙行列式 :形如1111a1a2a 3a n1a23na 2 a22a2可编辑资

20、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n-ia1n-ia 2n-ia 3n-ia n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的行列式 或其转置 . 它由 a1,a 2 ,a 3,a n 所打算 , 它的值等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a jijai .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此范德蒙行列式不等于0a 1,a 2 ,a 3,a n 两两不同 .4. 运算行列式的核心问题是值的运算.1 用完全绽开式求行列式的值一般来说工作量很大. 只在有大量元素为0, 使得只有少数项不为 0 时, 才可能用它作行列式的运算. 例如对角行列式 , 上 下三角

21、行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积, 由于其它项都为 0.2 化零降阶法 : 取定一行 列, 先用性质把这行 列的元素消到只有一个或很少几个不为 0, 再用 , 对这行 列绽开. 例如设 4 阶行列式1 1 1 1D= -2 x 3 1,2 2 x 43 3 4 x取第 1 行, 把第 2,3,4行各减去第一行 , 得到1 00 0x+2 5 3x-2 2D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =x+2 1 x-3 =x+2x-2x-3-2=x+2x-1x-4.2 0 x-2 20 1 x-33 0 1 x-33 利用性质简化运算 , 主要应用于元素有规律的行列式 , 包括 n 阶

22、行列式 .5. 克莱姆法就克莱姆法就 当线性方程组的方程个数等于未知数个数 n 即系数矩阵为 n 阶矩阵 时, 假如它的系数行列式不等于 0, 就方程组有唯独解 , 这个解为 D1/D, D 2/D, ,D n/D, 这里 D 是系数行列式的值 , D i 是把系数行列式的第 i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值 .两点说明 : 按法就给的公式来求解运算量太大，没有有用价值 . 因此法就的主要意义在理论上 . 实际求解方法 : 对增广矩阵 A| 作初等行变换 , 使得 A 变为单位矩阵 , 此时 变为解 . 法就的改进 , 事实上系数行列式不等于 0 是唯独解的充分必要条件 .练习题一

23、 1运算行列式12 a a a aa 2 a a a6 / 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a a 2 a a a a a 2 aa a a a 2 .2 149 1691625 36162536 49 .0000 b2 a0 b101 0ba 2 020c 000 d.0cd10 d 21 0c2.049 16 252. 1a3.运算 n 阶行列式1 1 2 3 n-1 n-1 2 3 n-1 n-12 3 n-1 n-12 3 1-n n21 -2 -2 -2 -23123 n4 1 a10 002 2 -2 -2 -2212 n-1-1 1-a1 a 2 002 23

24、 -2 -2 321 n-20 -1 1-a2 002 22 2nn n-1 n-2 1 0 00 -1 1-an 4.设 4 阶矩阵 A=,1,2 ,3, B=,1,2 ,3,| A| =2, |B|=3 ,求| A+B| .5.一个三阶行列式的值为8，它的其次行的元素是1， 2，a，它们的余子式依次为A21=2， A22=-1 ， A23=1，就 a =.36.x-3 1 -3 2x+2多项式 fx= -75 -2x1，求 fx 的次数，最高次项的系数和常数项.X+3 -1 33x2-239x6-67.x-2x-1x-2x-3求多项式 fx= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3的次数

25、.3x-3 3x-2 4x-5 3x-54x 4x-3 5x-7 4x-38. 已知 x-3 a -1 4fx= 5 x-8 02的根为 x 1, x 2, x 3, x 4, 求 x 1+x2+x3+x4.0b x+1 1221 x-19. 求行列式0 1 0 0 0的全部代数余子式的和. 0 0 2-10 00 0 0 3 07 / 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-10 0 0 0 n-1-1n0 0 0 010. abcd已知行列式x -1 -y z+1的代数余子式 A11=-9,A 12=3,A 13 =-1,A 14=3, 求 x,y,z.1 -z x+3 yy

26、-2 x+1 0 z+3参考答案41.1把各列都加到第 1 列上 , 提出公因子 .得4a+2a-2. 2自下而上 , 各行减去上一行 作两次 . 得 0.2. 用换行 列的方法 . 得1 ad-bc|B|.3 a1c 2- a 2c 1b 1d2-b 2d1.3. 1提示：把第一行加到其它各行得2n-1 n.2第 3 到 n 行各减其次行得n+2./4n-1n-23提示：自下而上各行减去上行得-12n+14提示：从第 2 行起，自上而下各行加上行得1 4.得 40.5.得 8.6.最高次只显现在下面划线的4 个元素的乘积一项中 , 常数项即 f0.得 9 ,6, 0. 7. 2.8. 提示

