数学思维训练教材六级上册2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -目录第 1 讲比较大小1第 2 讲速算与巧算4第 3 讲比的意义和应用7第 4 讲按比例安排10第 5 讲分数应用题（一）13第 6 讲分数应用题（二）15第 7 讲列方程解分数应用题17第 8 讲百分数应用题19第 9 讲单位“ 1”的妙用21第 10 讲倒推法解题23第 11 讲对应法解题25第 12 讲利润和利息27第 13 讲巧算周长29第 14 讲智求面积32第 15 讲鸡兔同笼35思维训练检测（一）37思维训练检测（二）49可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 -

2、 - - - - - - - - -第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 1 讲比较大小在平常数学学习，特殊是数学竞赛中，我们常常遇到一些题目：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）比较这几个分数的大小：2 、 3 、 10 、 12 、 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结57232937可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）试比较55和777555，那个分数大？7777可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结假如我们不去讨论其中的规律，信任大家肯定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些学问和方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1： 已知 A1 2 =B33=C49 =D104 =E51 1 ABCDE 都不等于 0，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 A 、 B、C、D、E 按从大倒小的次序排叠起来。分析与解为了便利比较，我们第一将这五个算式统一写成乘法形式，这样原先可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的算式就变成 A这一问题。1 2 =B31 1 =C39 =D104 =E55 。下面我们可以运用

4、倒数的学问来解决6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一我们可以假设全部算式的运算结果等于1。那么， A 就是1 2 的倒数，即33 。同5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理， B 应是 3 ，C 是1 1 ，D 是1 1 ，E 是1 1 。这样，我们很简洁就能比较出这五个数的4945大小。由于 1 1 1 1 1 1 3 3 , 所以 DECBA.45945随堂练习一：假如 a=b1 2 = 5 c=d4 a 、b、c、d 均不等于 0 ，a、b、c、d 四个数中，谁最大 .565谁最小？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：将以下分数从小到大

5、排列起来：23101215、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结57232937分析与解比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就此题而言，假如用通分再比较，太麻烦，我们可以依据“同分子的分数，分母大的分 数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较简洁了。 由于 2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，依据分数的基本性质，可以把它们分别化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 ： 60 、15060 、14060 、13860 、14560 。148可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 150 148

6、 145 140 138，可以得到： 15 12 3 10 。60 15060 14860 14560 14060 ，即 21385可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3729723方法点评假如几个分数的公分母比较大时， 采纳先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

7、- - - -随堂练习二：把以下分数按从小到大的次序排列起来。5 、 6 、 15 、 10 、 301719463337可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3：已知 A=5555553 ， B=5555555666661 。试比较 A 与 B 的大小。666663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采纳“先同分、再比较”，仍是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不简洁。但认真观看，可以发觉：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以依据这一特点， 先比较这两个分数与1 的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把

8、它称为“间接比较法”。由于比 A 比 1 少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2， B 比 1 少55555552，而666663255555552，所以 AB。666663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法点评假如两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法， 即先比较这两个分数与1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较以下两个分数的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结443445557和 559可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4：比较55和777555 ，那

9、个分数大？7777可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采纳通分或化成同分子的分数的方法，但明显不是正确方法。认真分析这两个数，可以发觉 这两个数的分母都比分子的14 倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55的倒数是77714 755， 555的倒数是7777147555，由于 147 14557555，所以55777555。7777可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法点评从此题可以看出， 假如两个

10、分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采纳比较倒数的方法比较简便。随堂练习四：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试比较19 和19217的大小。172可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5：试比较下面两个分数的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1207 和100622072006可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解观看这两个分数， 你会发觉用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发觉，其次个分数的分子2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000，即第一个可编辑资料 - - - 欢迎下载

11、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分数 1207 的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于其次个分数10062207 。2006可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法点评当 ab时，a ak ,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bbk可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结得到的新分数比原分数小，所以1207 10062207 。同理，一个真分数的分子和分母都加上2006可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五：比较 29 与 129 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23123拓展训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、把下面及格分数依据从大到小的次序起来。18 、 36 、 31 、 47 、 1519373248162、比较下面两个分数的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结499 和9993、比较5011001221 和33

13、2443 的大小。665可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、比较987654321 与9876543212021 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1234567891234567892021可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、比较7171 与8383717171 的大小。838383可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

14、纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结专题简析：第 2 讲速算与巧算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习数学离不开数的运算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学学问、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必需做到运算精确而又快速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例 1：运算下面各题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 64 1179（2）20032003 20032004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解同学们都会运算带分数除法，但信任同学们看

15、了这两道题目后，都会可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结感到运算太麻烦，假如我们开动脑筋想一想，就会发觉：可以把（1） 64 117分成一个9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使运算简便。把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003 后，运算就很简便了。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 64 1179（2）20032003 20032004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=（63+1 1） 9=（ 20032003） （ 200320032003）可编辑资料 - - -

16、 欢迎下载精品名师归纳总结17=639 +1 11720049=1（ 20032003+ 20032003）2004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=7+ 181179=1112004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 7 217= 20042005可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法点评： 有些分数四就运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有简洁出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在运算，往往可以达到事半功倍的成效。随堂练习一：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算：（1）5555（2）16756167 167

17、168可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：运算：（1+ 113411 ）（ 1+ 15641 ）（ 1+ 1541 ）（ 1153411 ）56可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解这道题虽然算式很长， 但认真分析其中的数据， 可以发觉组成这个算式的数并不多，我们可以把重复显现的数用字母表示，这样可以简化题意，便利简算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 113411 =A1+ 15641 =B，原先的算式可以转化成：5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1+A）B-BA=B+AB-AB=B所以此题的结果为： 1+ 141 =

