数列题型及解题方法归纳总结材料 .docx

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1、精品名师归纳总结学问框架数列的分类能在高考中顺当的解决数列问题。一、典型题的技巧解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列数列的通项公式函数角度懂得的概念数列的递推关系1、求通项公式（ 1）观看法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列的定义anan 1d n2差数列或等比数列问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式ana1Snn n a1a1) dn na1nn1) d(1) 递推式为 an+1=an+d 及 a

2、n+1=qan（d, q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1。求 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 1、解an+1-a n =2 为常数 a n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列的性质anama paq mnpq an=1+2（ n-1 ） 即 an=2n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个基等比数列的定义anq n2例 2、已知 a 满意 a1a ,而 a2 ,求a =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本数列an等比数列的通项公式1

3、aa qn 1nn 1n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列数列n1a1an qa1 1qn q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列的求和公式Sn1q1qna1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式法 分组求和错位相减求和等比数列的性质an amap aq mnpq（ 2） 递推式为 an+1=an+f （n）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列裂项求和例 3、已知 a 中 a1, aa1,求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明n解： 由已知可知1n 12

4、an 1an2nn4n21n11111 2n122n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的应用分期付款其他令 n=1, 2,（ n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1） +（ a3-a 2） +（ an-a n-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把握了数列的基本学问, 特殊是等差、等比数列的定义、 通项公式、求和公式及性质, 把握了典型题型的解法和数学思想法的应用, 就有可文档大全可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana111122 n14n34n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 说明只要和f （

5、 1） +f （ 2） + +f （ n-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1,2,（ n-1 ）代入,可得 n-1 个等式累加而求 an。3 递推式为 an+1=pan+q（ p, q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、 an 中,a11 ,对于 n1（ n N）有 an3an 12 ,求an .5 递推式为an 2pan 1qan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2,an=3an-1 +2。两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）n-1n-1n-1因此数列 a

6、n+1-a n 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a 1=（ 3 1+2）-1=4思路：设apaqa , 可以变形为： aaaa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n+1na-a=4 3 a=3a +2 3a+2-a=43即 a=23-1n 2n 1nn 2n 1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n+1nnnn解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有： a2-a 1=4,a3-a 2=43,2n-2a4-a 3 =4 3 , an-a n-1 =4 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把n-1个等式累加

7、得： an=2 3n-1-14 递推式为 an+1=p a n+q n （ p, q 为常数）想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列,就转化为前面的类型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 1bn2 bn3bn 1由 上 题 的 解 法 , 得 ： bn2 n323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abnn2 n3 1 n22 1 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列求和的常用方法：1、拆项分组法 ：即把每一项拆成几项,重新组合分

8、成几组,转化为特殊数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、错项相减法 ：适用于差比数列（假如an 等差,bn 等比,那么anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 递推式为 Sn 与 an 的关系式叫做差比数列） 即把每一项都乘以bn 的公比 q ,向后错一项,再对应同次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）试用 n 表示 an。关系。项相减,转化为等比数列求和。3、 裂项相消法 ：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11可 裂 项 为 ： aa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn 1Snanan 1 n 22n 1 2nn 1danan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aaa111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 a1n 1nn 12 n 1anan 1an 1dan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n22n+1n+1n

10、n等差数列前 n 项和的最值问题 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式两边同乘以 2得 2an+1=2 an+2 就2 an 是公差为 2 的等差数列。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 an= 2+ （ n-1 ）2=2n1、如等差数列an 的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ,就Sn 最大an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知Spn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2

11、 pSn 最特殊的 ,（1）形如 ankan 1b 、 ankan 1nb （ k ,b 为常数）的递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求大。an 。 形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如等差数列a的首项 a0 ,公差 d0 ,就前 n 项和 S 有最小值如 akak n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后,再求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ,就Sn 最小an0。an 10an 。（ 2）形如 aan 1的递推数列都可以用倒数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nkab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知 Snpn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最（ 3）形如n 1n1nkaa的递推数列都可以用对数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小。数列通项的求法：（ 7）（理科） 数学归纳法 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式法 ：等差数列

13、通项公式。等比数列通项公式。（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1q 时, 分奇数项偶数项争论 ,结果可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 已 知aS1, nSn（ 即 a11) 。a2Lanfn ） 求an, 用 作 差 法 ：能是分段形式 。an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSnSn 1, n2f 1, n1数列求和的常用方法 ：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式。等比数列求和公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a1ga2gL ganf n 求 an,用作商法： anf n, n f n12) 。（ 2）分组求和法 ：在直

14、接运用公式法求和有困难时,常将“和式” 中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an 。有时也可直接求an 。（ 3）倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如an 1anf n求an用累加法：等差数列前 n 和公式的推导方法） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an an a1 nan 1 an 12 。an 2 La2a1（ 4）错

15、位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法 （这也是等比数列前n 和公式的推导方法） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知an 1anf n 求an ,用累乘法 ： ananan 1an 1Lan 2a2a1 na12 。（ 5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知递推关系求a ,用构造法 （构造等差、等比数列） 。111。 11 11 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

16、结nnn1nn1nnkk nnk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22111 11,14 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk12 k1k1an2n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111 。kk1 k1kk2 k1kk1k5练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 11。n11。数列 an满意 SnSn 1n 1 , a14,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an n1n22nn1) n1n2 n1.n.n1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2n1n2122nn1（留意到

