数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、等差数列的有关概念：数列专题复习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、等差数列的判定方法：定义法an 1and d为常数 ）或 an 1ananan1 n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a 2如设 an 是等差数列， 求证：以 bn=na nnN *为通项公式的数列 bn 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

2、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列。2、等差数列的通项：ana1n1d 或 anamnmd 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如1 等差数列 an 中，a1030 ， a2050，就通项 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开头为正数，就公差的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等差数列的前n 和： Sn a1an ， Snann1 d 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn12可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 数列 an 中，anan 11 n22,nN * ， an3152，前 n 项和 Sn，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 a1 ， n （答：a13 ， n10 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知数列 an 的前 n 项和 Sn12nn 2 ，求数列 |an | 的前 n 项和 Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等差中项： 如 a, A, b 成等差数列，就A 叫做 a 与 b 的等

4、差中项，且Aab 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示 ：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中， 涉及到 5 个元素：a1 、 d 、n 、 an 及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个， 便可求出其余2 个，即知3 求 2。（ 2） 为削减运算量，要留意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a2d , ad ,a , ad , a2d（ 公 差 为 d）。 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为，a3d , ad , ad , a3d ,（公差为2 d ）5、等差数列的性质

5、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当公差 d0 时，等差数列的通项公式ana1n1ddna1d 是关于 n 的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n次函数， 且斜率为公差d 。前 n 和 Snann1 dd n2ad n 是关于 n 的二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11函数且常数项为0.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - -

6、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如公差d0 ，就为递增等差数列，如公差d0 ，就为递减等差数列，如公差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d0 ，就为常数列。（ 3）当 mnpq 时, 就有 a mana paq，特殊的，当mn2 p 时，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aman2a p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 等差数列 an 中， Sn18,anan 1an

7、23, S31，就 n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4如 an 、 bn是等差数列，就 kan、 kanpbn k 、 p 是非零常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a p, qN * 、S , SS , SS， 也成等差数列， 而 aan 成等比数列。 如 a p nqn2 nn3n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等比数列，且an0 ，就 lgan是等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如等差数列的前n 项和为 25，前 2n 项和为 100，就它的前3n

8、 和为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）在等差数列 an 中， 当项数为偶数2n 时， S偶 S奇nd 。项数为奇数2n1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S奇S偶a中 ， S2n12 n1 a中 （这里 a中 即 an ）。 S奇： S偶n :n - 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 在等差数列中，S11 22，就a6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 项数为奇数的等差数列 an 中，奇数项和为8

9、0，偶数项和为75，求此数列的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间项与项数 .（ 6 ） 如 等 差 数 列 an 、 bn 的 前 n 和 分 别 为An 、AnBBn ， 且nf n ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an2nbn2 n1) an 1bnA2n 1B2n 1f 2 n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如设a 与 b 是两个等差数列， 它们的前 n 项和分别为S 和 T ，如 S n3 n1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品名师归纳总结nnnnT n4 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 an bn(7) “首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是全部非负项之和。“首负”的递增等 差 数 列 中 ， 前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 。 法 一 ： 由 不 等 式 组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an0或an 10a n0a n 10确定出前多少项为非负（或非正）。法二：因等差数列前n 项是关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要

11、留意数列的特殊性nN *。上述两种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 等差数列 an 中，a125 ， S9S17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大可编辑

12、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值。（ 2） 如 an是等差数列，首项a10,a2003a20040 ， a2003a20040 ，就使前n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn0 成立的最大正整数n 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）在等差数列an中， a100, a110 ，且 a11| a10 | ， Sn 是其前 n 项和，就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 、 S1 , S2 LS10 都小于 0，S11 , S1

13、2 L都大于 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B、 S1 , S2 LS19 都小于 0， S20 , S21 L都大于 0C、 S1 , S2 LS5 都小于 0， S6 , S7 L都大于 0D、 S1 , S2 LS20 都小于 0， S21 , S22 L都大于 08 假如两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 留意 ：公共项仅是公共的项，其项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数不肯定相同，即争论anbm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品名师归纳总结二、等比数列的有关概念：1 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法an 1anqq为常数 ）， 其 中 q0, an0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1anann an 12) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1）一个等比数列an 共有 2n1 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，就 an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 。（ 2）数列 an 中， Sn =4 an1 +1 n

15、2 且 a1 =1，如 bnan 12an，求证： 数列 bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等比数列的通项：aa q n 1 或 aa qn m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如等比数列 an 中， a1an66 ， a2 an1128 ，前 n 项和Sn 126，求 n 和 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第

