数值分析课件王兵团-数值分析复习题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一章绪论习题一1. 设 x0,x* 的相对误差为 ，求 fx=ln x的误差限。解：求 lnx的误差极限就是求fx=lnx的误差限，由公式 1.2.4有已知 x* 的相对误差满意，而，故即2. 以下各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接依据定义和式1.2.21.2.3就得有 5 位有效数字，其误差限，相对误差限有 2 位有效数字，有 5 位有效数字，3. 以下公式如何才比较精确？（ 1）（ 2）解：要使运算较精确，主要是防止两相近数相减，故应变换

2、所给公式。（ 1）（ 2）4. 近似数 x*=0.0310,是 3位有数数字。5. 运算取，利用：式运算误差最小。四个选项：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次、三章插值与函数靠近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值运算ln0.54的近似值并估量误差限.解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newt

3、on 插值, 并应用误差估量（ 5.8 ）。线性插值时，用0.5 及 0.6两点，用 Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5 ，0.6 ，0.7三点，作二次 Newton 插值误差限，故2. 在- 4x4上给出的等距节点函数表，如用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少 .解：用误差估量式（ 5.8 ），令因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - -

4、- - - - - - - - - -得3. 如，求和.解：由均差与导数关系于是4. 如互异，求的值，这里 pn+1.解：，由均差对称性可知当有而当 P n1 时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接绽开得6. 已知的函数表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求出三次 Newton 均差插值多项式，运算f0.23的近似值并用均差的余项表

5、达式估量误差.解：依据给定函数表构造均差表由式5.14当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3x=1.0067x+0.08367xx-0.2+0.17400xx-0.2x-0.3由此可得f0.23 N30.23=0.23203由余项表达式 5.15可得由于7. 给定 fx=cosx的函数表用 Newton 等距插值公式运算cos 0.048及 cos 0.566的近似值并估量误差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

6、名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：先构造差分表运算，用 n=4 得 Newton前插公式误差估量由公式（ 5.17 ）得其中运算时用 Newton 后插公式（ 5.18误差估量由公式（ 5.19 ）得这里仍为 0.565可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8求一个次数不高于四次的多项式p

7、x,使它满意解：这种题目可以有许多方法去做，但应以简洁为宜。此处可先造使它满意，明显，再令px=x22-x+Ax2x-12由 p2=1求出 A ，于是9. 令称为其次类 Chebyshev 多项式，试求的表达式，并证明是 -1,1 上带权的正交多项式序列。解：因10. 用最小二乘法求一个形如的体会公式，使它拟合以下数据，并运算均方误差.解：此题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

8、结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题(1) 满意条件的插值多项式px=. 2, 就 f 1,2,3,4 = ，f 1,2,3,4,5=.(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，就 ，.(4) 设是区间 0,1 上权函数为x=x的最高项系数为 1 的正交多项式序列，其中，就 ， 答：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）第 4 章数 值 积 分与数值微分习题 41. 分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式运算以下积分 .解此题只要依据复合梯形公式（6.11 ）及复合 Simpson 公式（ 6.13 ）直接

9、运算即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -对，取 n=8, 在分点处运算fx的值构造函数表。按式（ 6.11 ）求出，按式（ 6.13 ）求得，积分2. 用 Simpson 公式求积分，并估量误差解：直接用 Simpson 公式（ 6.7 ）得由（ 6.8 ）式估量误差，因，故3. 确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指

10、明求积公式所具有的代数精确度.123解：此题直接利用求积公式精确度定义，就可突出求积公式的参数。（ 1）令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3 次代数精确度。（ 2）令代入公式两端使其相等，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解出得而对不精确成立，故求积公式具有3 次代数精确度。（ 3）令代入公式精确成立，

11、得解得，得求积公式对故求积公式具有2 次代数精确度。4. 运算积分，如用复合 Simpson 公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分 .如改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分 .解：由 Simpson 公式余项及得即，取 n=6，即区间分为 12 等分可使误差不超过对梯形公式同样，由余项公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

