放缩法技巧全总结.docx

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1、精品名师归纳总结2022 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩。其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例 1.1求k2的值;2 求证:14k 21n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1由于24n 212n21 2n112n112n1,所以n

2、22k 1 4 k1112 n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由于 114112,所以 n11121211251可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22nn 2144n12n12n1k 1 k352n12 n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇巧积存 :1 1n 244 n244n21212n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) Tr 1r1n.Cnrnr . n1rr .n11r .r r1n 1n11r2r1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

3、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 151 nn1111121321115n n1261n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 2 n12n12nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 2n1n 91k n1kn12n111kknn11,n1 nn811k22 n11k1112n32n11nn1k2 n11 2n 1 2n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10nn1 .1n.n11 .111n2 2n 12n 12 22n12n 12n1n122可编辑资料 - - -

4、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn11222n2nnnn2 n 1nn 111n 1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2121 2121 2221212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 n311111nn1n1nn1n n1n1n1n n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1311n1n1n 1nn1n12 nnn11n1n1nnn212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21

5、42 231 2k23321121213152n131nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k. k1.k2.k1 .k2 .nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15i 21 ij 21ji 2j 2ij i 21j 21ii 21j1j 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 2.1 求证:1122352 求证: 111172 2n16111n22 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4(3) 求证: 116361 31 3 54n 224n1 3 5 2n12n11可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(4) 求证：2 42 n2 4 6111122 4 6113n2n2 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1由于12 n122n11 2n 1112 2n 112n 1,所以ni 1 2i11 211 12 312n111 12 312n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1114163611 11224n4211 1112n4n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结合1进行裂项 ,最终就

7、可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 第一 1n2 n1n2n1n,所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n12n1n2而 由 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 , 所 以12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结1112312n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 求证: n6n1115211 2n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:一方面 :由于 1n21n21444n 21122 n 112n1,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12111k352k 112 n112n112533可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一

9、方面 :111491111n22334111nnn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n3时,nn16nn12n,当 n11 时,n6n1 2n11111 ,49n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时, n6n6n1111 2n149111121 ,所以综上有n25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n12n149n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.2022 年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列an满

10、意 0a11 . an 1f an . 设 b a1,1 ,整数k a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明: ak 1b .a1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列 ,故存在正整数 mk ,使amb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 1akb ,否就如 ambmk ,就由 0a1amb1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am

11、 ln ama1 ln ama1 ln b0 ,aak 1kak ln akka1amm 1ln am,由于kam ln amm 1k a ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1于是 ak 1a1k | a1 ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mnm , 求证:nm 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:第一可以证明 : 1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1

12、nm 1n1m 1 n1 m 1n2 m 11m 10n k m 1k 1k1m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1m1Snn1 m 11只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n k m 1k 1k1m 1 nm1k m k 1n1m 11 n1m 1nm 1nm 1n1m 12 m 11 m 1n kk 11 m 1km 1 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只要证n k m 1k

13、1k1m 1nm1k m k 1n kk 11m 1k m 1 ,即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k m 1 k1 m 1m1k mk1m 1k m ,即等价于 1m1k11 mk1,1m1k11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 6. 已知n4n2n ,Tn2na1a2,求证: T1anT241T34 n 213.Tn22 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T解析:n4142434 n21222n 14123 4n12 12 n 可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以Tn4 4n32n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332 n 14n 13 2n3 2n 123 2n2 2 2n 23 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322从而 T1T22 n2 n1 2n1T3Tn312 2n13112312n 11113712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 7. 已知 x11,nnn2k1, kZ ,求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:14 x2 x31n14

15、x4 x51n12k, kZ 14 x2n x2 n 112 n111nN *12 ,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x2n x2n 14 2n1 2n14 4n 214 4n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nnn1 ,所以412x2 n x2 n 12 n2nn12 n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以14 x2x314 x4 x514 x2 nx2 n 12 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

16、二、函数放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n5n 66 nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:先构造函数有ln xx 1ln x x11 , 从而xln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n1 111 233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111123456789由于 111233 n533993n 13n 11112n2 n13n5n可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结66所以 ln 229ln 3318ln 4427ln 2ln 3nn3ln 32 3n 1n313n5n36ln n6n5n662n 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9.求证 :12,23 n2n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造函数f x ln x ,得到xln n nln n 2 ,再进行裂项n2ln n211n 2n211nn, 求和后可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln xx1 , ln nn12 可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10.求证 : 1123111ln n11n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:提示: ln n函数构造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2ln n11nlnnn1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y当然此题的证明仍可以运用积分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图,取函数f x1 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCFn第一: S1x,从而, 1 in1l

19、n x |nnnxiln nln niDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCABOn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 , ,1nln nln n1 ,1n1ln n1ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面 S1 ,从而有1in 1ln x |nln nln ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nxABDEnixn i可编辑

20、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n in i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有,1 n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有1ln n 1121 ,所以综上有 11n231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11.求证 : 11112.3.11n.e 和 11 11 98111 e .32 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e解析:构造函数后即可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12.求证 : 11

21、2 1231n n12 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:ln nn 1132nn1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln x 123 x0 x 11 ln1 x x3 xx 1加强命题 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造

22、函数3f x45ln x1n1x141 x1) ,求导,可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x121x 1xx ,令1f x0 有1x2 ,令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,令 xn 21 有, ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln nn 1 ,所以ln 2ln 3ln 4ln nnn1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

23、总结n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 14. 已知11,an 111n2 ann1 . 证明 an2ne2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:an 111n n1 ann1211nn 11 a ,2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后两边取自然对数,可以得到ln an 1ln11n n 112 n ln an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后运用ln1xx 和裂项可以得到答案 可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品名师归纳总结放缩思路：a n 111 n2n1n a n2ln an 1ln 11n 2n12 n ln an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln an1n 2n1 。于是2 nln a n 1ln an1n 2n1 ,2n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1ln a i 1ln ai n 11 i 2i12 i ln anln a11 1 12n11122 .n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1即 ln anln a1i 12an12e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：题目所给条件 l

25、n1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用。当然,此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nnn1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 111nna n11nn1an 11 11n n an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lnan 11lnan1ln11n n 11.nn 1n 1 ln ai 1i 21ln ai1n 11i2i i1ln an1ln a 21111 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln an11ln 32an3e1e .可编辑资料 - - -

26、 欢迎下载精品名师归纳总结例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是在 0, 上到处可导的函数 ,如xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 求证：函数g xf x x在0,上是增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 当 x10, x20时,证明 :f x1 f x2 f x1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(III) 已知不等式12121212n*234n 12 n1 n2求证：ln1xx在x1且x0 时恒成立,可编辑资料 - - -

27、 欢迎下载精品名师归纳总结2 ln 22 ln 32 ln 42 ln n1nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:Ig xf x xx 2f x0 ,所以函数g x f x 在 0, x上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II 由于g xf x x在 0,上是增函数 , 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 x1f x1x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 2 x2f x1x1x2 x2f x2 x 2x1x2f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总