数列与数学归纳法专题2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列与数学归纳法专题上海市久隆模范中学石英丽*经典例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 1】已知数列a n的前 n 项和为Sn ，且 Snn5a n85, nN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）证明：a n1 是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求数列Sn的通项公式，并求出访得Sn 1Sn 成立的最小正整数n .可编辑资料 - - -

2、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1当 n1时， a114 。当 n2时， a nSnSn 15a n5an 11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 an15an 11 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a11150 ，所以数列an1 是以 15 为首项，5 为公比的等比数列.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由1 知： an115 56n 1，得 an1n 15从而 Sn6n 175 56n9

3、0, nN * 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 Sn 1n 15Sn 得62 ， n252log 56 25114.9，最小正整数n15 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】 等差数列an的前 n 项和为Sn ,a112, S3932 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求数列 an 的通项an 与前 n 项和Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 bnSn n nN ，求证：数列 bn 中任意不同的三项都

4、不行能成为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a解：（ 1）由已知得121，d2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3a13d932故 an2n12，Snn n2 Sn（ 2）由（）得bnn2 n假设数列 b 中存在三项b ， b ， b （ p， q，r 互不相等）成等比数列，就b2b b npqrqp r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 q2 2 p2 r2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q2pr 2 qpr 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q p， q， rN，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q2pr0，2prpr， pr 20， pr与 pr 冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2qpr0，2所以数列 bn 中任意不同的三项都不行能成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【 例3 】 已 知 公 差 不 为0的 等 差 数 列an的 首 项a1 为

6、aaR, 设 数 列 的 前n项 和 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn ,且1 , 1 , 1a1a2a 4成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求数列a n的通项公式及11Sn 。11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）记 AnS1S2, BnSna1a2a22a2n，当 n2 时，试比较An 与 B n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）设等差数列21a n的公差为d，由a 211，a1a 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

7、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2得 a1da1 a13d .an n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 d0 ，所以 da所以 a nna1 , Sn.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由于1Sn211ann1，所以 An11S1S212 1Sna1 .n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于n 1B111n11112211.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2n 12a ，所以na1a2a22a2n

8、 1a11Cn2a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CCnn当 n2时,2 n01n1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n即 1111.n12 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，当 a0时AnBn ; 当a0时AnB n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】 已知 a12 ，点a n , a n 1在函数 fxx 22x 的图象上，其中=1， 2， 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）证明数列lg 1an是等比数列。可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 Tn1a11a 21an，求 Tn 及数列an的通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 3）记 bna n1a n2，求数列 bn 的前项和Sn，并证明 Sn23Tn=1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由已知aa 22a，

10、a1a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 1nQ a12an11，两边取对数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lg1an 12lg1an ，即lg1an 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lg1an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lg1an 是公比为2 的等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由（）知lg1n1an 2lg1a1 2n 1n 1lg3lg3 21ann 123（ * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

11、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1+a202122n-1231 2 22+2 n-132 -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tn1a1 1a2 n3333=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由（ * ）式得 an2 n 131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）an 1an2anan 1an an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 11112.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 12anan2

12、an2anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11又 bn11bn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan2anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sbb+b2 1111+ 112 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12nna1a2a2a3anan 1a1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q ann 1231,a12, an 1321Sn12.n321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

13、结又 Tn32n 121 .Sn3Tn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】 已知数列an满意 a10, a22 ，且对任意m, nN * 都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2m 1a2 n 12a m n 12mn 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求a3 , a5 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 bna2 n 1a2n1 nN * ，证明：bn是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）设 cnan 1aqn 1 , q0, nN *，求数列 cn 的前 n 项和S

14、n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解： 1 由题意， 令m2,n1可得 a32a 2a126 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再令 m3, n1可得 a 52a3a1820 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

15、总结(2) 当 nN * 时，由已知 以 n2代替m 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 n 3a2 n 12 a2n 18 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 a 2 n 1 1a 2 n 1 1 a 2n 1a2n 1 8 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 bn 1bn8, b1a 2a16 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

16、结所以bn是以 6 为首项， 8 为公差的等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 由12解答可知 bn8n2,即a 2n 1a2 n 18n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另由已知 令 m1 可得 ana 2n 1a1 2n1 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 an 1ana 2n1 a2 n 122n18n222n12n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1

17、于是 cn2nq.当 q1 时， Sn2462 nnn1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 q1 时， Sn2q 04q 16q 22 nqn 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边同乘以q ，可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结qSn2q14q 26q 32nq n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上述两式相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 q Sn2 1qq 2q n 12nq n1q n22nq n1n1 q n2nq n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 Sn2 1n1

