拉格朗日插值法与牛顿插值法比较 .docx

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1、精品名师归纳总结拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 摘要 在生产和科研中显现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解读表达式。即使在某些情形下，可以写出函数的解读表达式，但由于解读表达式的结构相当复杂，使用起来很不便利。插值法即是解决此类问题的一种古老 的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛的应用于生产实际和科学争论中，而且也是进一步学习数值运算方法的基础。拉格朗日插值法和牛顿插值法就是二种常用的简便的插值法。本文即是争论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者的比较。 关键词 拉格朗日插值 牛顿插值插值多项式比较一、 背景在工程和科学争论中显现的函数是多种多样的。经常会遇到这样的情形：在某个

2、实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结际问题中，虽然可以肯定所考虑的函数f x 在区间 a,b 上存在且连续，但却难以找到它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解读表达式，只能通过试验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数f x 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是特别困难的。面对这些情形，总期望依据所得函数表（或结构复杂的解读表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式），构造某个简洁函数问题目前常用的方法。P x 作为f x 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结如设函数 yf x 在区间a, b上连续，且在 n1 个不同的点 ax0 , x1, xnb 上分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结别取值y0 , y1 , yn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结插值的目的就是要在一个性质优良、便于运算的函数类中，求一简洁函数使Px ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P xi yii0 ,1,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品名师归纳总结而在其他点 xxi 上，作为f x 的近似。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通常，称区间 a,b 为插值区间，称点x0, x1 , xn 为插值节点，称式P xi yi 为插值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件，称函数类为插值函数类，称P x 为函数f x 在节点x0, x1 , xn 处的插值函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求插值函数 P x 的方法称为插值法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结插值

5、函数类的取法不同，所求得的插值函数P x 靠近f x 的成效就不同。它的选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文争论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。n在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过 n 的代数多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P xa0a1xa xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 Pn xi yii0,1, n，其中，a0 , a1, an 为实数。可编辑资料 - - - 欢

6、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉格朗日插值法即是寻求函数Ln x（拉格朗日插值多项式）近似的代替函数f x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相像的，牛顿插值法就是通过 Nn x （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。二、 理论基础（一）拉格朗日插值法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在求满意插值条件 n 次插值多项式Pn x之前，先考虑一个简洁的插值问题：对节点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xi i0,1, n 中任一点xk 0kn ，作一 n 次多项式l

7、k x，使它在该点上取值为 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而在其余点xi i0,1, k1, k1, n 上取值为零，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l k xi 1ik0ik可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式说明 n 个点x0 , x1, xk1 , xk 1, xn 都是 n 次多项式l k x 的零点，故可设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

8、品名师归纳总结l k xAk xx0 xx1 xxk1 xxk 1 xxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中，Ak 为待定系数。由条件Akl k xk 11 立刻可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xkx0 xkxk 1 xkxk 1 xkxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故l k x xx0 xxk 1 xxk 1 xxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xkx0 xkxk 1 xkxk 1 xkxn 可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由上式可以写出 n1 个 n 次插值多项式l 0 x,l 1 x,l n x 。我们称它们为在n1 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结节点 x0 , x1, xn 上的 n 次基本插值多项式或 n 次插值基函数。利用插值基函数立刻可以写出满意插值条件的n 次插值多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y0l 0 xy1l 1 xynl n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根 据 条 件l k xi 1ik0ik， 容 易 验

10、 证 上 面 多 项 式 在 节 点xi 处 的 值 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yi i0 ,1,n ，因此，它就是待求的 n 次插值多项式Pn x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 y0l 0 xy1l1 xyn ln x的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ln x ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ln xy1l1 xy2l 2 xyn ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、名师归纳总结 xx0 xxk1 xxk 1xxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xkx0 xkxk 1 xkxk 1 xkxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作为常用的特例，令 n1 ，由上式即得两点插值公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L1 xy0y1y0 xx1x0x0 ，这是一个线性函数，故又名线性插值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如令 n1 ，就又可得到常用的三点插值公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L2 xy x0 x0x1 xx1 x0x2 x2 yx1 x1x0 xx0 x1x2 x2

12、yx2 x2x0 xx0 x2x1 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。（二）牛顿插值法由 线 性 代 数 知 ， 任 何 一 个 不 高 于 n 次 多 项 式 ， 都 可 以 表 示 成 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, xx0 , xx0 xx1 , xx0 xx1xxn1 的线性组合。既可以吧满意插值条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pxi yi i0,1, n 的n 次插值多项式写成如下形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

13、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0a1 xx0 a2 xx0 xx1an xx0 xx1 xxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中，ak 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为Nn x ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Nn xa0a1 xx0 a2 xx0 xx1an xx0 xx1 xxn 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，牛顿插值多项式Nn x

