抽象函数解法综述解题技巧.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -抽象函数与解题策略（一）抽象函数的定义、特点和一般解题策略（1）什么是抽象函数？那些没有给出函数的详细解析式，只给出一些特殊条件或特点的函数称为抽象函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？抽象函数往往有它所对应的详细的函数模型。例如，f x1x 2 f x 1 f x 2 对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 是 指 数 函 数a x1 x 2a x1a x 2。 f x1 x 2 f x 1 f x 2 对 应 的 是 对 数 函 数

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log a x 1x 2 log a x1log ax 2 等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟识的函数模型，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而是新定义的一种函数。抽象函数也可以与我们熟识的函数，如指数函数、 对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎合理赋值，化抽象为详细。 作恒等变形，找出该函数规律性、特点性特点。分类争论，归纳出抽象函

3、数的实质问题。（二）高考中的抽象函数（1）抽象函数在高考中的位置函数是高考数学中特别重要的一部分，依据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将 占到整个卷面分值的三分之一左右，20XX年高考上海卷中，函数相关的内容将近55 分。而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。2000 年开头，不论是全国卷仍是上海卷都对同学提出了考查抽象函数的要求。03 年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目， 03、04、05 年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、 奇偶性、 定义域、 值域、 图像以及不等式、方程等学

4、问于一体。 通过赋值整体摸索， 找出一个详细函数原型等方法去探究该函数的性质， 能运用相关性质去解决有关问题。在高考中加大对同学理性思维才能的考查以及主体创新能力的考查是新时期的一个重要特点。（3）详细的来看，抽象函数在历届高考中在哪些题型中显现过？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在最近五年的高考中，抽象函数可以显现在各种类型的题目中。例如

5、， 可以考抽象函数的填空题、挑选题（20XX年北京卷第11、12 题， 20XX年上海卷第16 题， 20XX 年上海卷第5 题，等等），仍可以考抽象函数的解答题（20XX 年全国卷最终一题，20XX 年北京卷最终一题， 20XX年上海卷最终一题，20XX年北京卷最终一题，20XX年上海卷第21 题，等等）。（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区分吗？有肯定程度上的区分。全国卷中（特殊是北京卷）常常会在最终一个大题考抽象函数，是特别典型的抽象函数性质的争论、运算和证明， 对于解题技巧、 综合运用各类学问和技能 的要求特别高。 上海卷中的抽象函数，特殊是最近几年，以一种 “定义新函数” 的

6、题型显现，突出考核同学的学习才能、应用才能和创新才能，不特殊强调解题的技巧。详细的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的。（三）典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1、设 fx是定义在实数集R 上的函数， 且满意以下关系：f 10x f 10x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 20x f 20x 。求证： fx是奇函数，又是周期函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 f 10x f 1

7、0x f 20x f 1010x f 1010x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 20xf x （ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f 20x f 20x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x f 20x （ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 40x f 2020x f 20x f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 fx是以 40 为周期的周期函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由

8、（ 1）式f 20x f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 2）式f x f 20x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x f x 即 fx是奇函数综上所述， fx是奇函数，又是周期函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 2、fx是定义在 R上的函数，且f x11f x ，（ fx 0， 1）。如 f1=2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共

9、8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求f2005的值解：11f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知f x2 1f x11f x11f x 11f x 1f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x41f x211f x f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

10、fx是以 4为周期的周函数，就f 2005f 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 3、已知函数 fx对于 x0有意义，且满意条件f2=1,fxy=fx+fy,fx是非减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数（定义：x 1x 2D ， f x1 f x 2 ，就成f x是定义域在 D上的非减函数）。（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 f1=0。（ 2）如 fx+fx 2 2成立，求 x 的取值范畴。解： 1令 x=2,y=1 ，就 f2 1=f2+f1f1=02 由已知fx+fx 2=fx 2 2x2，又 2=1+1=f2 +f2=f4

11、 fx 2 2x f4又 fx 为非减的函数x2 2x 4 即 x2 2x 4 0x 1+5 或 x 15已知 fx 对 x0 有意义，且x 20x2x15 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 4、设函数 fx的定义域为 R，对于任意实数m、n，总有f mnf mf n ，且 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时 0f x1 。（ 1）证明： f0=1，且 x1。（ 2）证明： fx在R 上单调递减。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）设 A x , y f x 2 f y 2 f 1, B x, y f axy21, aR ，如可编辑

12、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB，确定 a 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）证明：f mn f m f n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 m0, n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f m f m f 0 ，已知 x0 时， 0

13、f x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 mx0 ， nx0 ， f x 0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0f mnf mf n 1f m1 ，即当 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）x1x 2R ，就 x 2x 10,0f x 2x 1 1, fx1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 2 f x 1

