数学物理方法总结.docx

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1、精品名师归纳总结数学物理方法总结第一章 复变函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数的 代数式 :z=x+iy复数的 三角式 和指数式 : zcossin 和zei可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结欧拉公式 :sin z1 eiz 2ie iz 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos z1izizee2u uv y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结柯西 - 黎曼方程 或称为柯西 - 黎曼条件 : 其中 fz=u+ivvvxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 fz=u+iv在点z0 及其领域上到处可导 , 就称 fz

2、在 z0 点解析 . 在区域 B 上每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一点都解析 , 就称 fz是在区域 B 上的解析函数 .解析函数的性质 : 1. 如函数 fz=u+iv在区域 B上解析 , 就 ux, yC1,v x, yC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 C1,C2 为常数 是 B 上的两组正交曲线族.2.如函数在区域 B 上解析 , 就 u,v 均为 B 上的调和函数 , 即22uv0x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 :已知某解析函数 fz的实部ux, yx2y2 , 求虚部和这个解析函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品名师归纳总结解答 :由于2u=2;x22 v2u=-2; 就y2x22 vy20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线积分法u =2x;u =-2y. 依据 C-R 条件有 :v =2y;v=2x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy于是dv2 ydx2 xdy ;xy x,0 x, y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结v2 ydx2xdyC2 ydx2xdy2 ydx2xdyC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x, y x, y x,02xdyC2xyC0,0x ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结凑全微分显式

4、法由上式可知dv2 ydx2 xdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就易得dvd 2 xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就明显 v2 xyCvv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不定积分法 上面已有=2y;x=2xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就第一式对 y 积分,x 视为参数 , 有 v2xy x2xyx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式对 x 求导有v2 y x x, 而由 C-R 条件可知x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而xC

5、 . 故 v=2xy+C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f zx2y2i 2 xyC z2iC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章 复变函数的积分单连通区域柯西定理假如函数 fz在闭单连通区域 B 上解析 , 就沿 B 上任意一分段 光 滑 闭 合 闭 合 曲 线l也 可 以 是 B 的 边 界 ,有f zdz0 .l复连通区域柯西定理假如 fz是闭复连通区域上的单值解析函数, 就n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f zdzli 1lif z dz0 . 式中 l为区域外边界线 , 诸 li可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为区

6、域内边界线 , 积分均沿边界线的正方向进行. 即n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结柯西公式f f zdzli 11f z dzf zdz .li可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 in 次求导后的柯西公式l z nfn. zf n 1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2il z第三章 幂级数绽开幂级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a zz kaa zz a zz 2.a zz k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k001020k0k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 a0 ,a1 ,a2 ,

7、a3 , 都是复常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比值判别法 达朗贝尔判别法 1. 如有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limak 1k 1zz0limak 1zz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k0kazzka可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k就 a0a10zz0k2a2 zz0.kakzz0.收敛 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a zz kaa zz a zz 2.a zz k. 肯定收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k00102

8、0k00k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如极限lim a/ a存在 , 就可引入记号R, Rlimak, 于是 , 如zzR ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkk 1就kak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a zz kaa zz a zz 2.a zz k. 肯定收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k2. 如k0zz0001020k0R, 就后项与前项的模之比的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limak 1k 1zz0klimak 1R1 , 即说

9、明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kazzkak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k0a zz kaa zz a zz 2.a zz k. 发散 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k001020k0k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 :求幂级数 1z2z4z6. 的收敛圆 ,z 为复变数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答 :由题意可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rlimkak1ak1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 1z2z4z6.1z1z21.可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品名师归纳总结泰勒级数绽开设 fz在以z0 为圆心的圆CR 内解析 , 就对圆内的任意z 点,fz可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结展为幂级数 ,f zak zz0 kk 0, 其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f f n z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kad0,02 iCR1 z k 1k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1CR 为圆CR 内包含 z 且与CR 同心的圆 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 :在 z00 的领域上将f zez 绽开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

11、纳总结解答 :函数f zez 的各阶导数f n zez , 而f k z f k 01 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00就 ez 在 z0 的领域上的泰勒绽开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzz2z3z4zkzk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e1.1.2.3.4.k .k 0 k.azz 2a zz 1aa zz 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结双边幂级数20100102a2 zz0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结洛朗级数绽开设 fz在环形区域 R2zz0R1 的内部单值解析 , 就对环域上的可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任一点 z,fz可展为幂级数f zka zz k. 其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k0k0a1f d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 iC z k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分路径 C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1:在1z的环域上将f z1/ z2k1展为洛朗级数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答 :11111111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222z21z11z2z

13、k 0zz2z4z6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 2:在 z01 的领域上将f z1/ z21 展为洛朗级数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答 :由题意得f z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z12 z1z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 z-1 的 -1 次项 , 而11111 1k zk1z12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z1z122 1111z12 k 022kz1 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 f z

14、 1 .2 z14 k 02第四章 留数定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留数定理 设函数 fz在回路 l所围区域 B 上除有限个孤立奇点b1 ,b2 , ,bn 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结析, 在闭区域 B 上除nb1 ,b2, ,bn 外连续 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f zdzl2 iRe sf bj 2j 11ia 1 .d m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中, aRe sf b lim zbm f z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1jzbj m1.dz m 1j可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1:单极点的留数为Re sf z0 limzz0zz0 f z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2:如 fz可以表示为 Pz/Qz的特别形式 , 其中 Pz 和 Qz 都在z0 点解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结析, z0 是 Qz 的一阶零点 Q z0 0 .P z00 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Re sf zlimzz PzlimPz zz0 P zP z0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0zz0QzzzQ zQ z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

