数值分析计算方法总结2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是 的肯定误差，是 的误差， 为 的肯定误差限（或误差限）为 的相对误差，当较小时，令相对误差肯定值得上限称为相对误差限记为：即：肯定误差有量纲，而相对误差无量纲如近似值 的肯定误差限为某一位上的半个单位，且该位直到 的第一位非零数字共有n 位，就称近似值有 n 位有效数字，或说精确到该位。例：设 x=3.1415926那么, 就 有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。科学计数法： 记其中如， 就 有 n位有效数字，精确到。由

2、有效数字求相对误差限：设近似值（）有 n 位有效数字，就其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值（）的相对误差限为为就它有 n 位有效数字（）令 、 是、 的近似值，且、1.x+y 近似值为 且（）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为 3. xy 近似值为 且（）4.1防止两相近数相减2防止用肯定值很小的数作除数3防止大数吃小数4尽量削减运算工作量其次章非线性方程求根1. 逐步搜寻法设 f a 0 ，有根区间为 a,b ，从 x0=a 动身，按某个预定步长 例如 h= b- a/ N 一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜寻，即判别f xk= f a+kh 的符号，如

3、f xk 0 而 f xk -1 0,就有根区间缩小为 xk -1 , xk 如 f xk=0 ， xk 即为所求根 ,然后从 xk -1 动身，把搜寻步长再缩小，重复上面步骤，直到满意精度：| xk - xk -1 | E 为止，此时取 x* xk+xk-1 /2作为近似根。2. 二分法设 f x 的有根区间为 a, b= a0, b0,f a0. 将 a0, b0 对分，中点x0= a0+b0/2,运算 f x0 。对于给定精度，即， 可得所需步数， 3. 比例法一般的，设 ak, bk 为有根区间，过 ak,f ak 、 bk,f bk 作直线，与x 轴交于一精选资料，欢迎下载可编辑资料

4、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。点 xk , 就： 1. 试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。2. 比例法不是通过使求根区间缩小到0 来求根，而是在肯定条件下直接构造出一个点列（递推公式） ，使该点列收敛到方程的根。 这正是迭代法的基本思想。事先估量 :事后估量局部收敛性判定定理：设为方程的根，在 的某一邻域内连续，且，就该迭代局

5、部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必需选在精确解的邻近Steffensen迭代格式：Newton 法： Newton 下山法：是下山因子弦割法： 抛物线法：令可化为其中：就：设迭代xk+1 = g xk收敛到 g x的不动点（根） x*设 ek = xkx* 如，就称该迭代为p （不小于1）阶收敛，其中C 不为 0 称为渐进误差常数第三章解线性方程组直接法列主元 LU 分解法：运算主元，选主元精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - -

6、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。，（ ，（ ，即为上式主元，对于 Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解： L 为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。Crout 分解： L 为下三角矩阵，U 为单位上矩阵。可分解为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，下三角方程组，上三角方程组如利用紧凑格式可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，（ ）Cholesky平方根法：系数矩阵A 必需对称正定其中， ， 改进 Cholesky 分解法： ，。由，逐行相

7、乘，（ 为削减运算量，令，可改为：，（ 精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。，等价于其中： 追逐法： Ax=dA=LU, 可化为 Ly=d,Ux=y，（ ，范数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量范数：，范数或欧氏范数，范数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，列范数可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品名师归纳总结矩阵范数：，谱范数，行范数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结谱半径 :为特点值且如为对称阵就：收敛条件：谱半径小于1条件数：，第四章解线性方程组的迭代法Jacobi迭代： 基于 Jacobi迭代的 Gauss-Seidel迭代 :迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1 能推出收敛但不能反推精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

9、- - - - - - - -。逐次超放松迭代（SOR）:或： 当=1 时，就是基于Jacobi迭代的 Gauss-Seidel迭代（加权平均） 。第五章插值法Lagrange插值法：， ，就 ， 构造插值函数：，令就： 如记： 就可改为： （），就 就插值余项： 逐次线性插值法Aitken（埃特金法） ：Newton插值法：Nx=a0+a1x-x0+a2x-x0x-x1+anx-x0x-x1x-xn并满意 Nx=fx差商的函数值表示： 差商与导数的关系： 就： 等距节点 Newton 插值公式：Newton向前插值：，其中余项：， Newton向后插值： 余项： Hermite插值： ，精选

10、资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。可得：插值余项： 待定系数： 三次样条插值： （三弯矩构造法）记对积分两次并满意插值条件，对于附加弯矩约束条件：， ， 对于附加转角边界条件：， ， 对于附加周期性边界条件：， ， 上式保证了sx 在相邻两点的连续性第六章函数靠近与曲线拟合主要求法方程第七章数值积分与数值微分求积公式具有m次

11、代数精度的充要条件：，精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。插值型求积公式求积系数公式：， Newton-Cotes（等分）梯形求积公式（n=1），具有 1 次代数收敛精度误差公式： 抛物型求积公式（Simpson 求积公式， n=2），具有 3 次代数收敛精度误差公式（ ）Newton求积公式（ Simpon3/8 法就）

12、具有 3 次代数收敛精度， Cotes求积公式（ n=4），具有 5 次收敛精度， （ ）误差公式 节点数为奇数时，代数精度为n; 为偶数时，代数精度为n+1。代数精度都是奇数。复化梯形求积公式： 截断误差： 复化 Simpson 公式： 截断误差： 复化 Cotes 求积：截断误差： 如一个复化积分公式的误差满意且 C0，就称该公式是p 阶收敛的。复化求积公式（需要2n+1 个求积节点）Romberg求积算法：精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -

13、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。复化梯形求积公式： 复化 Cotes 求积公式： Gauss型求积公式：内积公式：截断误差：，（ ）高斯求积公式代数精度为2n+1Gauss-Legendre求积公式（留意区间（ -1,1 ），变换可得）：形如：求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求得：， 截断误差：，（）Gauss-Chebyshev求积公式：形如：求积系数： 必为正 截断误差：，（）Gauss-Laguerre求积公式：形如：求积系数：， 截断误差：，（，）Gauss

14、-Hermite求积公式：形如：求积系数：， 截断误差：，（，） 三点数值微分公式：，（ 精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。泰勒级数绽开： 第八章常微分方程求解Euler法：， 为一阶法（ fx,y为 y 的导数）梯形方法（改进Euler法）：， 四级四阶经典Runge-Kutta公式， ， ， ， 精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。Welcome . 欢迎您的下载，资料仅供参考！精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载