数列解题技巧归纳总结-打印4.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等差数列前 n 项和的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如等差数列an的首项a10 ，公差 d0 ，就前 n 项和Sn 有最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ，就Sn 最大an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（）如已知Spn 2qn ，就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大。可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如等差数列an的首项a10 ，公差 d0 ，就前 n 项和Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ，就Sn 最小an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（）如已知Spn 2qn ，就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式。等比数列通项公式。可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品名师归纳总结已知S （即 aaLaf n ）求a ， 用作差法 ： aS1 , n1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12nnnf 1,n1SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a1 ga2 gL ganf n 求 an ， 用作商法：anf n, n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知条件中既有Sn 仍有an ，有时先求Sn ，再求an 。有时也可直接求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 an 1anf n求 an 用累

4、加法 ： an anan 1 an 1an 2 La2a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知an 1f n 求 a， 用累乘法 ： aanan 1La2a n2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnanan 11an 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知递推关系求an ， 用构造法 （构造等差、等比数列）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的 ，（1）形如aka

5、b 、 akab n （k ,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化为公比为k 的等比数列 后，再求an 。形如 ankan 1k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列后，再求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）形如 anan 1的递推数列都可以用倒数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

6、名师归纳总结kan 1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kn 1n（ 7）（理科） 数学归纳法 。精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 8）当遇到an 1a n 1d或 an

7、1an 1q 时， 分奇数项偶数项争论， 结果可能是分段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1 、解 an+1-a n=2 为常数 a n 是首项为1，公差为2 的等差数列 an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

8、 2、已知 an 满意an 11 a ， 而 an122 ，求an =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、已知 a 中 a12， aa1，求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n解：由已知可知n 1an 1a nn4n21n1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1 2n122n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 n=1， 2，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2）

9、+（ an-a n-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana11 1212n14n34n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明只要和f （ 1） +f （ 2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1， 2，（ n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p，q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、 an 中，a11 ，对于 n 1（n N）有 an3an 12 ，求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：由已知递推式得an+1

10、=3an+2， an=3an-1 +2。两式相减：an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a 1=（ 3 1+2） -1=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n-1 an+1-a n=43 an+1=3an+2 3an+2-a n=4 3n-1即 a n=2 3-1n-12n-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=43，a4-a 3=43 ， ，an-a n-1 =43，把 n-1 个等式累加

11、得： an=23n-1-1精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p，q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb2 bb由上题的解法，得：b2 n abn1n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn 13n323n2 n3223可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 递推式为an 2pan 1qan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路：设an 2pan 1qan , 可以变形为：an 2an 1an 1an ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求 an 。(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7

13、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -关系。（ 2）试用 n 表示 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sn 1Sn anan 1 1n 2212n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ann+11n+1anan 1n12n 1n an 11 a12 n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式两边同乘以2得 2an+1=2 an+2 就2 an 是公差为 2 的等差数列。n 2 an= 2+ （ n-1 ） 2=2n

14、2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。21 3 5 2n-1=n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】 求数列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19），前 n 项的和。解此题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+n= 1 nn21 个奇数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最终一个奇数为：1+1 nn+1-1 2=n2+n-12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此所求数列的前n 项的和为（ 2）、分解转化法

15、对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1（ n2-1 ） + 2 （ n2-2 2） +3（ n2-3 2） +n（ n2-n 2）23333解S=n （ 1+2+3+n）- （ 1 +2 +3 +n ）精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规

16、律的数列，实行把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、求和： S123C6CLn3nC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10 、解S012n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n0 . Cn3Cn6CnL3nCn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n-1 S n=3n2（ 4）、错位相减法假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和2n-1例 11、 求数列 1，

17、3x ， 5x2,2n-1xn-1 前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x +2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x=0时， Sn=123n3 当 x 0 且 x 1 时，在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x23+5xn+2n-1x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 - ，得1-xSn=1+2x+2x+2x+2xn-1-2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

18、- - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 12、求和111L11. 53 .75 . 92 n12n3注：在消项时肯定留意消去了哪些项，仍剩下哪些项，一般的剩下的正项与负项一样多。在把握常见题型的解法的同时，也要留意数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 a n 的首项 a10，前 n 项的和为Sn，如 Sl =Sk（l k）问 n

19、为何值时Sn 最大？此函数以n 为自变量的二次函数。a1 0S l =Sk （ l k）， d0 故此二次函数的图像开口向下 f （ l ） =f （ k）2方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn，如 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能。解依题意可知q 1。假如 q=1，就 S3=3a1，S6=6a1， S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。3 q 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结36整理得q（ 2q -q-1 ） =0 q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料可编辑资料 - -

20、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此题仍可以作如下摸索：33336S6=S3+q S3=（ 1+q ）S3 。S9=S3+q S6 =S3（ 1+q +q ），33663由 S3+S6=2S9 可得 2+q =2（1+q +q ）， 2q +q =03换元思想【例 15】已知 a， b，c 是不为 1 的正数， x ， y ， z R+，且求证： a， b， c 顺次成等比数列。xyz证明依题意令a =b =c =k x=1og ak ，y=log bk ， z=log ck2 b =aca， b， c 成等比数列（a， b，c 均不为 0）精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载