抽象函数的对称性奇偶性与周期性总结及习题.docx

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1、精品名师归纳总结抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一. 概念:抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数 , 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值, 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点 , 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰 富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能1、周期函数的定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 fx定义域内的每一个x ,都存在非零常数 T ,使得f xT f

2、 x 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称函数f x具有周期性, T 叫做f x的一个周期, 就 kT（ kZ, k0 ）也是f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的周期,全部周期中的最小正数叫f x的最小正周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分段函数的周期： 设 yf x 是周期函数,在任意一个周期内的图像为C: yf x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

3、 欢迎下载精品名师归纳总结xa,b ,Tba。把 yf x沿x轴平移 KTK ba 个单位即按向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结akT ,0平移,即得 yf x 在其他周期的图像：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf xkT , xkTa, kTb 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x f xkTxa,bxkTa,kTb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、奇偶函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 yf x, xa,b 或xb, aa, b可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xf x, 就称yf x为奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xf x就称 yf x为偶函数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1） ）中心对称即点对称：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 Ax,y与B2ax,2by关于点a, b对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 点Aax,by与B ax, by关于 a,b对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数yf x与2byf 2 ax关于点a,b成中心对称。可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品名师归纳总结 函数byf ax与byf ax关于点 a,b成中心对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数F（ x, y0与F 2ax,2by0关于点 a,b成中心对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）轴对称：对称轴方程为： AxByC0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/ 点A x, y与B x , y B x2 A AxA 2ByC , y B 22 B AxA 2ByC B 2关 于直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 AxByC0成轴对称。可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x与y2B AxA 2ByC B 2f x2 A AxA2ByC B 2关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxByC0 成轴对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F x, y0与F x2A AxA2ByC , y B22B AxA2ByC B 20 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxByC0 成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yf x 图象本身的对称性（自身对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如

7、f xaf xb ,就f x 具有周期性。 如f axf bx ,就f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结具有对称性：“内同表示周期性,内反表示对称性 ”。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 f axf bxyf x 图象关于直线x axbx 2ab 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1：f axf axyf x 的图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2、f xf 2 axyf x 的图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线 xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 f axf bx2cyf x 的图象关于点 ab , c 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点a,b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点a,

9、 b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3、 f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二） 两个函数的图象对称性 （相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、偶函数 yf x 与 yf x 图象关于 Y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、奇函数 yf x 与 yf x 图象关于原点对称函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

10、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13、函数 yf x 与yf x 图象关于 X 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、互为反函数 yf x 与函数 yf x 图象关于直线 yx 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 函数 yf ax 与 yf bx 图象关于直线 xba 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1: 函数 yf ax 与 yf ax 图象关于直线x =

11、a对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2: 函数 yf x 与 yf 2ax图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3: 函数 yf x 与 yf 2ax 图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x（2）f2a x fx（3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx关于点（ a,0）中心对称,就以下三个式子

12、成立且等价：（ 1） fa x fa x （ 2） f2a x fx （3）f2a x f x易知, yfx为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg xfgx,就复数函数 yfgx为偶函数。定义 2、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg x fgx,就复合函数 yfgx为奇函数。说明：（ 1）复数函数 fgx为偶函数, 就 fgx fgx而不是 fgxfgx,复合函数 yfgx为奇函数,就 fg x fgx而不是 f gx fgx。（2） ）两个特例： yfx a 为偶函数,就 fx a f x

13、a 。yfx a 为奇函数,就 f x a fa x（3） ）yfx a 为偶（或奇）函数,等价于单层函数yfx关于直线 x a 轴对称（或关于点（ a,0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称4、函数的周期性如 a 是非零常数,如对于函数 yfx 定义域内的任一变量 x 点有以下条件之一成立,就函数

14、 yfx是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期。fx a fx a fx a fxfx a 1/fxfx a 1/fx 5、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T 2|a b|性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a, 0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T 4|a b|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、函数对称性的应用可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品名师归纳总结（ 1）如 yf x关于点（h, k对称,就 xx/2h, yy /2k , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x / f xf 2hx2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1f x2f xn f 2hxn f 2hxn 1 f 2 hx1 2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）例题a x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 fxxa关于点（a, ）对称：22f xf 1x1;可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x4 x12 x 12 x1关于（ 0,1）对称：f xf x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 x1R, x0关于（11, ）对称：2 2f（xf 1 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、奇函数的图像关于原点（0, 0）对称：f xf x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、 如f xf 2ax或f