14、 是插值多项式Pn x的另一种表示形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数f x 在等距节点 xkx0kh k0,1, n 处的函数值f xk yk 为已知，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h 是正常数，称步长。我们称两个相邻点xk 和xk1处函数之差yk 1yk 为函数f x 在点 xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结处以 h 为步长的一阶向前差分，记作yk ，即 ykyk 1yk可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是，函数f x 在各节点处的一阶差分依次为y0y1y0 ,y1y2y1,yn 1ynyn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yk又称一阶差分的差分2yk yk 1yk 为二阶差分。一般的，定义函数f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ym点 xk 处的 m 阶差分为km 1m 1yy。k 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

16、纳总结在等距节点 xkx0kh k0,1, n 情形下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结事 实 上 ， 由 插 值 条 件Nn x0 y0 可 得a0y0。 再 由 插 值 条 件Nn x1y1 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ay1y0y0。一般的，由插值条件N x y 可得 ay0kk1,2, n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x0hnkkkk. hk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

17、总结于是，满意插值条件Nn xi yi 的插值多项式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N xyy0xx y02 xx xx y0n xx xx xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n00h2. h 201n. hn01n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、二者的比较拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法就更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个运算工作必需重新开头”（见下面例题）的缺点，而且可以节约乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项

18、式中用到的差分与差商等概念，又与数值运算的其他方面有着亲密的关系。现用一实例比较拉格朗日插值法与牛顿插值法例 已知函数表如下：x0.10.20.30.40.50.6sinx0.099830.198670.295520.389420.479430.56464运算 sin0.12的值。利用拉格朗日插值法运算过程如下：（运算程序代码见附件）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 0.12 位于 0.1 与 0.2 之间，故取节点 x0利用线性插值所求的近似值为0.1, x10.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 0.

19、12运算结果如下图L10.120.099830.1195980.120.10.20.20.198670.120.20.10.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用抛物插值所求的近似值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 0.12L10.120.099830.120.10.20.120.20.10.30.30.198670.120.20.10.120.10.20.30.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算结果如下图0.295520.1197570.120.30.1 0.120.1 0.30.20.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

20、总结利用牛顿插值法运算过程如下：构造差分表如下：xsinxy2 y3 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0.10.20.30.40.099830.198670.295520.389420.098840.096850.09390-0.00199-0.00295-0.00096可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用线性插值所求的近似值为sin0.12N1 0.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0.99830.11960利用抛物插值所求的近似值为0.20.09884可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin0.12N 2 0.12可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0.99830.20.098840.20.212 0.00199可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N10.120.119760.00016可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从上面的运算过程可以看出，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的运算过程没有继承性，即增加一个节点时整个运算工作必需重新开头。而牛顿插值就防止了这一问题，这样大量的节约了乘、除法运算次数，削减了运算的时间。因此，对于一些结构相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当复杂的函数 f x ，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。 参考文献 1 易大义，沈云宝

22、，李有法编. 运算方法 . 杭州：浙江高校出版社，20022 冯康等编 . 数值运算方法 . 北京：国防工业出版社，19873 李庆阳，王能超，易大义编. 数值分析（第四版）. 北京：清华高校出版社，施普林格出版社，20014 Burden R L ，Faires J D ， Reynolds A C. Numerical Analysis. Alpine Press,19815 易大义，陈道琦编 . 数值分析引论 . 杭州：浙江高校出版社， 1998Comparisonbetween Lagrange interpolation method andNewton interpolationm

23、ethodAbstract In the production and scientific researches, there appears a variety of functions. For some function, it is difficult tofind out its analytical expression. Though in some cases, the analytical expressions of the structure can be worked out, it is inconvenient to use them because of the

24、 complexity of structure. Interpolation method is a kind of old way to solve such problems, which is now commonly used. It is not only applied in the actual production or scientific researchesdirectly and widely, but also become the foundation of further study of numerical calculation method. Lagran

25、ge interpolation method and Newton interpolation law are two commonly used simple interpolation methods. This paper is a discussion of theory and the comparison between Lagrange interpolation method and Newton interpolation method.Key Words Lagrange interpolation ， Newton interpolation ， Interpolati

26、on polynomials ， comparison附件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结#include void mainfloat x6=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6 。int n,k,j 。float f6=0.09983,0.19867,0.29552,0.38942,0.47943,0.56464。float p,a,sum=0。printf 输入插值次数 n 和所要求 sina 的 a 的值:。scanf%d %f,&n,&a 。fork=0 。k=n。k+p=1 。forj=0 。j=n 。j+ifk.=jp=p*a-xj/xk-xj。sum=sum+p*fk 。printfx=%f,y=%f,a,sum 。可编辑资料 - - - 欢迎下载