抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一. 概念 :抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数, 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值, 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点, 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰 富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能 1、周期函数的定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

2、总结对 于 fx定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得f xT f x 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称函数f x具有周期性， T 叫做f x的一个周期， 就 kT（ kZ , k0 ）也是f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的周期，全部周期中的最小正数叫f x的最小正周期。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分段函数的周期：设 yf x 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: yf

3、x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa,b ,Tba 。把 yf x沿x轴平移 KTK ba 个单位即按向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结akT ,0平移，即得 yf x 在其他周期的图像：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf xkT , xkTa, kTb 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xxa,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2、奇偶函数：kT x kTa,kTb可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品名师归纳总结设 yf x, xa,b 或xb,aa, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xf x, 就称 yf x为奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xf x就称 yf x为偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（ 1）中心对称即点对称：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 Ax,y与B 2ax,2by关于点a, b对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 点Aax,by 与B ax, by关于a ,b对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

5、 函数 yf x与2byf 2 ax关于点a,b成中心对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数 byf ax与byf ax关于点 a,b成中心对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数 F （ x, y0与F 2ax,2by0关于点 a,b 成中心对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）轴对称：对称轴方程为：AxByC0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 点A x, y与B x/ , y / B x2 A AxA 2ByC , y B 22 B AxByA 2B 2C 关 于 直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

6、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 AxByC0成轴对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x与y2B AxA 2ByC B 2f x2 A AxA2ByC B 2关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

7、 - - -AxByC0 成轴对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F x, y0与F x2A AxA2ByC , y B22B AxA2ByC B 20 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AxByC0 成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yf x 图象本身的对称性（自身对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f xa f xb ，就f x 具有周期性。 如f axf bx ，就f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结1 、 f axf bxy f x 图象关于直线x axbx 2ab 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1：f axf axyf x 的图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2、f xf 2 axyf x 的图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2

9、 、 f axf bx2cyf x 的图象关于点 ab , c 对称 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点a ,b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3、 f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

10、归纳总结（二） 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、偶函数yf x 与 yf x 图象关于Y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、奇函数yf x 与 yf x 图象关于原点对称函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、函数 yf x 与yf x 图象关于X 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、互为反函数yf

11、x 与函数 yf1 x 图象关于直线yx 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 函数 yf ax 与 yf bx 图象关于直线xba 对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1: 函数 yf ax 与 yf ax 图象关于直线x = a 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2: 函数 yf x 与 yf 2ax图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3: 函数 yf x 与 yf 2ax 图象关于直线xa 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx关于直线 xa 轴对称，就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x（

13、2）f2a x fx（3）f2a x f x性质 2 如函数 yfx关于点（ a，0）中心对称，就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x （ 2） f2a x fx（3）f2a x f x易知， yfx为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 如对于定义域内的任一变量x，均有 fg x fgx，就复数函数 yfgx为偶函数。定义 2、 如对于定义域内的任一变量x，均有 fg x fgx，就复合函数 y fgx为奇函数。说明：（ 1）复数函数 fgx为偶函数， 就 fgx fgx而不是 f gx fgx，复合函数 yfgx为奇函数，就

14、 fg x fgx而不是 f gx fgx。（ 2）两个特例： yfx a 为偶函数，就 fx a f x a 。yfx a 为奇函数，就f x a fa x（ 3）y fx a 为偶（或奇）函数，等价于单层函数yfx关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ，0）中心对称推论 1、 复合函数 y fa x 与 y fa x 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 y fa x 与 y fa x 关于原点中心对

15、称4、函数的周期性如 a 是非零常数，如对于函数y fx定义域内的任一变量x 点有以下条件之一成立，就函数yfx是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。fx a fx afx a fxfx a 1/fxfx a 1/fx5、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx同时关于直线 x a 与 xb 轴对称，就函数 fx必为周期函数，且T 2|a b|性质 6、如函数 y fx同时关于点（ a，0）与点（ b，0）中心对称，就函数 fx必为周期函数，且T2|a b|性质 7、如函数 y fx既关于点（ a， 0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，就函数 fx必为周期函数，且T 4|a b|可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6、函数对称性的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 yf x关于点（h, k对称，就 xx /2h, yy /2k , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x / f xf 2hx2k可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 f x2 f xn f 2hxn f 2hxn 1 f 2 hx1 2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）例题a x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 fxxa关于点（a， ）对称：22f xf 1x1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x4 x12 x 12 x1关于（ 0，1）对称：f xf x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 x