17、axf ax, 就yf x的 图 像 关 于 直 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa 对称。设f x0有n个不同的实数根,就x1x2xnx12ax1x22ax2 xn22axn 2na .当n2k1时,必有x12ax1,x1a（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 f xT f x T0 yf x 的周期为 T , kT kZ 也是函数的周可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结期2、 f xaf xbyf x 的周期为 Tba可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 f xaf xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 f xa1f xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 f xa1f xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、 f xa1f x1f xyf x 的周期为T3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、

19、f xa1f x1yf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、 f xa1f x1f xyf x 的周期为T4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、 f x2af xaf xyf x 的周期为T6a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、如 p0, f pxf pxp ,就Tp .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、 yf

20、 x 有两条对称轴 xa 和 xb bayf x周期 T2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：偶函数 yf x 满意f axf axyf x周期 T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 、 yf x有 两 个 对 称 中 心a,0和 b,0bayf x周 期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：奇函数 yf x 满意f axf axyf x周期 T4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13 、 yf x有 一 条 对 称 轴 xa 和 一 个 对 称 中 心b,0baf x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T4ba四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型敏捷应用函数 奇偶性、 周期性与对称性 ,可奇妙的解答某些数学问题,它对训练同学分析问题与解决问题的才能有重要作用. 下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1（.1996 年高考题） 设f x 是 , 上的奇函数,f 2xf x, 当 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

22、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, f xx ,就f 7.5 等于（ -0.5 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 0.5;（ B）-0.5;（ C） 1.5;（ D）-1.5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 （ 1989 年北京市中同学数学竞赛题）已知f x 是定义在实数集上的函数,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 1f x1f x ,f 123, 求f 1989 的值 .f 198932 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、比较函数

23、值大小1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 如f x xR 是以 2 为周期的偶函数,当x0,1 时,f xx1998 , 试比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结98f 、19101f 、17f 10415 的大小 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：fx xR 是以 2 为周期的偶函数,又f xx1998 在0,1上是增函数,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0116141,f 1 f 16f 14,即f 101f 98104f.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

24、纳总结171915171915171915可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、求函数解析式例 4. （ 1989 年高考题）设f x是定义在区间, 上且以 2 为周期的函数,对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kZ ,用 I k 表示区间 2k1,2k1) , 已知当 xI 0 时, fxx2 . 求f x在 I k 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 x2k1,2k1,2 k1x2k11x2 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

25、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xI 0 时,有f xx2 ,由 1x2k1得f x2k x2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 是以 2 为周期的函数,f x2kf x,f xx2k 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5设f x是定义在 , 上以 2 为周期的周期函数,且f x是偶函数,在区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间 2,3 上,f x2x324.求

26、x1,2 时,f x 的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：当 x3, 2 ,即x2,3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x2x3 242 x3 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f x 是以 2 为周期的周期函数,于是当x1,2 ,即3x42 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2有f xf x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 x43

27、42x1 241x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2x1 241x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、判定函数奇偶性例 6. 已知 f x 的周期为 4,且等式f 2xf 2x 对任意 xR均成立,判定函数f x 的奇偶性 .解：由 f x 的周期为 4,得 f xf 4x,由 f 2xf 2x 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 4x ,f xf x, 故f x为偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、确定函数图象与 x 轴交点的个数可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. 设函数f x 对任意实数 x 满意f 2xf 2x ,f 7x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 7x且f00, 判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由题设知函数f x图象关于直线x2 和 x7 对称,又由函数的性质得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0,10 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 00, f 4f 22f 22

29、f 00且f x不能恒为零 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而区间30,30有 6 个周期,故在闭区间30,30上 f x 图象与 x 轴至少有 13 个交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点.6、在数列中的应用1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8. 在数列an中, a13, ann1an 12) ,求数列的通项公式,并运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

30、 欢迎下载精品名师归纳总结a1a5a 9a1997 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题的思路与例2 思路类似 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 a1tg,就 a 21a11a11tg1tgtg 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a231a21tg 41tg 4tg 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1tg n14,于是an1an 11an 1tg n14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不难用归纳法证明数列的通项为：antgn44 ,且以 4 为周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有 1,5, 9 1997 是以 4 为公差的等差数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a5a9a