14、 f x 2x 1x 1 f x 1 f x 2x1 f x 1 f x 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 f x 2x1 10fx在R 上单调递减。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） f x 2 f y 2 f 1f x 2y 2 f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2fx在R上单调递减1 （单位圆内部分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f axy21f 0axy20 （一条直线）可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB21a 21a 23a3,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 5、对每一实数对x、y ，函数 ft满意f xy f xf y xy1 。如 f 2 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求满意f tt 的整数 t 的个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 xy0 ，得f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 xy1 ，得 f 22f 12 ，又 f 22f 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 x1, y1 ，得f 11可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 x1，得f y1f y y2f y1f yy2 （）即当 y 为正整数时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f y1f y ，由f 11yN ， fy 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yN ，f y1f y y2y1即对于一切大于1的正数 t 恒有f t t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - -

17、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由（）式f 31, f 41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下证明，当整数t4 时，恒有f t0 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t4 ，就 t2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（）式f tf t1t20 即 f 5f 40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可得 f 6f 50, f t1f t20, ftf t10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相加ft f 410 ，即当整数t4 时，恒有f t0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，满意f tt 的整数只有t1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 6、定义在 R上的单调函数 fx满意 f3=log 23 且对任意 x ，y R都有 fx+y=fx+fy。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求证 fx为奇函数。 2 如 f k

19、3x f 3x9 x20 对任意 xR恒成立，求实数k 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴。证明： 1已知 f x+y=fx+fyx， y R令 x=y=0 ，代入式f0+0=f0+f0 ，即f0=0 令 yx ，代入式fx-x=fx+f-x，又 f0=0 ，就 0=fx+f-x ，即 f-x=-fx 对任意 x R 成立，就fx是奇函数。2 f3=log2 3 0，即 f3 f0，又 fx在 R 上是单调函数fx 在 R 上是增函数，又由1fx是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k3x f 3x9 x2f 3x9x2 可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k3x3x9 x2 对任意 x R 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别系数： k 3 x -3 x +9 x +2k3x21 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 u3x21223x1 ，即 u 的最小值为221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k221 时，不等式k3x21对任意 x R 恒成立3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k,221 时，命题成立。

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 7、已知f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a， b R 都满意关系式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f a b af bbf a。（ 1）求f （ 0）， f （ 1）的值。

22、（ 2）判定f x 的奇偶性，并证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明你的结论。（3）如 f22, u nf 2nn nN ，求数列 u n 的前 n 项的和Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）在f abaf bbf a 中, 令 ab0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0f 0 00 f 00 f 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、精品名师归纳总结在 f abaf bbf a中, 令 ab1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1f 1 11 f 11 f 1f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知f 1f 1 2 f 1f 10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 10f x f 1 x f x xf 1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 为奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

24、总结（ 3） 由 f a2 f a3 af aa2 f aaf aaf a2 2af a,3a2 f a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推测f an nan1f a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下用数学归纳法证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 当 n=1 时， fa1 1 a0f a ，原命题成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设当n=k 时，原命题成立，即f ak ka k1f a ，可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品名师归纳总结那么当 n=k+1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f ak 1 ak faaf ak ak f a kak fa k1a k f a ，原命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 1 ,2可知，对任意nN , f an nan 1 f a 都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uf 2 n nn 1 n 12f 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 f 22, f 1f 2122f 121 f

26、20,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f 21f 241nu21 1 n221nN , .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1Sn21 1 n 212 1 n21 nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

27、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 8、设 yf x 是定义在区间 1,1 上的函数，且满意条件：if 1f 10 。ii对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意的u, v1,1 ，都有f u f vuv 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）证明：对任意的x1,1 ，都有 x1f x 1 x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）证明：对任意的u, v1,1 ，都有f uf v 1 。可

28、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）在区间 1,1 上是否存在满意题设条件的奇函数yf x ，且使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f uf uf vf vuvu, vuvu, v 0,11 2 。如存在，请举一例。如不存在，请说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,12（1）证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知对任意的 x 1,1 ，有f xf 1x1 ， f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

29、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1xx1f x 1x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）证明：对任意的u, v1,1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 uv1 时，f uf v uv1 ，命题成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 uv1 时，由u, v 1,1 可 知 u v0 ，不妨设 u0v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

30、归纳总结都有 f uf vf uf v f uf 1f vf 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u1v11uv12uv1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，对任意的u, v 1,1 ，都有f uf v1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）答：满意条件的函数不存在。理由如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设存在函数f x 满意条件，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f uf vuvu, v 1 ,12f 1 2f 1111 ，22f 10f 1 1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -又 f x 为奇函数f 00可编辑资料 - - -