18、1R, x0关于（11， ）对称：22f（xf 1 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、奇函数的图像关于原点（0， 0）对称：f xf x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 、 如f xf 2ax 或f ax f ax, 就yf x的 图 像 关 于 直 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa 对称。设f x0有n个不同的实数根，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2xnx

19、12ax1 x22ax2 xn2axn na .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n2k1时，必有 x12ax1 ,x1a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 、 f xT f x T0 yf x 的周期为 T ， kT kZ 也是函数的周可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结期2 、 f xaf xb yf x 的周期为 Tba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品名师归纳总结3 、 f xaf xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 、 f xa1f xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5

21、 、 f xa1f xyf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 、 f xa1f x1f xyf x 的周期为T3a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、f xa 1f x1yf x 的周期为T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 、 f xa1f x1f xyf x 的周期为T4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、 f

22、x2af xa f xyf x 的周期为T6a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、如 p0, f pxf pxp ,就Tp .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、 yf x 有两条对称轴xa 和 xb ba yf x周期 T2ba 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：偶函数yf x 满意f axf axyf x周期 T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

23、迎下载精品名师归纳总结12 、 yf x有 两 个 对 称 中 心a,0和 b,0bayf x周 期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T2ba 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：奇函数yf x 满意f axf axyf x周期 T4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13 、 yf x有 一 条 对 称 轴 xa 和 一 个 对 称 中 心b,0baf x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T4ba 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型敏捷应用函数奇偶性、 周期性与对称性，

24、可奇妙的解答某些数学问题，它对训练同学分析问题与解决问题的才能有重要作用. 下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1（.1996 年高考题） 设f x 是 , 上的奇函数，f 2xf x, 当 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时 ， f xx ，就f 7.5 等于（ -0.5 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 0.5;（ B）-0.5;（ C） 1.5;（ D）-1.5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 （ 1989 年北

25、京市中同学数学竞赛题）已知f x 是定义在实数集上的函数，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 1f x1f x ，f 123, 求f 1989 的值 .f 198932 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、比较函数值大小1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3. 如f x xR 是以2 为周期的偶函数，当x0,1 时，f xx1998 , 试比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - -

26、- -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结98f 、19101f 、 17f 10415 的大小 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：fx xR 是以 2 为周期的偶函数，又f xx1998 在0,1上是增函数，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0116141，f 1 f 16f 14,即f 101f 98104f.

27、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结171915171915171915可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、求函数解析式例 4. （ 1989 年高考题）设f x是定义在区间, 上且以2 为周期的函数，对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kZ ，用 I k 表示区间 2k1,2k1, 已知当 xI 0 时， fxx2 . 求f x在 I k 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 x2k1,2k1,2 k1x2k11x2 k1可

28、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xI 0 时，有f xx2 ,由1x2k1得f x2k x2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 是以 2 为周期的函数，f x2k f x,f xx2k 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5设f x是定义在 , 上以 2 为周期的周期函数，且f x是偶函数，在区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间

29、 2,3 上 ，f x2x324.求 x1,2 时，f x 的解析式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：当 x3,2 ，即x2,3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x2x3 242 x3 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f x 是以 2 为周期的周期函数，于是当x1,2 ，即3x42 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2有f xf x4可编辑资料 - - - 欢迎

30、下载精品名师归纳总结f x2 x4342x1 241x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 2x1 241x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、判定函数奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 已知f x的周期为4，且等式f 2xf 2x 对任意 xR 均成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判定函数f x的奇偶性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由f x的周期为4，得f xf 4x ，由f 2xf 2x 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 4x ，f xf x, 故f x为偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、确定函数图象与x 轴交点的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. 设函数f x 对任意实数x 满意f 2xf 2x ，