12、-即取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过5. 用 Romberg求积算法求积分，取解：此题只要对积分使用 Romberg算法（ 6.20 ），运算到 K 3，结果如下表所示。于是积分，积分精确值为0.713272 6用三点 Gauss-Legendre 求积公式运算积分 .解：此题直接应用三点Gauss公式运算即可。由于区间为，所以先做变换于是此题精确值7用三点 Gauss-Chebyshev 求积公式运算积分解：此题直接用Gauss-Chebyshev 求积公式运算即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页

13、，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是，因 n=2, 即为三点公式，于是，即故8.试确定常数 A， B，C，及 ，使求积公式有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少. 它是否为 Gauss型的求积公式 .解：此题仍可依据代数精确度定义确定参数满意的方程，令对公式精确成立，得到由（ 2）（4）得 A=C，这两个方程不独立。故可令，得（5）由（ 3）（5）解得，代入（ 1）得就有求积公式令公式精确成立，故求积公式具有5 次代数精确度。三点

14、求积公式最高代数精确度为5 次，故它是 Gauss 型的。第五章解线性方程组的直接法习题五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1. 用 Gauss消去法求解以下方程组.解此题是 Gauss 消去法解详细方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接运算即可。故2. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵 A 的行列式 detA 的值解：先选列主元

15、， 2 行与 1 行交换得消元3 行与 2 行交换消元回代得解行列式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3. 用 Doolittle分解法求的解 .解：由矩阵乘法得再由求得由解得4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，如能分解，分解式是否唯独.解： A 中，如 A 能分解，一步分解后，相互冲突，故A 不能分解，但，如 A 中 1 行与

16、 2 行交换，就可分解为LU对 B，明显，但它仍可分解为分解不唯独，为一任意常数，且U奇特。 C可分解，且唯独。5. 用追逐法解三对角方程组Ax=b，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：用解对三角方程组的追逐法公式（3.1.2）和（ 3.1.3）运算得6. 用平方根法解方程组 解：用分解直接算得由及求得7. 设，证明解：即，另一方面

17、故8设运算 A 的行范数，列范数及F- 范数和 2 范数解：故9设为上任一种范数，是非奇特的，定义，证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明：依据矩阵算子定义和定义，得令，因 P 非奇特，故 x 与 y 为一对一，于是10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估量.，即，即解：记就的解，而的解故而由（ 3.12 ）的误差估量得说明

18、估量略大，是符合实际的。11. 是非题（如 是 在末尾（）填 +, 不是 填- ）：题目中（ 1）如 A 对称正定 , 就是上的一种向量范数（）（ 2）定义是一种范数矩阵（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 3）定义是一种范数矩阵（）（ 4）只要，就 A 总可分解为 A=LU,其中 L 为单位下三角阵， U为非奇上三角阵（）（ 5）只

19、要，就总可用列主元消去法求得方程组的解（）（ 6）如 A 对称正定 , 就 A 可分解为，其中 L 为对角元素为正的下三角阵（）（ 7）对任何都有（）（ 8）如 A 为正交矩阵，就（） 答案：（ 1）（）（ 2）（）（ 3）（）（ 4）（）（ 5）（）（ 6）（）（ 7）（）（ 8）（）第六章解线性方程组的迭代法习题六1. 证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵解：由于而故2. 方程组1考查用Jacobi法和 GS法解此方程组的收敛性.2写出用J 法及GS法解此方程组的迭代公式并以运算到为止解：由于具有严格对角占优，故J 法与 GS法均收敛。（2）J 法得迭代公式是可编辑资料 - - - 欢迎

