放缩法技巧全总结精编版.docx

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1、精品名师归纳总结2022 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩。其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例 1.1求k214k 21的值;2 求证:n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析:1由于24n12n21 2n112n112n1,所以n2

2、2k 1 4 k1112 n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 由于 1n 21n 21444n 21122n112n1,所以112 11kn2k 13512n112512 n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇巧积存 :1 1n 244 n244n21212n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) Tr 1r1Cnn rn. r . n1r .nr11r .r r1n 1n1r11 r2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精

3、品名师归纳总结4 15n1 nn1n1111213211nn15n n1261n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 217 2n1912121n n12nn11,181n222 n1111n2n32112 n1n11 2 2n1n3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k n1kn1kkn1nn1kk1 nn1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10nn1 .1n.n11 .111n2 2n 12n 12 22n12n 12n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn11222211n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12 n1 22 n1 2n12n1 2n2 2n12 n 112 n 112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 n311111nn1n1nn1n n1n1n1n n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1311n1n1n 1nn1n12 nnn11n1n1nnn212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2142 231 2k23321121213152n131nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k. k1.k2.

5、k1 .k2 .nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15i 21 ij 21ji 2j 2ij i 21j 21ii 21j1j 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.1 求证:11132522 求证: 111 2n171 26111n22 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4(3) 求证: 116361 31 3 54n 224n1 3 5 2n12n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 42 4 62 4 62n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(

6、4) 求证： 2 n111112312 2nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1由于12 n122n11 2n 1112 2 n 112n1,所以ni 1 2i11 211 12 312n 111 12 312n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1114163614n21 114221 1 111n24n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结

7、合1进行裂项 ,最终就可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 第一 1n2 n1n2n1n,所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n1而 由 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 ,

8、 所 以211nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112312n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 求证: n6n1111 2n14915n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:一方面 :由于 1n21n21444n 21212 n 112n1,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12111211125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1 k35另一方面 :111492 n11n22n1331

9、112334111nnn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n3时,nn16nn12n,当 n11 时,n6n1 2n11111 ,49n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时, n6n1111 2n1491 ,所以综上有n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6nn12n111115249n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

10、4.2022 年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列an满意 0a11 . an 1f an . 设 b a1,1 ,整数k a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明: ak 1b .a1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列 ,故存在正整数 mk ,使amb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 1akb ,否就如 amb mk ,就由 0a1amb1 知可编辑资料 - - - 欢迎下

11、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am ln ama1 ln ama1 ln b0 ,ak 1akakln akka1amm 1ln am,由于kam ln amm 1ka1ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 ak 1a1k | a1 ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mnm , 求证:nm 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:第一可以证明 : 1x

12、n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1nm 1n1m 1 n1 m 1n2 m 11m 10n k m 1k 1k1m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1m1Snn1 m 11只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk m 1k 1k1m 1nm1k m k 1 n1 m 11n1m 1nm 1nm 1n1m 12m 11m 1n kk 11m 1k m 1 故只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要证 n k k m 11k1m 1 n m1k m k 1

13、n kk 11m 1k m 1 ,即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k m 1k1m 1m1k mk1m 1k m ,即等价于 1m1k11 m 1 ,1m1kk11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 6. 已知n解析:4n2n ,Tn2na1a2,求证: T1anT241T34 n 213.Tn22 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nT4142434 n21222n 14123 4n12 12

14、 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn所以T22n4n 1nn23 2n 1n 1n 1n32n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4n132 12n 43422n 143322 n 1433 222 2 2 3 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 2 2n2 n1 2 n1312 2 n112 n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 T1T2T33111Tn1233712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 7. 已知 x11

15、,nnn2k1, kZ ,求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n112k, k1Z 2 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x2 x3证明:14 x4 x54 x2n x2n 111112,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 x2n x2n 14 2n1 2n14 4n 214 4n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nnn1 ,所以412x2 n x2 n 12 n2nn12 n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以14 xx14 xx14 x x2 n11nN *可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结23452 n 2 n 1二、函数放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n5n 66 nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:先构造函数有ln xx 1ln x x11 , 从而xln 22ln 33ln 44ln 3n 3n3n1 111 233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111111123456789由于 111233 n533993n

17、13n 11112n2 n13n5n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结66所以 ln 29ln 318ln 427ln 3n2 3n 1n3 n65nn5n6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结234ln 23n3ln 3136ln n62n 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9.求证 :12,23 n2n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造函数f x ln x ,得到xln n nln n 2 ,再进行裂项n2ln n2n 2111n21nn, 求和后可以得到答案1可

18、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln xx1 , ln nn12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10.求证 : 11231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:提示: ln n函数构造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2ln n11nlnnn1ln 2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当然此题的证明仍可以运用积分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图,取函数f x1 ,x可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCFn第一: S1x,从而, 1 in1ln x |nnnxiln nln niDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCABOn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 , ,1nln nln n1 ,1n1ln n1ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

20、载精品名师归纳总结另一方面 S1 ,从而有1in 1ln x |nln nln ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nABDExnixn i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n in i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有,1 n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有ln n 11121 ,所以综上有 11n23111ln n11n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11.求证 : 11

21、11 2.3.11 n.e 和 11 11 98111 e .32 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造函数后即可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12.求证 : 112 1231n n1e2 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:ln nn 1132nn1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :ln x 123 x0 x 11 ln1 x x3 xx 1加强命题 0可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:构造函数3f x45ln x1n1x141 x1) ,求导,可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x121x 1xx ,令1f x0 有1x2 ,令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,

23、令 xn 21 有, ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln nn 1 ,所以ln 2ln 3ln 4ln nn n1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 14. 已知11,an 111n2n) an1 . 证明 an2ne2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:an 111n n1 ann1211nn 11,2 n a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后两边取自然对

24、数,可以得到ln an 1ln11n n 11n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后运用ln1xx 和裂项可以得到答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结放缩思路：a n 1112nn1 ann2ln an 1ln 112nn1nln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln ann 11n2n1 。于是2nn 11ln an 11ln an1n 2n11 ,2 n1 n 11 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln ai 1i 1ln a i 2i ii2i 1l

25、n a nln a 11 n22.n1 1n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln anln a12ae2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n注：题目所给条件 ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用。当然,此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nnn1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 111nna n11nn1an 11 11n n1 an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lnan 11lnan1ln111n 1. ln ai 11ln a

26、in 111ln an1ln a 21111 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln an11ln 3n n 1an3enn11i 2e2 .i 2i i1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是在 0, 上到处可导的函数 ,如xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 求证：函数g xf x x在0,上是增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 当 x10, x20时,证明 :f x1 f x2 f x1x2 。可编辑资料 - - - 欢

27、迎下载精品名师归纳总结(III) 已知不等式ln1xx在x1且x0 时恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：1 ln 2 2221 ln 32321 ln 424 21n 1 2ln n1 22 nn1 n2nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:Ig xf x xx 2f x0 ,所以函数g x f x x在 0,上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II 由于g xf x x在 0,上是增函数 , 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 x1f x1x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 x 2f x1 x1x 2 x2f x2 x2x1x2f x1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3f x1 x1f x1x2x1x 2xn xnf x1 x1x1x2f x1x 2nxnxn 可编辑资料