27、: 利用特点值的性质. 得 10.n-19.提示 : 利用相伴矩阵 . 得 -1n+1/2n-1.10.x=0,y=3,z=-1.第三部分 线性方程组1. 线性方程组的形式线性方程组除了通常的写法外, 仍常用两种简化形式： 矩阵式AX= ， 齐次方程组 AX=0.向量式 x 11+ x 22+,+x ss =， 齐次方程组 x 11+ x 22+,+x ss =0.2. 线性方程组解的性质1齐次方程组 AX=0假如 1,2,s 是齐次方程组AX=0 的一组解 , 就它们的任何线性组合c 1 1+ c 22+ c ss 也都是解 .2非齐次方程组AX= 0假如 1,2,s 是 AX= 的一组解

28、, 就 它们的线性组合c11+ c 22+css 也是 AX= 解的c 1+ c 2+c s =1. 它们的线性组合c11+ c 22+css 是 AX= 的解c 1+ c 2+c s=0.假如 0 是 AX= 的一组解 , 就 n 维向量 n是未知数的个数 也是解-0 是导出齐次方程组 AX= 的解.是 0 和 AX= 的一个解的和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 线性方程组解的情形的判别对于方程组 AX= , 判别其解的情形用三个数: 未知数个数 n,rA,r A|. 无解r A. 有唯独解r A=r A|=n.当 A 是方阵时 , 就推出克莱姆法就. 有无穷多解r

29、 A=r A|和 r A|的上限 , 因此当 r A=m时, AX= 肯定有解 .当 m.有非零解rA=n.推论当 A 的秩等于列数n 时,A 在矩阵乘法中有左消去律:AB=B=AB=ACB=C4. 齐次方程组基础解系线性方程组的通解1齐次方程组基础解系假如齐次方程组AX= 有非零解 , 就它的解集 全部解的集合 是无穷集 , 称解集的每个极大无关组为 AX= 的基础解系 .于是 ,当 1,2,s 是 AX= 的基础解系时 , 向量 是 AX= 的解可用 1,2,s线性表示 .定理 设 AX= 有 n 个未知数 , 就它的解集的秩 即基础解系中包含解的个数等于 n-rA.于是 , 判别一组向量

30、1,2,s 是 AX= 的基础解系的条件为 1 ,2,s 是 AX= 的一组解 . 1 ,2,s 线性无关 . s=n-rA.2线性方程组的通解假如 1,2,s 是齐次方程组AX= 的基础解系 , 就 AX= 的通解 一般解 为c 1 1 + c 22+ c ss ,其中 c 1 c2,c s 可取任何常数 .假如 0 是非齐次方程组AX= 的解,1,2,s 是导出组 AX= 的基础解系 , 就 AX= 的通解 一般解 为0+c 1 1+ c22+ c ss,其中 c1 c 2,c s 可取任何常数 .练习题四1. 求齐次方程组的基础解系和通解: 3x1+2x2 x 3+3x 4+5x 5=0

31、，6x1+4x23x3+5x 4+7x5 =0，9x1 +6x25x3+7x 4+9x5=0，3x1+2x2+4x 4+8x 5=0.2. 已知方程组x1+x2 2x3+3x4=1，x 1+3x2x 3+x4=3，3x1-x 2k 1x 3+15x4=3，x1-5x 2-10x 3+x 4=k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有有无穷多个解 , 求 k 1,k 2 的值 , 并求此方程组的通解 . 3.x 1+kx 2 2x3=1，已知方程组x 1-x 2kx 3= ，有无穷多个解 , 求 k 的值, 并求此方程组的通解 .-5x1+5x2+4x 3= 14.x1+2x2-x

32、3+x4 =0,已知齐次方程组x2+px3+x4=0,的基础解系含两个解 , 求 p,q的值和方程组的通解 .2x1+3x2-x 3+qx4=025.1+ax1+ x 2+x 3=3a+a ,23a为何值时 , 线性方程组 x 1+1+ax 2+x3=3a +a ,有无穷多解 . 写出通解 .34x1+x2+1+ax 3=3a +a6.1 1 1 11设=2 1 0 4， =a 已知线性方程组X有解 求 a,b,并写出通解 .0635 4 3 -1b7.x1+x 2+x3=0,已知齐次线性方程组x 1+2x2+px 3=0,有非零解 , 就 p=.2x1+4x2+p x 3=08. 设 是 m