20、下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -取，迭代到 18 次有GS迭代法运算公式为取3. 设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解： Jacobi迭代为其迭代矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结迭代法为其迭代矩阵，谱半径为，而 Gauss-Seide可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -，其谱半径为由于，故 Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。4. 以下两个方程组Ax=b，如分别用 J 法及 GS法求解，是否收敛.解： Jacobi法的迭代矩阵是即，故， J 法收敛、GS法的迭代矩阵为故，解此方程组的GS法不收敛。5. 设，detA0，用,b 表示解方程组Ax=f

22、的J 法及 GS法收敛的充分必要条件.解J 法迭代矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -，故 J 法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为由得 GS法收敛得充要条件是6. 用 SOR方法解方程组 分别取 =1.03, =1, =1.1精确解，要求当时迭代终止，并对每一个解：用 值确定迭代次数SOR方法解此方程组的迭代公式为取，当时，迭代 5

23、 次达到要求如取，迭代 6 次得7. 对上题求出 SOR迭代法的最优放松因子及渐近收敛速度，并求 J 法与 GS法的渐近收敛速度 . 如要使那么 J可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -法 GS法和 SOR法各需迭代多少次 .解： J 法的迭代矩阵为，故，因 A 为对称正定三对角阵，最优放松因子J 法收敛速度由于如要求，故，于是迭代次数对于

24、J 法，取 K15对于 GS法，取 K 8对于 SOR法8.填空题，取 K 5(1) 要使应满意（） .(2) 已知方程组，就解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（） . 它的渐近收敛速度RB=（） .(3) 设方程组 Ax=b, 其中其 J 法的迭代矩阵是（） .GS 法的迭代矩阵是（） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(4) 用

25、 GS法解方程组，其中 a 为实数，方法收敛的充要条件是a 满意（） .(5) 给定方程组,a为实数 . 当 a 满意（），且 0 2 时 SOR迭代法收敛 .答: 12J法是收敛的，3J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵(4) 满意(5) 满意第七章非线性方程求根习题七1. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间。此题 fx=x2-x-1=0,因 f1=-1,f2=1,故区间 1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在 1,2内。用二分法运算各次迭代值如表。其误差2. 求方程在=1.5 邻近的一个根，将方程改写成以下等价形式，并建立相应迭代公式.(1) ，迭代公式

26、.(2) , 迭代公式.(3) ，迭代公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似根解：（1）取区间且，在且，在中，就 L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2） ，在中，且，在中有，故迭代收敛。（3） ，在邻近，故迭代法发散。在迭代（ 1）及（ 2）中，由于（

27、2）的迭代因子 L 较小，故它比（1）收敛快。用（ 2）迭代，取，就3. 设方程的迭代法(1) 证明对, 均有, 其中为方程的根 .(2) 取=4, 求此迭代法的近似根，使误差不超过, 并列出各次迭代值 .(3) 此迭代法收敛阶是多少.证明你的结论解：（1）迭代函数，对有，（2）取，就有各次迭代值取，其误差不超过（3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

28、- - - -故此迭代为线性收敛4. 给定函数，设对一切 x,存在，而且. 证明对的任意常数, 迭代法均收敛于方程的根解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯独的（假定方程有根）。迭代函数，。令，就，由递推有，即5. 用 Steffensen方法运算第 2 题中2 、3 的近似根，精确到解: 在2 中, 令, 就有令, 得, 与第 2 题中2 的结果一样 , 可取, 就满意精度要求 .对3 有, 原迭代不收敛 . 现令令6. 用 Newton 法求以下方程的根，运算精确到4 位有效数字 .(1) 在=2 邻近的根 .(2) 在=1 邻近的根解：（1）Newton 迭代法取，就，取可编辑资料 -

29、- - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（2）令，就，取7.应用 Newton 法于方程, 求立方根的迭代公式，并争论其收敛性 .解：方程的根为，用 Newton 迭代法此公式迭代函数，就，故迭代法 2 阶收敛。仍可证明迭代法整体收敛性。设，对一般的，当时有这是由于当时成立。从而，即，说明序列单调递减。故对，迭代序列收敛于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载