抽象函数奇偶性周期性对称性 .docx

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1、精品名师归纳总结抽象函数的周期性与对称性学问点梳理一、 抽象函数的对称性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1. 如函数 yf x 定义域为 R ，且满意条件：f axf bx ，就函数yf x 的图象关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xab 2对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1.如函数 yf x 定义域为 R ，且满意条件：f axf ax ，就函数 yf x 的图像关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa 对

2、称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2.如函数 yf x 定义域为 R ，且满意条件：f xf 2ax , 就函数 yf x 的图像关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa 对称。总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ，相加除以 2，可得对称轴方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3.如函数 yf x 定义域为 R ，且满意条件：f axf ax ，又如方程f x0 有 n 个根，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此 n 个根的和为 na 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2. 如函数yf

3、 x 定义域为 R ，且满意条件：f axf bxc （ a, b, c 为常数），就函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x 的图象关于点 ab 2, c 2对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1.如函数 yf x 定义域为 R , 且满意条件：f axf bx0 成立，就 yf x的图象关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 ab ,0 对称。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2. 如函数 yf x 定义域为 R，

4、且满意条件：f axf ax0 （ a 为常数），就函数yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的图象关于点a,0 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结： x 的系数一个为 1，一个为 -1 ， fx整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为 -1 ，存在对称中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结心。定理 3. 如函数 yf x 定义域为 R ，就函数 yf ax 与 yf bx 两函数的图象关于直线xba 对2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称（由 axbx 可得）。可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1.函数 yf xa) 与函数 yf ax 的图象关于直线 xa 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2.函数 yf ax 与函数 yf ax 的图象关于直线 x0 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理4. 如函数 y称。f x 定义域为R ，就函数 yf ax 与 ycf bx的图象关于点 ba , c 对22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论

6、.函数 yf ax 与函数 yf bx 图象关于点ba ,0 2对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、抽象函数的周期性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 5. 如函数 yf x 定义域为 R，且满意条件f axf xb) ，就 yf x 是以 Tab 为周期的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结周期函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1. 如函数 yf x 定义域为 R ，且满意条件f axf xb ，就 yf x 是以 T2ab 为周可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

7、师归纳总结期的周期函数。推论 2. 如函数满意条件fxa1,就就yT=2fax是以fxT2 a 为周期的周期函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3.如函数满意条件fxa1fx1fx, 就就Ty=4 fa x 是以 T4a 为周期的周期函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 7. 如函数 yf x 的图象关于直线 xa 与 xbab 对称，就 yf x 是以 T2ba) 为周期的周可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载精品名师归纳总结期函数。 定理 8. 如函数 yf x 的图象关于点a,0 与点b,0 ab) 对称，就 yf x 是以 T2ba) 为周期的周可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结期函数。 定理 9. 如函数 yf x 的图象关于直线 xa 与点b,0 ab) ，就 yf x 是以 T4ba 为周期的周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数。总结： x 的系数同为为 1，具有周期性。1 定义在 R 上的函数 f x 满意： f x f x 2 13， f 1 2，就 f 99 A 13B 2132C. 2 D.132已知奇函数f x 在区间 3,7上是增函数，且最

9、小值为5，那么函数 f x 在区间 7， 3 上 A是增函数且最小值为5B. 是增函数且最大值为5C. 是减函数且最小值为5D. 是减函数且最大值为53已知函数 f x 1 是奇函数， f x 1 是偶函数，且f 0 2，就 f 4 .4. 对于定义在R 上的函数 f x ，有下述四个命题，其中正确命题的序号为 如 f x 是奇函数，就 f x 1 的图象关于点 A1,0对称。如对 x R，有 f x 1 f x 1 ，就 yf x 的图象关于直线 x 1 对称。如函数 f x1 的图象关于直线 x 1 对称，就 f x 为偶函数。函数 y f 1 x 与函数 y f 1 x 的图象关于直线

10、x 1 对称x 2 b5. 已知定义域为R 的函数 f x 2x 1 a是奇函数 2(1) 求 a、b 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(2) 如对任意的 t R，不等式 f t2t f 2 t k0 恒成立，求 k 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 设函数 f x 的定义域关于原点对称，且满意f x1 f x2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x1 x2 f x2 f x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在正常数 a，使 f a 1.求证： 1 f x 是奇函数。2 f x 是周期函数，并且有

11、一个周期为4a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如函数fxx2bxc 对一切实数都有 f 2 x = f 2 x 就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.f 2f 1 f4B.f 1f 2 f4C.f 2f 4 f1D.f4f2 f12、设函数 y= f x定义在实数集 R 上，就函数 y= f x 1 与 y= f 1 x 的图象关于（）对称。A. 直线 y=0B. 直线 x=0C. 直线 y=1D. 直线 x=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知定义为R 的函数 fx 满意 fxf x4，且函数f x 在区间 2 ,上单调递增 .

