数学归纳法及其应用举例数学归纳法二教学设计教案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题数学归纳法 二教学目标一、教学学问点1.深化懂得数学归纳法原理和证明问题的步骤.数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法.2.让同学懂得运用数学归纳法的关键为什么是其次步,而缺少第一步是不对的.3.懂得并把握递推思想在解决问题中的重要作用.二、才能训练要求1.能敏捷运用数学归纳法证明有关等式和不等式问题.2.会用递推思想解决实际问题.三、德育渗透目标1.培育同学分类思想、递推思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想方法.2.培育同学观看问题、分析问题和解决问题的实际操作才能.3.引

2、导同学进展、探究创新才能,培育同学的有效的学习方式,使同学由 “学会 ”到“会学 ”,教会同学把握自学的方法.教学重点数学归纳法原理及其运用是本课时的教学重点.数学归纳法的基本思想,即先验证使结论成立 有意义 的最小的正整数n0,假如当 n=n0 时,命题成立 ,再假设当 n=kkn0,k N* 时命题成立 这时命题是否成立不是确定的,依据这个假设 ,如能推出当n=k+1 时,命题也成立 ,那么就可以递推出对于全部不小于n0 的正整数n0+1,n0+2, n0+3,命题都成立 ,所以说其次步是数学归纳法运用的重点.教学难点数学归纳法的应用是这节课的教学难点，特殊是应用数学归纳法证明有关等式或不

3、等式中的其次步的代数式变换是一个难点，同学不知道使用整式变形的学问.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方式.在老师指导下的师生共同讨 论、探究的方法.目的是在于加强同学对教学过程的参加程度.为了使这种参加有肯定的智能 度,老师应做好发动、组织、引导、和谐和点拨.同学的思维参加往往是从问题开头的.尽快提出适当的问题,并提出思维的要求,让同学尽快的投入到思维活动中来,引导同学用已学的学问、方法予以解决,并获得新的进展,从而实现了建构主义的最终的要求.教具预备实物投影仪 或幻灯机、幻灯片幻灯片记作：A请看问题 1：用数学归纳法证明等式2+4+6+2 n=n2+n+1.如采纳下面的证

4、法,对吗？证明： 1 略.22假设 n=k 时,等式成立 ,就是 2+4+6+2k=k +k+1,那么 ,2+4+6+2 k+2k+1= k2+k+1+2 k+1= k2+2k+1+ k+2= k+1 2+k +1+1.所以当 n=k+1 时,等式也成立 .由12, 可知等式对于一切自然数nN * 都成立 .幻灯片记作：B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用数学归纳法证明：11122 22 3111 n2 n2n N* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - -

5、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如采纳下面的证明方法,对吗？为什么？证明： 1当 n=1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边121右边11,211,212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式成立 .112假设当 n=k 时,等式成立 ,即22211 1 k ,2 k211 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 n=k+1 时 , 11122223112k2k 11221121 1 k 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

6、结即 n=k+1 时,等式也成立 .由12, 可知对于任意自然数n N* ,原等式都成立.教学过程 .课题导入师上节课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题 证明题 的步骤 ,请同学说出数学归纳法的步骤.生 1数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题Pn的一种方法 . 1证明当 n=n0 时 n0 是使命题Pn成立的第一个值,命题正确 ,即 Pn0正确。2假设 n=kk N 且 kn0时 ,结论成立 ,即 Pk成立 ,证明当 n=k+1 时,结论也成立 ,也就是 PkPk+1. 依据 12, 就可以判定命题P n 对从 n0 开头的全部自然数都成立.师请同学们看投影上的问题1.打出幻

7、灯片 2.1.2 A,请同学阅读 生 2证明过程正确.生 3证明过程不正确.由于缺少第一步,而这个等式本身就是错误的,所以证明过程是不正确的 .事实上 ,当 n=1 时 ,上式左边 =2,右边 =12+1+1=3, 左边 右边 ,所以不对 .师 回答得很好！ 这个问题说明假如缺少步骤1 这个基础 ,步骤 2 就没有意义了 ,也就是失去了递推的基础,只有第一步和其次步结合在一起,才能得出普遍性结论.再看问题2. 打出幻灯片2.1.2 B,仍旧由同学阅读生 4证明过程正确,两步都证明白 .1111k1211k 1222 k2k 11 2 2 k 112 k 112生 5这是不正确的.由于递推思想要