16、 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na 1qn aa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、等比数列的前n 和：当 q1 时， Sna 。 当 q1 时， S11n。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n11q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 等比数列中，q 2， S99=77，求 a3a6a 99 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

17、归纳总结（ 2）10nC k 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1k 0特殊提示： 等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时， 第一要判定公比 q 是否为 1，再由 q 的情形挑选求和公式的形式，当不能判定公比q 是否为 1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要对 q 分 q1 和 q1 两种情形争论求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、等比中项： 如 a, A, b 成等比数列，那么A 叫做 a 与 b 的等比中项。 提示 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab 。如已知两个

18、正数a , b ab 的等差中项为A，等比中项为B，就 A 与 B 的大小关系为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示 ：（ 1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到5 个元素：a1 、 q 、 n 、 an 及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn ，其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（ 2）为 减 少 运 算 量 ， 要 注 意 设 元 的 技 巧 ， 如 奇 数 个 数 成 等 比 ， 可 设 为，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa2q2 , q ,a ,a

19、q ,aq（公比为q ）。但偶数个数成等比时，不能设为a , a , aq,aq q 3q3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因公比不肯定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2 。如有四个数，其中前三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，其次个数与第三个数的和为12，求此四个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 等比数列的性质：（ 1 ）当 mnpq 时，就有am gana p gaq，特殊的，当mn2 p 时，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2am g

20、ana p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1） 在等比数列 an 中， a3a8124, a4a7512，公比 q 是整数，就a10 = 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）各项均为正数的等比数列 an 中，如 a5a69 ，就 log3 a1log3 a2Llog 3 a10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如 an 是等比数列，就|an |、 ap nq p, qN * 、 ka 成等比数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 、b 成等比数列， 就 a bann 、成等比数列。如 a 是等比数列， 且公比 q1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnnn nn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就数列Sn , S2 nSn ,

22、S3nS2n，也是等比数列。当q1 ，且 n 为偶数时，数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn , S2nSn , S3nS2n，是常数数列0，它不是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 （ 1 ） 已 知 a0 且 a1 ， 设 数 列 xn 满 足log a xn 11log a xnnN * ， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2Lx100100 ，就x101x102Lx200.可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在等比数列 a n 中，Sn 为其前 n 项和，如S3013S10 , S10S30140 ，就S20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 如a10, q1 ，就 an为递增数列。如a10, q1 ,就 an 为递减数列。如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10,0q1 ，就 an 为递减数列。 如a10,0q1 ,就 an 为递增数列。 如 q0 ，可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 an为摇摆数列。如q1 ，就 an 为常数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 当 q1 时， Sna1 q na11q1qaq nb ，这里 ab0 ，但 a0, b0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是等比数列前n 项和公式的一个特点，据此很简单依据Sn ，判定数列 an是否为等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品名师归纳总结如如 an 是等比数列，且Sn3 nr ，就 r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m nmnnm(5) SSq m SSqn S . 如设等比数列 a n 的公比为 q ，前 n 项和为Sn ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 Sn1 , Sn , Sn2 成等差数列，就q 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 在等比数列 an 中，当项数为偶数2n 时， S偶qS奇 。项

26、数为奇数2n1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S奇a1qS偶 .7 假如数列 an 既成等差数列又成等比数列，那么数列 a n 是非零常数数列，故常数数列 an 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 设数列an的前 n 项和为Sn （ nN ），关于数列an有以下三个命题：如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

27、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nanan 1nN ，就an既是等差数列又是等比数列。如Sa n 2b na、bR，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就an是等差数列。 如 Sn11，就an是等比数列。 这些命题中， 真命题的序号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是三、数列通项公式的求法一、公式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 anS（1 n1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

28、师归纳总结SnSn 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a n等差、等比数列an公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 an 满意 an 12an32 n ， a2 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、累加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 已知数列 an 满意an 1an2n1， a11 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 a 满意 a

29、a2 3n1， a3 ，求数列 a 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n1n三、累乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 a 满意 a2 n15na ， a3 ，求数列 a 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

30、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、取倒数法例已知数列 a n 中，其中 a11, ，且当 n 2 时， ana n 1，求通项公式an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an 111五、待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 an 满意 an 12 an35 n， a6 ，求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 an 满意 an 13an52 n4， a11 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、

31、对数变换法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 a 满意 a23na 5 ， a7 ，求数列 a 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n1na七、迭代法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 an 满意 an 13 n n12 n，a15 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -八、数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例已知数列 a 满意 aa8 n1， a8 ，求数列 a 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n221n2 n1 2 n39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结九、换元法例已知数列 a 满意 a1 14a124a