18、 qn1q1qnqn 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q1n1 q nnqn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22, q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，Sn1q n n1 , q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列与数学

19、归纳法专题检测题一、填空题（每道题4 分，满分40 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 列an是首项为1，公比为 a3的无穷等比数列，且2a n各项的和为a ，就 a 的值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 等比数列 an 的前 n 项和为Sn ，已知S1 ， 2 S2 ， 3S3 成等差数列，就 an的公比为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 函 数f x2 x,等 差 数 列 ax 的 公 差 为2.如f a2a4a6a8a10

20、4,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 2 f a1f a2 f a3 Lf a10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 知数列 a 、 b 都是公差为1 的等差数列， 其首项分别为a 、b ，且 ab5 ， a , bN * 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nncna b （ nnN * ），就数列111111 cn 的前 10 项和等于.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.

21、 知数列a的首项 a0 ，其前 n 项的和为S ，且 S2Sa ，就 liman.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nn 1n1nSn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 知 等 比 数 列 an 满 足an0, n1,2,L， 且a5a2n 52 2n n3， 就 当n1 时 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 2 a1log 2 a3Llog 2 a2n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 差数列2a的前 n 项和为 S ，已知 aaa0 ， S38 ,就 m.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn

22、m 1m 1m2m 18. 全体正整数排成一个三角形数阵：123456789 10 根据以上排列的规律，第n 行（ n 3）从左向右的第3 个数为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. an是公比为q 的等比数列，| q |1 ，令 bnan1n1,2,L ，如数列bn有连续四项在集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结53, 23,19,37,82 中，就 6q =.nan ,当a 为偶数时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 知数列an满意： a1m （ m 为正整数）， an 12如 a6 1

23、 ，就 m 全部可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3an1,当an为奇数时。能的取值为 .二、解答题（本大题共有5 题，解答以下各题必需在规定区域内写出必要的步骤）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 设数列an满意 a10且11an 111 .1a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1an可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求a 的通项公式。（ 2）设 bn 1 ，记 Sb ,证明 S1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnknnk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 等比数列a n中，a1 , a 2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1 , a2 , a3 中的任何两个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不在下表的同一列第一列其次列第三列第一行3210其次行6414第三行9818可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 1）求数列a n的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如数列bn满意： bnan1ln an，求数列bn的前 n 项和Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 设 d 为非零实数，a n1 C 1 d n2C 2 d 2n1 C n1d n 1nC nd n , nN *.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn（ 1）写出a1 , a 2 , a 3 并判定a n是否为等比数列。如是，给出证明。如不是，说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

26、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2）设 bnnda n , nN * ，求数列bn的前 n 项和Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 设数列a n的前 n 项和为Sn ，且方程xan xa n0 有一根为 Sn1, n1,2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求a1 , a 2 。 （ 2） a n的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. 已

27、知有穷数列A ： a1 , a2 ,L, an ， n2 .如数列 A 中各项都是集合 x |1x1的元素，就称该数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 数列 .对于 数列 A ，定义如下操作过程T ：从 A 中任取两项aiai , a j ，将1a ja i a j的值添在A 的最终，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后删除ai , a j,这样得到一个n1项的新数列A1 商定 :一个数也视作数列. 如A1 仍是 数列，可连续实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

28、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结施操作过程 T ，得到的新数列记作11A2 ， L L,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作Ak .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）设A : 0,. 请写出23A1 的全部可能的结果。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求证：对于一个n 项的 数列 A 操作 T 总可以进行n1次。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）设 A :511，1511111,.求，A9 的可能结果，并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结765462345 6可编辑资料 - -

29、 - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 2。 2. q11。 3. 6。 4. 85。 5.。6. n 22nn6。 7. 10。8.。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3229. 9 （提示81， 54， 36， 24）。 10. 4532。二、解答题可编

30、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 设数列an满意 a10且11an 1111a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求a 的通项公式。（ 2）设 bn 1 ，记 Sb ,证明 S1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解：（1）由题设11a n 1nn111a nnkn k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即1是公差为 1 的等差数列。又11an1a11 ，故11a n1n所以 an1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1an 1n1n11n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由（ I ）得bn，Snbk11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1nnn1k 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 等比数列a n中，a1 , a 2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1 , a2 , a3 中的任何两个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一列其次列第三列第一行3210其次行6414第三行9