16、归纳总结000上式最终一步应用了罗毕达法就.留数定理的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2类型一0Rcos x,sinxdx . 作自变量代换zeix. 就式子变为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zz 1zz 1dzIR,.z 122iz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例题 :运算 Idx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结02cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答 :I2dxi02cosxz 1dzzz 12iz 1 z2dz,4z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Z的单极点为z1,2z

17、22416423 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 Re s 232ilim zz23232z1i ,4 z13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 23 不在圆 z1内. 故 I2.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二f x dx . 积分区间是 , ; 复变函数 fz在实轴上没有奇点 , 在上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半平面 除了 有限个奇点外是解析的; 当 z 在上半平面及实轴上时,zfz一样的0 . 就式子可以变为If xdx2i fz在上半平面全部奇点的留数

18、之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 :运算dx.1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答 :Idz1z2的单极点为z1,2i .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Re sf i 2i limzizi 12z1, 故dx.21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型三0F x cos mxdx ,0Gxsinmxdx , 积分区间是 0, ; 偶函数 Fx 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数 Gx 在实轴上没有奇点 , 在上半平面除了有限个奇点外是解析的; 当z 在上半平面或实轴上,Fz 及 Gz 一样的

19、0 . 就式子可以变为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xcos0mxdxi F xeimx在上半平面全部奇点的留数之和 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Gxsin0mxdx G xeimx在上半平面全部奇点的留数之和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如类型二 , 类型三的实轴上有有限个奇点, 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x dx2iRe sf ziResf z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在上平面实轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

20、归纳总结其中 , 在类型三中 fx应懂得为F x eimz 或 G x eimx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第五章 Fourier变换傅里叶级数周期为 2l 的函数 fx可以绽开为级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xaa cos kxb sinkx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0kkk 1ll可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak其中,1lfllk cos kd l,k =2k0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1lkllf sin kd l1k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

21、注:积分上下限只要满意上- 下=2l即可.k x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数形式的傅里叶级数f xkicke l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1li k x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中cf e l* d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结傅里叶积分f xkAcos02llxdBsinxd0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结傅里叶变换式AB11f xf cosf sin1d di xF ed可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复数形式的傅里叶积分傅里叶变换的性质2F 1 2f x ei x

22、* dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 导数定理 Ffx=iwFw x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 积分定理 Ff d=iwF w可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 相像性定理Ffax=1wF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 推迟定理 Ff xx0 = eiwx0 F w可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 位移定理 Feiw 0xf x =f ww0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 卷积定理 如 Ff1

23、x =F1w ,Ff2 x =F2 w , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F f1 x *f2 x = 2F1 w F2 w .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 x0 xx其中 f1 x *积.0.0f2 x f1 f2 xd 称为f1 x 和f2 x 的卷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bxdx 0a, b都a1a0b函数的一些性质0,或都 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. x 是偶函数 .x xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2. H xt

24、 dt0 x0.1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. f t0 dft 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第六章 Laplace变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉普拉斯变换f pf t e0pt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉普拉斯变换的一些性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 线性定理 如f1 t f1 p ,f 2tf2 p , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c1 f1

25、t c2 f tc1 f1 pc2 f 2 p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 导数定理f t p f pf 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 积分定理t d01 L p .p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 相像性定理f at 1pf .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 位移定理et f tf p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 推迟定理f tt0e pt0f p .可编

26、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(7) 卷积定理 如f1 t f1 p ,f 2tf2 p , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f1t* f2 t f1 p f2 p,t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 f1 t *f 2 tf1 0f2 t d称为f1t 和f 2t的卷积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第七章 数学物理定解问题ua2(1) 匀称弦的微小振动, 匀称杆的纵振动 , 传输线方程 , 匀称薄膜的微小横振动, 流可编辑资

27、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结体 力 学 与 声 学 方 程 , 电 磁 波 方 程 的 形 式 为2ua uttxx0 或 tt2u0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结utta 2u0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3(2) 扩散方程 , 热传导方程的形式为2ua utxx0 或 ua 2u0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t(3) 稳固浓度分布 , 稳固温度分布 , 静电场 , 稳固电流场方程的形式为 拉普拉斯方程u0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 以上方程中程=fx,y,z,t.定解条件ux

28、意为u, uxx 意为x2u2 . 如以上各方程均为有源, 就方程为 各方x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初始条件 初始”位移”初始”速度” 边界条件 第一类边界条件u x, y, z, t t 0ut x, y, z,t t 0ur , t fu x, y, z ,x, y, z .M , t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次类边界条件nf M,t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三类边界条件uHunf M,t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

29、精品名师归纳总结连接条件u x00, t u x00, t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tux x00, t Tu x x00, t F t .T为张力 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结达朗贝尔公式定界问题11x at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结达朗贝尔公式u x,t xat xat d.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22ax at可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 u t0x,ut t0 x . x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第八章 分

30、别变数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泛 定 方 程2ua uttxx0 如 该 方 程 可 以 使 用 分 离 变 量 法 , 就 可 以 化 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T tX x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2T t .X x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X xX x0 在不同的 边界条件 下解不同 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边界条件 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1X 00X l 0,Xx 的解为 lX xC sin n其中 n=1,2,3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2X 00,Xx 的解为 k1 2 2