12、 假如 x 12x 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 x 1x 24 ，就 f x 1f x 2的值（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.恒小于 0B. 恒大于 0C可能为 0D可正可负4、函数 y fx是定义在实数集 R 上的函数，那么 y fx 4 与 y f6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x 5 对称 B关于直线x1 对称C关于点（ 5， 0）对称 D关于点（ 1， 0）对称5、设 fx是定义在 R 上的函数，且满意f10 x f10 x ， f20 x f20 x ，就 fx是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数

13、，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、已知函数5f x 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf x11x fx ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f f 的值是（）215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.0B.C.1D.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 、 已 知 fx1x，fxffx，fxffx， ，fxffx， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f200421A.7113x（） .1B.721n

14、3C.51nD.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、在数列xn中，已知 x1x21， xn 2xn 1xn nN* ，就x100 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、 yfx 定义域为 R，且对任意 xR都有 fx1f x1，如 f212就f2021=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1fx10、已知 fx是 R上的偶函数，对 xR 都有 fx 6=fx f3成立，如 f1=2，就 f2021=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、函

15、数f x在 R 上有定义，且满意f x是偶函数，且f02005，g xfx1 是奇函数，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f2005的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、设 fx是定义在 R 上的偶函数，且f1+x= f1 x, 当 1 x 0 时， fx =1x，就 f8.6 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13、设f x 是定义在区间, 上且以 2 为周期的函数，对 kZ ，用I k 表示区间2k1,2 k1, 已知当可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品名师归纳总结xI 0 时，f xx 2. 求f x 在 I k 上的解读式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考答案： 1、如函数fxx2bxc 对一切实数都有 f 2x = f 2 x 就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.f 2f 1 f4B.f 1f 2 f4C.f 2f 4 f1D.f4f2 f1答案： A。2、设函数 y= f x定义在实数集 R 上，就函数 y= f x 1 与 y= f 1 x 的图象关于（）对称。A. 直线 y=0B. 直线 x=0C. 直线 y=1D. 直线 x=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

17、纳总结答案： D。由 x11xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知定义为R 的函数 fx 满意 fxf x4，且函数f x 在区间 2 ,上单调递增 . 假如 x 12x 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 x 1x 24 ，就 f x 1f x 2的值（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.恒小于 0B. 恒大于 0C可能为 0D可正可负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案 A。分析：图象关于点2,0对称 .fx 在区间2,上单调递增，在区间,2 上也单调递增 . 我

18、们可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.2x24x1 ，且函数在2,上单调递增，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2f 4x1，又由 fxf x4 ，有f 4x1 fx14f x144fx1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx1fx2fx1f 4x1f x1fx10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、函数 y fx是定义在实数集 R 上的函数，那么 y fx 4 与 y f6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x 5 对称 B关于直线x1 对称C关于点（ 5， 0）对称 D关于

19、点（ 1， 0）对称答案： D。解：据复合函数的对称性知函数y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 6 4） /2 ， 0）即（ 1， 0）中心对称，应选D。5、设 fx是定义在 R 上的函数，且满意f10 x f10 x ， f20 x f20 x ，就 fx是（ ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数答案： C。6、定义在 R上的特别数函数满意：f 10+x为偶函数，且f 5 x = f 5+x,就 f x肯定是（）A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期

20、函数答案： A. 解： f 10+x为偶函数， f 10+x = f 10 x. f x有两条对称轴 x = 5与 x =10，因此 fx 是以 10 为其一个周期的周期函数， x =0 即 y 轴也是 f x的对称轴，因此 f x仍是一个偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、已知函数5f x 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf x11x fx ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f f 的值是（）215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.0B.C.1D.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：

21、 A。解读：令 x1 ，就1 f22 1 21 f 1 221 f 1 22f 1 20 。令 xf10 ，就ff 0012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 xf x5f2110x fx 得fx1x1fx， 构 造 函 数 Fxxfx22， 由x11222， 所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 、 已 知 fx1x，f1xffx，f 2xff1x， ，f n 1xff nx， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f20042A.1713x（） .1B.7C.3 5D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1xx1x1可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： A。分析：由 fx，知 f1x， f2xfx ， f 3xfx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13x3 x13x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 为迭代周期函数，故f3n xfx ，f2004xfx ，1f20042f2.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、在数列xn中，已知 x1x21， xn 2xn 1xn nN* ，就x100 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 1 。10、 yfx 定义域为 R，且对任意 xR都有 fx1f x1，如 f212就f2021=_

23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： -1-2 。11、已知 fx是 R上的偶函数，对 x答案： 2.1fxR 都有 fx 6=fx f3成立，如 f1=2，就 f2021=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、函数f x在 R 上有定义，且满意f x是偶函数，且f02005，g xfx1 是奇函数，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f2005的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 0. 函数关于1，0 和 x0 对称，周期为 4 f2005f 1f10 。可编辑资料 - -

24、 - 欢迎下载精品名师归纳总结13、设 fx是定义在 R 上的偶函数，且f1+x= f1 x, 当 1 x 0 时， fx =1 x，就 f8.6 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： fx是定义在 R 上的偶函数 x = 0是 y = fx对称轴。又 f1+x= f1 x x = 1也是 y = fx对称轴。故y = fx是以 2 为周期的周期函数，f8.6 = f8+0.6 = f0.6 = f 0.6 = 0.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、设f x 是定义在区间, 上且以 2 为周期的函数，对 kZ ，用I k 表示区间2k1,2 k1, 已知当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xI 0 时，f xx 2. 求f x 在 I k 上的解读式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 x2 k1,2k1,2k1x2k11x2k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xI 0 时，有f xx2 ,由 1x2k1得f x2k x2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 是以 2 为周期的函数，f x2kf x,f x x2k 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载