17、aSS代入得：Sn 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1nnn1n 1n 1nSn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、解题方法：又S4 , S是等比数列, S4 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列通项公式的常用方法：1、公式法n2时, anSnSn 13 4 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 由Sn求an4 、叠乘法例如：数列an中, a13, an 1an,求 an1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ n1时, a1S1, n2时, a

18、nSnSn 1）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、求差（商）法a 2a3an12n1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： a满意 1 a1 a1 a2 n51a1a 2an 123na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： nn1211时, 1 a22 22215, a12 nn14又a133, ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2 时, 11a12 a21n 1 an 12 n1525 、等差型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222

19、12得： 1 a2由a nan 1f n , a1a 0 ,求an ,用迭加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an2 n 12 nnn2时, a 2a1f 2a 3a2f 3两边相加,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1f 2 f 3f n（ann 1841）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an练习a 0f 2f 3f n7、倒数法2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

20、纳总结数列 a, a1, a3n 1an2 ,求a例如： a 11, an 1n,求 aa2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ann1nn 1n1 3n1 ）2由已知得：1nan211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、等比型递推公式an 12 an2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ancan 1d c、d为常数, c0, c1, d0111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可转化为等比数列,设anxc an 1xan 1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a

21、 ncan 1c 1 x1为等差数列,an11,公差为 1 a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令c1 xd, xdc11111n1 n1 an22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ad是首项为 ad, c为公比的等比数列2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1c1c1ann1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nadc1aad c n 1a1c1d cn 1d2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1c1c1练习等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,另外记住以下

22、公式对求和来说是有益的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 an满意 a19 , 3a n 1an4,求an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 35 2n-1=n适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、求和： S3C16C 2L3nC nnnnn例 10、解S0 . C 03C 16C 2L3nC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】 求数列 1,（ 3+5）,（ 7+9+10）,（ 13+15+17+19）,前 n 项

23、的和。 解此题实际是求各奇数的和, 在数列的前 n 项中,共有 1+2+ +n= 1 nn12nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个奇数,最终一个奇数为： 1+1 nn+1-12=n2+n-12n-1（ 4）、错位相减法 S n=3n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此所求数列的前n 项的和为假如一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 11、 求数列 1,3x, 5x, ,2n-1xn-1前 n 项的和可编辑资料 - - -

24、 欢迎下载精品名师归纳总结2n-1解设 Sn=1+3+5x + +2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。2x=0时, Sn=13 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x2+5x+2n-1x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n2222222【例 9】求和 S=1（ n -1 ） + 2 （ n -2 ）+3（ n -3 ） + +n（n -n ）2333323n-1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解S=n（ 1+2+3+ +n） - （

25、1 +2 +3 + +n ） - ,得 1-xSn=1+2x+2x +2x+2x-2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、倒序相加法5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消。常见裂项方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12、求和111L11. 53 . 75 . 92 n12n3此函数以 n 为自变量的二次函数。a1 0S l =Sk（ l k）, d 0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）可编辑资料 -

26、- - 欢迎下载精品名师归纳总结注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些项,一般的剩下的正项与负项一样多。633在把握常见题型的解法的同时, 也要留意数学思想在解决数列问题2方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q。分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能。解依题意可知 q1。假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。q 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 1

27、3】等差数列 a n 的首项 a1 0,前 n 项的和为 Sn,如 Sl =Sk（ l k）问 n为何值时 Sn 最大？整理得q（2q -q-1 ） =0 q 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题仍可以作如下摸索：A 6Bn 2Cn 2D 6 或n 2 或n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333366 16 26 16 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S6=S3+q S3=（ 1+q ） S3。S9=S3+q S6=S3（ 1+q +q ）,33663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 S3+S6 =2S9 可得 2+q

28、=2（ 1+q +q ）, 2q +q =0二、填空题1 已 知 数 列 an中 , a11 ,an 1anan 1an , 就 数 列 通 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3换元思想an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 15】已知 a,b, c 是不为 1 的正数, x, y, z R+,且2已知数列的 Snn 2n1 ,就 a 8a9a10a11a12=。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： a, b,c 顺次成等比数列。3 三 个 不

29、 同 的 实 数a,b,c成 等 差 数 列 , 且a, c,b成 等 比 数 列 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明依题意令 a =b =c =k x=1ogak, y=log b k, z=log c ka: b : c 。n三、解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知数列an的前 n 项和 Sn32 n ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 b =ac a, b,c 成等比数列（ a, b, c 均不为 0）可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、挑选题数学 5（必修）其次章：数列1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 数列an的通项公式an,就该数列的前 （）项之和等于 9 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn12. 数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 98B 99C 96D 97lg 1000, lg1000cos 60 0 , lg1000cos 2 60 0 ,. lg1000cosn1 600 , 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在等差数列an中,如 S41, S84 ,就 a17a18a19a20 的值为（

31、）前多少项和为最大？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 9B 12C 16D 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在等比数列an 中,如 a 26 ,且 a 52a 4a3120 ,就an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知数列 an 的前 n 项和为 S n ,满意 Sn =2a n -2nn N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求数列 an 的通项公式 a n ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如数列 bn 满意 b n=log2 an +2,Tbnn 为数列 an 的前 n 项和,求2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证 T n ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载