8、求的不是n=k,n=k+1 时命题究竟成立不成立,而是 n=k 时命题成立作为条件能否保证n=k+1 时这个结论正确,即要求的这种规律关系是否成 立.证明的主要部分应改为12师完全正确.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不行.在第 2 步中,n=k 时命题成立 ,可作为条件加以运用,而 n=k+1 时的情形就有待利用归纳假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明.不能直接将n=k +1 代入命题 ,也不能直接用求和公式证明如问题 2.这节课我们将学习怎样运用数学归纳法证明恒等式和不等式板书课题 . .讲授新课1.课本例题师在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共同讨论它在等式证明中

9、的应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1用数学归纳法证明：12+22+32+n2=n n1 2 n61.板书 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师第一确定第一个值是什么,如何由 PkPk+1了？请同学摸索.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1, 右式生 6

10、 同学说。老师写证明： 1 当 n=1 时,左式 =12左边 =右边 , n=1 时,等式成立 .1231 ,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设当 n=k 时,等式成立 ,即 12+22+32+k2=kk1 2k1,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 ,12+22+32+k2+ k+1 2=k k1 2k612+k+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkkk1 2k161 2 k16k6k1 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1 2k 267 k6可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1 k2 2 k36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1 k11 2 k11.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=k+1 时 ,等式也成立 .依据 1和2, 可知等式对任何n N* 都成立 .师完全正确.生 6 在 PkPk+1 时的等式变换是很好的,要一步一步推 ,不要跳步 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2用数学归纳法证明：14+27+310+请同学们摸索一下如何证明了？生 7 到黑板上书写,老师在下巡察并指导证明： 1当 n=1 时,左边 =14=4,

12、 右边 =122 =4,左边 =右边 .等式成立 .n+3n+1= nn+12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设当 n=k 时,等式成立 ,即 1 4+2 7+3 10+k3+k+1= kk+12;那么 ,1 4+27+310+ k+3k+1+ k+1 3k+1+1 =kk+12+ k+1 3 k+1+1 =k+1 kk+1+3 k+1+1 =k+1 k2+4k+4=k+1 k+2 2=k+1 k+1+1 2. n=k+1 时等式也成立.由12 可知 ,等式对一切nN * 都成立 .生 8应当进行解题回忆,在将归纳假设代入n=k+1 时的左边表达式后,肯定要有完整的推导过

13、程 ,而不能直接写出n=k+1 时等式右边的表达式,这一点对于我们来说尤为重要.师总结得很好！目前,有些同学就是缺少解题回忆,在解完题后肯定要进行反思,反思方法和过程 ,总结规律 ,以待进一步提高.生 9这道题不用数学归纳法证明,也可以证明 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明：左边 =3 12+1+322 2可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品名师归纳总结2 +2+3 3 +3+3 n+n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=31 2+22+32+n2+1+2+3+n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3nn1 2n16nn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn=nn+12=右边 ,1 2n121 2n12nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式成立 .生 10你的证明过程中运用了例1 的结论 ,而例 1 又不是公式 ,所以 ,我认为你的证明跳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步.除非你先证明12+22+3 2+n2=nn1 2n61) 才行

15、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师生9 的证明思路是对的,正如刚才生10 所言要先证一个帮助命题,然后才能利用. 但你的证法不符合题目的总体要求 用数学归纳法证明等式,所以平常解题肯定要按要求 去做 .2.精选例题例 1 20XX 年全国高考天津市试题压轴题设 a0 为常数 ,且 an=3 n-1-2an-1 n N* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3nn-111求证 :对任意 n 1a,n=+-152n +-1 n2na0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设对任意n 1有,an an-1 , 求 a0 的取值范畴 .可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品名师归纳总结生11 1 n=1时 , 左边 =a1=31-1-2a1-1=1-2 a0,右边 =1 31+-1 021 +-1 1 211a0=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3+2+-1 121a0=1-2 a0, 55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边 =右边 . n=1 时等式成立 .其次步 ,我就不会证明白.师假设n=k 时,等式成立 ,即可以翻译成什么样的式子了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 11ak=1 3k+-1 k-12k +-1 k2k a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5师当 n