33、 n 矩阵 , 它的列向量组为1,2 , ,n, 就A假如非齐次方程组X=有唯独解 , 就 m=n,并且 | 不为 0. B假如1,2 , ,n 线性相关 , 就非齐次方程组X = 有无穷多解 . C总存在 m维向量, 使得方程组X = 有无解 .D假如 X = 有唯独解 ,就 m n. 1 2 39. 设 Q= 2 4 t，矩阵 P 0 ，使得 PQ=0 ，就 3 6 9A 当 t=6 时， r P=1。 B当 t=6 时， r P=2。C 当 t6 时， r P=1。 D当 t6 时， r P=210. 设 1, 2, 3 是齐次方程组X=0 的一个基础解系，就 也是 X=0 的基础解系

34、. A 1- 3, 2- 1, 3 - 2.B 1, 2- 3.C 1+ 2, 2- 3, 1+ 2+ 3.D 1+ 2, 2+3, 3+ 1, 1+ 2+ 3 .11. 设 ,是 元非齐次线性方程组AX=的三个无关线性的解，已知r A=1,就 A,是 X =0 的基础解系 .,B c-2是 X =0 的通解 .C c 1+c 2+c3c 1+c2+c3=0 是 X =0 的通解 . D,是 X=0 的基础解系 .12. 设 是 m n 矩阵 , 非齐次方程组X=有无穷多解 , 就 正确 .A13.X=O有非零解 .B m设 是 m n 矩阵， rn.C n=n-2 ，m .D m=n并且 |

35、=0.1,2,3 是非齐次方程组X=的三个不同解，就A1,2, 3 线性相关B1-2,2- 3 是齐次方程组X=的基础解系 .C 当1,2,3 线性无关时 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1 1+k2 2+k3 3，其中 k 1,k 2,k 3 是满意 k1+k2+k3=1 的任何数 .是X=的通解D1, 2, 3 的任何线性组合都是X =的解 .14设 1,2,3,4 是非齐次方程组X=的四个不同解，并且a 1+ 2-b3+2 4 也是 X=的解，1-2b 2 +a 3-34 是 X=的解，就 a=，b=.15. 已知 1 0,1,0和 2=-3,2,2都是方程组x1-

36、x 2 +2x3=-1,3x1+x2+4x 3=1,ax1+bx 2+cx3=d的解 , 求通解 .16. 设 和 是两个四元齐次线性方程组， 为 x 1 +x 2=0 ，x 3-x 4 =0 ， 有一个基础解系 0 ，1 ，1 ，0 ， -1 ， 2 ， 2 ， 1 求 和 的全部公共解17. 设 和 是两个四元齐次线性方程组， 是将它们合并而得到的方程组已知1 ， 0 ,1,1,-1,0,1,0,0,1,1,0是 的一个基础解系 ,0,1,0,1,1， 1， -1 ， 0是 的一个基础解系求 的通解18. 已知方程组x1+2x 2- x 3+ x 4=mx1+3x3=-2 3x1+nx 2

37、+3x 3+2x 4=-11 x2-2x 3=52x1+2x 2+px3+ x 4=-4x4=-10同解，求 m， n， p19. 设 B 是 3 阶非零矩阵，它的每个列向量都是方程组x1+2x2-2x 3=02x1- x 2+kx 3=03x1 +x2 -x 3=0的解求 k，并证明 | B|=0 20. 设 是有 n 个未知数的非齐次线性方程组，系数矩阵的秩为s，证明：假如 有解，就 有 n-s+1 个线性无关的解 . 的任意 n-s+2 个解都线性相关21. 设 A 是 m n 实矩阵证明T rA A=r A。 rA=nATA 可逆22. 证明 n 元非齐次线性方程组AX=有解ATY=0

38、 的解都适方程TY=0. 23.x1+x2+ x 3-x 4=13， 3x1+mx2+3x3+2x4=h，已知线性方程组 Ix2-4x 3+x4=0, 的解都满意方程组IIx1+nx 2- x 3+ x 4=k，x1-x 2 +5x3=-7求 m,n,h,k,并求 II的一般解 .24 设 1=1,a,2,-1,2=1,3,a,1,3 =1,2,3,1,4=3,6,7,-1,5=1,1,3,-1,已 知1,2,3,4 线性相关 ,5 可用 1,2,3,4 线性表示 , 求 a, 并写出 5 用 1,2,3,4 线性表示的一般表示式 .25设线性方程组I 与II有公共的非零解 , 其中 I 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x1+5x2+2x 3-4x 4=0,x1+x2 + x 3+x4=0，x 1+tx 2+2x3=0II有基础解系 1=1,-1, 1,0, 2=-2p,p,1,1,求 p,t的值和全部公共解.参考答案7. p=1或 2.8.C.1 2 39 设 Q= 2 4 t，矩阵 P 0 ，使得 PQ=0 ，就 3 6 91 当 t=6 时， r P=1。 2 当 t=6 时， r P=2。 3