18、1 9520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法点评 ：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发觉规律。随堂练习二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算：（1+ 357 ）（2 + 357 ）-（ 1+ 2 + 357 ）（ 357 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品名师归纳总结789例 3：运算5789112112321122233333.5789789可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1250503.4850504950505049485050.215050可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解这组分数的特点是：分母为1 的分数有 1 个，分母为 2 的分数有 3 个，分母为 3 的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来运算，即（首项+末项）项数 2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50）

20、 502=1275方法点评： 在数列求和中，发觉与讨论数列规律是解决有关问题的前提，敏捷选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112122112233321333. + 120232020.192020192020. 2 .12020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4：运算：（1）（ 13 21111 213）（ 55 ）1113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 2002200320022002200320032002200

21、22002200320032003可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发觉：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13 21111 213=14511145 =145113111 ,513115 =5113111 . 所以，13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式=（ 14511145 ）（ 513115 ） =145 113111 5113111 =145 5=2913可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）我们留意到， 这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和

22、 2003 组成。因而我们可以先采纳分解质因数，找出其中的规律，再进行简便运算。由于 2002=2002120022002=2002 10001200220022002=20021000110001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 2002+20022002+200220022002=2002同理 2003+20032003+200320032003=2003（ 1+10001+100010001）（ 1+10001+100010001）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式= 20022003110001110

23、001100010001100010001= 20022003可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -随堂练习四：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算：（1）（ 9 11111 19）（ 44 ）119可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 1723171723231

24、717172323231717171723232323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5：运算112112334.11920可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解这道题的加数很多， 假如采纳同分后运算公分母肯定很大，这明显不切合实际。下面我们来分析一下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=1- 1 ，1= 11 ，.1= 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122231111223342.31192019=1-20191 + 1122320+ 111920可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1- 120= 19

25、20方法点评： 这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，假如不是，方法就不同了，裂项法的主要运算方法可以用下面公式来概括。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 ab 时,1= 1aba1 1bba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随堂练习五：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11运算1223.199100拓展训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.、运算（ 1+ 11）（ 11 + 1 ） - （1+ 11 + 1

26、）（ 11 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4545645645可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、运算（234343436343.98343） -（36865686.99 ）686可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、运算 19231191923231191919232323119191919232323231191919191923232323231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、运算 144771010131316可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、运算（ 1+ 1 ） （ 1- 1 ）（ 1+ 1 ）（

27、 1- 1 ）（ 1+ 1 ）（ 1 1 - ）22335050可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 3 讲比的意义和应用比有神奇的作用，在很多分数、百分数应用题中，假如恰当运用比的学问，你会真正懂得什么是“事半功倍” 。在这一讲，我们一起讨论这方面的学问。例 1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12, 另一只杯子中盐与比是

28、 15 。如把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了， 由于两只杯子相同， 所以设每只杯子中的盐水为1，就第一支杯子中的盐占可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ，水占122 。其次只杯子中的盐占121，水占155。两只杯子中的盐水混合后，15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结盐为1+1= 1 ，水为2+5=3 。所以，混合液中的盐与水的比为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1215212152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1+1）（1215= 1

29、32+5）1215可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22=13。答：混合后，盐与水的比为 13。方法点评： 求两个量的比时， 第一要能正确分析与运算每个量所占的份数或分率， 然后再进行解答。随堂练习一：六年（ 1）班男、女人数的比是54，六年（ 2）班男、女人数的比是21，两班人数相等。求六年（ 1）班男男生与六年（ 2）班男生的人数比。例 2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的1 ，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结占正方形面积的1 ，三角形中阴影部分的面积占三角形面3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积的 1 ，占正方形面积的 51 。圆，正

30、方形、三角形面积的4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最简整数比是多少 .分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，由于圆和三角形都与正方形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是 :12 1 1 =16。三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的面积为： 12 1 1 =15。所以这三个图形的面积比就是： （1245341 1 ）12（ 1234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 41 ） =1612155可编辑资料 - - - 欢

31、迎下载精品名师归纳总结方法点评在求几个量的比时， 我们可以先假设其中一个量等于几，然后依据条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -运算出其他量，再求比，这样解决问题比较简洁。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方形面积的1 ，相当于小长方形面积的71 。这两个4可编辑资料 - -

32、 - 欢迎下载精品名师归纳总结长方形的面积比是多少？例 3： 有大小两个长方形，大长方形的长比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小长方形的长多1 ，而小长方形的宽比大长方形的宽多41 . 。求这两个长方形的面积比。10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解大长方形的长比小长方形的长多1 ，可以把小长方形的长看做4 份，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大长方形的长就是1+4=5 份。小长方形的宽比大长方形的宽多1 . 。可以懂得成八大长10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方形的宽看做 10 份，小长方形的宽是1+10=11 份。所

33、以，这两个长方形的面积比为：5 10 411=5544= 25 22答：大小两个长方形的面积比为25 22。随堂练习三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多比。1 。求两个正方形的周长4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4： 六年（ 1）班男人数的个班男、女生各有多少人？2 与女生人数的34 相等，已知男生比女生多5 人，这5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析与解依据男人数的2 与女生人数的34 相等，可以列出数量关系： 男生人数5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 =女生人数 4

34、 。35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设男人数的2 与女生人数的34 都是1，就男生人数为152 = 3 。女生人数为32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14 = 5 。所以，男、女生人数的比为：54（12 ）（ 14 ）35= 3 524=65每一份的人数就是： 5（ 6-5 ）=5（人） 男生人数就是： 56=30（人）女生人数就是： 55=25（人）答：男生有 30 人，女生有 25 人。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -随堂练习四：拔一根绳子按 53 截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2 米。这根绳子原先全长多少米？例 5： 小丽读一本书，已读的页数和未读的页数的比是1 5，如再读45页，就已读的