17、=k+1 时,等式的两边表达式各是怎样的了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 11右 =1 3k+1+-1 kk+1 +-1 k+1k +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 225a0,左=ak+1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师 ak+1 能否用 ak 来表示了？请看已知递推关系.生 11ak+1=3k -2ak.师如何利用归纳假设ak 的表达式了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 11 a=3k-2a=3k-21kk-1k +-1 k k13k+1kk+1+-1 k+1k+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

18、纳总结k+1k 3 +-1252 a0 =5+-1 22a0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=k+1 时 ,等式也成立 .由上述可知 ,等式对一切n N * 都成立 .师你不是证明得很好吗？要自信！生 12第2 题也用数学归纳法求解.先取 n=1,2 时有 a1-a0=1-3 a0 0,a2-a1=6a0 0,因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

19、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 a01.下面用数学归纳法证明.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 13 径直走到黑板前,边讲边写 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 an 通项公式5an-an-1 =23n-1 +-1 n-1 32n-1 +-1 n532n-1 a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 当 n=2k-1, k=1,2,3,时,5an-an-1 =23n-1+32n-1-5 32n-1a0 22n-1+32n-1-52n -1=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

20、结ii 当 n=2k,k=1,2,3,时,5an-an -1=2 3n-1-32n-1+532n-1a0 23n-1 -32n-1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 a0 的取值范畴为0, 1 .3师生 12 的思路特殊好 ,充分利用题设探究出a0 的范畴 ,生 13 给出了特别美丽的证明.同学们 ,你们的实力是坚实的,只要再细心一点和规范一点那就更好了.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11例 2求证 :n2时,n1n2193n10.板书 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由同学自行完成第一步的验证。其次步中的假设,老师应重点讲解PkPk +

21、1命题的转化过程 师当 n=k+1 时,不等式的左边表达式是怎样的？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 14当 n=k+1 时,左边11k2k311.3k3k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师考虑是否正确？1 是否是此数列的第k 项？明显 ,3k1不是第 k 项,应是第 2k 项,3k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列各项分母是连续的自然数,最终哪一项以3k 收尾 ,故 n=k+1 时 ,最终一项应为1.根3k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据此数列分母的特点,在 3k 后面仍

22、有3k+1,3k+2,最终才为3k+3, 即 3k+1, 所以正确的答案是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边11k2k3113k3k113k21.3k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在这里 ,同学极易显现错误,错误的思维定势认为从n=k 到 k+1 时,只增加一项 ,求和式中最终一项即为第n 项的通项 .老师在这里应重点分析,化解难点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 了 能 利 用 归 纳 假 设 , 左 边 仍 要 添 上1项 , 故 当n=k+1时 , 左 边k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

23、欢迎下载精品名师归纳总结11k2k3113k3k113k213k1111k1k2k31 13k3k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13k213k119k11013k113k211.3k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明确转化目的,即向9 方向努力 ,为了防止通分化简一系列烦琐运算,应针对问题的特点,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇妙合理的利用“放缩技巧 ”使,问题获得简捷的证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 15由于

24、13k113 k1,13k213k,因此1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边91013k113k213k119k11013k113k1113k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -9=右边 .10所以 n=k+1 时不等式也成

25、立.师设Sn表示原式左边 ,fn表示原式右边,就由上面的证法可知, 从 n=k 到 n=k+1 的命题的转化途径是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要留意：这里Sk不肯定是一项,应依据题目情形确定. .课堂练习用数学归纳法证明：111.20XX年河南模拟题设fx=1+23证: n+f1+ f 2+f n-1= nfnn N* 且 n2.1x Nx*.求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 :1 n=2 时,左边 =2+ f1=2+1=3, 右边 =2f2=21+等式成立 .1=3.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 n=k 时等式成立 ,即

