3三节二重积分的计算 .docx

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1、精品名师归纳总结第三节二重积分的运算 2有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简洁，如圆形或扇形区域的边界等 .此时，假如该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简洁的形式，就应考虑用极坐标来运算这个二重积分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布图示例1 利用极坐标系运算二重积分 二重积分化为二次积分 例 2 例3 例4 例 5 例6 例7 例 8 例9 例10 平面薄片的重心 例11 平面薄片的转动惯量 例12 例13 平面薄片对质点的引力 例14 一般曲线坐标系中二重积分的运算 例 15 例16 例17 内容小结 课堂练习 习题 9-3 返回可编辑资料 -

2、- - 欢迎下载精品名师归纳总结内容要点一、 在极坐标系下二重积分的运算极坐标系下的面积微元，直角坐标与极坐标之间的转换关系为从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式3.1二、 二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量三、 在一般曲线坐标系中二重积分的运算二重积分的一般换元分式.例题选讲在极坐标系下二重积分的运算例 1 E01运算其中是由圆所围成的区域 .解 如图，在极坐标系下，积分区域的积分限为于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 运算二重积分其中是由所确定的圆域 .解如图 见系统演示 ，区域在极坐标下可表示为故例 3 E02运算, 其中积分区域是由所确

3、定的圆环域 .解由对称性，可只考虑第一象限部分,留意到被积函数也有对称性,就有例 4 E03运算, 其中 D是由曲线所围成的平面区域.解积分区域是以点 1,0为圆心，以 1为半径的圆域，如图 .其边界曲线的极坐标方程为于是区域的积分限为所以例 5 E04写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域解利用极坐标变换易见直线方程的极坐标形式为故积分区域的积分限为所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6运算,其中为由圆及直线所围成的平面闭区域.解所以例7将二重积分化为极坐标形式的二次积分,其中是曲线及直线所围成上半平面的区域.解如图，令就的边界的极坐标方程分别变为及例 8 E05求曲

4、线和所围成区域的面积 .解依据对称性有在极坐标系下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由得交点故所求面积例 9 E06求球体被圆柱面所截得的 含在圆柱面内的部分 立体的体积 .解如图，由对称性，有其中为半圆周及 轴所围成的闭区域.在极坐标中，积分区域例 10 E07 运算概率积分解记其平方于是依据例 1的结果 ,即有令并利用夹逼定理 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求概率积分二重积分的应用例 11 E08求位于两圆和之间的匀称薄片的重心设一匀称的直角三角形薄板的长和宽分别为和,运算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解先求形心区域面积由于

5、矩形板匀称，由对称性知形心坐标将坐标系平移如图，对轴的转动惯量同理，对轴的转动惯量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例14求面密度为常量、半径为的匀称圆形薄片：对位于轴上的点处的单位质点的引力解 由积分区域的对称性知故所求引力为在一般曲线坐标系中二重积分的运算例 15 E10求椭球体的体积 .解由对称性知，所求体积为其中积分区域：令称其为广义极坐标变换,就区域的积分限为又于是特殊的，当时，就得到球体的体积为例 16 运算其中由 轴、轴和直线所围成的闭区域 .解令就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区域且所以例 17 E11 求曲线所围平面图形的面积 .解假如在直角坐标下运算，需要求曲线的交点,并画出平面图形，仍需将积分区域分割成几块小区域来运算面积，很麻烦，现在可奇妙的作曲线坐标变换.作变换就有由于及由第 8章第五节知从而有于是 ，注:题中利用函数组与反函数组之间偏导数的关系式来求防止了从原函数组直接解出反函数组的困难.但在简洁情形下，也可以直接解出来直接运算之.课堂练习1. 运算其中.2. 设半径为 1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,求此半圆的重心坐标及关于x轴直径边 的转动惯量 .3. 运算重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是由直线和其中所围成 .可编辑资料 - - - 欢迎下载