26、 k+f1+ f2+fk-1= kfk.那么当 n=k+1 时,左边 =k+1+ f1+ f2+fk-1+ fk=kfk+1+ fk= k+1 fk+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=k+1 f k-k1=k+1 fk+1-1+1=k+1 fk+1,1 +1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 n=k+1 时,等式亦成立 .由12 知,对于 nN * 且 n2等,式成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.12+3 2+52+2n-12=n4n2-1.13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+5提示： n=k 时结论成立 ,即

27、 12+322+2k-12= 132k4k-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 n=k+1 时 ,12+32+5 2+2k-12+2k+12=1k4k2-1+2 k+1 213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=2k+1 k2k-1+32 k+1 312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=2 k+1 2k31+5k+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=2 k+12 k+3 k+131= k+1 2k+1+1 2k+1-1 .31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.1 2+2 3+3 4+nn+1=n n+1 n+

28、2.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示： n=k 时,结论成立 ,即 12+23+34+k+k+1=1kk+1 k+2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 n=k+1 时 ,1 2+23+34+1k+k+1+ k+1 k

29、+1+1=1k k+1 k+2+ k+1 k+23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= k+1 k+2 k+3.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.1 n -1+2 n -2+3 n -3+nn -n =n n -1.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示：假设n=k 时结论成立 ,即 1k2-12+22222+kk22122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k-2 +3 k -3-k =4k k-1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 n=k

30、+1 时 ,1 k+12-12+2 k+1 22 +3 k+1 22+k k+1 22+ k+1-2-3-k k+12-k+1 2 =1 k2-12+2 k+1 +2 k2-22+2 k+1 +3 k2-32+2 k+1 +k k 2-k2+2 k+1 +0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1k2-12+2 k2-22+3 k2 -32+kk2-k2+2 k+1 1+2+3+k+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122k k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=k k41-1+2 k+1 22=kk+1 kk-1+4 k+24可编辑资料 - - -

31、 欢迎下载精品名师归纳总结=kk+1 k41+3k+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=kk+1 k+1 k+2412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=k+14 k+1-1 k+1+1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k+1 2 = 1 k+12-12 .45.假如 x 0,n 为正奇数 ,那么 xn +xn-2+x2- n+x-nn+1.分析：由于n 是正奇数 ,在假设 n=k 不等式成立后,下一步应证明n=k+2 时不等式成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 1当 n=1 时,x 0, x+x-1 2即,命题成立 .

32、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k2假设 n=k 时命题成立 ,即 xk-2+x+x2-k-k+xk+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就n=k+2时,xk +2+xk+xk-2+x2-k+x-k+x-2-k=xk+2+x- k+2+xk+xk -2+x2- k+x-k 2k+1= k+2+1. n=k+2 时,不等式成立 .由12, 可知对一切正奇数n,不等式成立 .解题回忆： 1 有些命题可能仅当n 为偶数 或奇数 时成立 .这时 ,在第一步中 ,应验证 n=n0取偶数 或奇数 时成立 ,在其次步中应从n=k 递推到 n=k+2.2 此题如验证了n=2 时

33、不等式成立,就就可推出不等式对一切正偶数也成立,从而得出此不等式对一切自然数都成立. .课时小结用数学归纳法证明等式,其步骤是先证明当n= n0 时等式成立 左边与右边的值相等,再假设当 n=k 时等式成立 ,利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1 时等式也成立. 留意 n=k+1 时的等式是待证明的,常采纳从一边开头以另一边为目标进行推证的方法.可以看出,推证过程中除运用归纳假设外,较多的运用了整式变形的学问.用数学归纳法证明不等式是较困难的课题 ,除运用证明不等式的几种基本方法外 ,常常使用的方法就是放缩法 ,针对目标 ,合理放缩 ,从而达到目标 .数学归纳法也不是万能的 ,

34、例如 ,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1119254912n1 21n N4* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结错误会法： 1 n=1 时,左边1,右边91,就左右 ,不等式成立.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11