放缩法技巧全总结2.docx

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1、精品名师归纳总结2022 高考数学备考之放缩技巧放缩法精选大全证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩。其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.1求n22k 1 4k的值;2求证:1n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1 由于24n212n212n112n112

2、n1, 所以n22k 1 4k1112n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 由于 1 n21n21444n21122n112n1, 所以 n 1k2k 112 113512n112n112533可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇巧积存 :11n244n 244n21122n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3Tr 1r1Cnn rn. r. n1r .nr11r.r r1n 1n11 r2r1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结4511 nn11112111132615n n121n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n 2n12 n12 nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结792n111n 2nnn111,18122n11112n32 n112n11 2n 12 n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10kn1nkn1k11kn111nn1kk1nn1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11n1 .2 nn .n1 .2n12 2nn2n12n12n 12 22n 12n1112n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

4、师归纳总结2n122n12n12 n1 2n22n12n 112n 11 n2 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111nn1n1nn1nn1n1n1n1n11112nn1n1121132nn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结131n1nn122 21n31 2n332n122n12nnn2132n13214k211151k.k1.k2.k1 . k2 .nn1nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15i21ij 21jiij2ji 21j 21ii21j1j 21可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品名师归纳总结1例 2.1 求证:11223512 2n171 n262 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求证: 1 4(3) 求证: 1 21116361 31 3 5242 4 614n21124n1 3 52 4 6 2n12n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4求证： 2 n111112312 2nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:1 由于2n1122n11 2n 1112 2n 112n 1, 所以ni 1 2i11 21 112 312n 11

6、 112 312n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21114163614n21 114221 1 1n2411 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结合1进行裂项 , 最终就可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 第一 1 n2n1n 2n1n, 所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n11111123n可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n1而 由 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 , 所 以211nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11123122nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 求证:n6n1 2n11114915n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 一方面 : 由于 1n 21n21444n21212n1

8、12n1, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111k212k 13512 n112512n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面 : 111491111n22334111nnn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n3时,nn16 nn1 2n, 当n11 时,n6n 12n11111 ,249n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时,n6n n12n16n11112n149111149n21 , 所以综上有n

9、 253可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.2022年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列an满意 0a1 .an 1f an . 设 ba1,1 ,整数k a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1明: ak 1b .a1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 由数学归纳法可以证明an是递增数列 , 故存在正整数 mk , 使amb, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、名师归纳总结,ak 1akb , 否就如 ab mk , 就由 0aamb1知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m1am ln ama1 ln ama1 ln b0ak 1akak ln akaaln a, 由于mmmmmk1m 1kam ln amm 1k a ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1于是 ak 1a1k | a1ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 已知 n,mN , x1, Sm123nm , 求证

11、:nm 1m1Sn n1 m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 第一可以证明 : 1x) n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1nm 1n1) m 1 n1 m 1n2 m 11m 10n k m 1k 1k1m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nm 1m1Snn1 m 11只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n k m 1k 1k1m 1 nm1k

12、 m k 1n1m 11 n1m 1nm 1nm 1n1m 12 m 11 m 1n kk 11 m 1km 1 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只要证n k m 1k 1k1m 1nm1k m k 1n kk 11m 1k m 1 , 即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k m 1 k1 m 1m1 kmk1m 1k m , 即等价于 1m1k11 m 1 ,1m1kk11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n而正是成立的 , 所以原命题

13、成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 已知 an4 n2n , T2, 求证: TTTT3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解析:a1a2an123n414 n 2212n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nT4142434n 21222n 141234 n1212n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以Tn434n2n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332 n 14n 13 2n3 2n 1232n2 2 2n 23 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322TT

14、从而122 n2 n1 2n1T3Tn312 2n13 11,2312n 11113712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. 已知 x11xnnn2k1, kZ , 求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14 x2 x3n14 x4 x51 n42k, k1x2n x2 n 1Z 2 n11 nN*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明:14 x x4 2n1112n14211422n2 , 由于2 n可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品名师归纳总结2n 2 n 12 nnn1 , 所以4 n1124 x2n x2n 12 n4n2nn12 n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以14 x2x314 x4x514 x2 nx2 n 12 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、函数放缩例 8. 求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n3nn5n63n6N * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 先构造函

16、数有ln xx 1ln x11 , 从而 ln 2ln 3ln 4ln 3n3n1 111 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2343n233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 11231113 n231114561117891112n2 n13n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1153399335n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结66所以 ln 229ln 3318ln 4427ln 3n 3n2 3n 13n13n5n3 n665n66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9. 求证:12, ln 22

17、ln 33ln n n2n22 nn1 n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 构造函数f x ln x , 得到 ln nln n2 , 再进行裂项ln n 2121211, 求和后可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式 :xln xxn1 , ln nn2nn12nn n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10. 求证: 11231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 提示:ln n1ln n1nnn12ln n11nlnn n1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

18、师归纳总结函数构造形式 :ln xx, ln x11xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当然此题的证明仍可以运用积分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图, 取函数1 ,f xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一: S1nABCFx, 从而, 1 in1ln x |nnnxiln nDln ni E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCOABn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品名师归纳总结所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2, ,1nln nln n1 ,1n1ln n1ln n , 相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面 Sn1xABDEn i, 从而有1inin 1n i xln x |nniln nln ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取i1有,1n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有ln n 11121 , 所以综上有 11n23

20、1ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11. 求证: 11112.3.11n.e和11 11 98111 e .32 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 构造函数后即可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12. 求证: 112 1231nn12n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e解析:ln nn 1123nn1, 叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数构造形式

21、:ln x 123 x0x 11 ln1 x x3 xx 1 加强命题 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13. 证明:ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析: 构造函数3f x45ln x1n 1 x141 x1 , 求导, 可以得到 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x112x 1xx , 令 f1 x0 有1x2 , 令f x0 有 x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

22、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf 20 , 所以 ln x1x2 , 令 xn21 有,ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ln nn 1 , 所以ln 2ln3ln 4ln nnn1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a例 14.已知11,an 111n2ann1 . 证明 an 2ne2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:an 111n n1ann1211nn 11 a ,2 nn可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后两边取自然对数, 可以得到ln an 1ln11nn 11n ln a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结然后运用放缩思路：ln1xx 和裂项可以得到答案 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n 111 n2n1 a2nnln an 1ln 1n 2nln a2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln an1n 2n1 。于是2 nln a n 1ln an1n 2n1 ,2n1 n 1可编辑资料 - - -

24、欢迎下载精品名师归纳总结n 1ln a i 1ln ai n 11 i 2i12 i ln anln a11 1 12n11122 .n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1即 ln anln a1i 12an12e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：题目所给条件 ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用。当然,此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 nnn1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 111nna n11nn1an 11 11n n1 an 1可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lnan 11lnan1ln111n 1 ln ai 11ln ain 11n n1.nn 1i 2i 2i i1an3e1e2 .1ln an1ln a 21111 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ln an11ln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是在 0, 上到处可导的函数 , 如 xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 求证：函数g xf x x在 0,上是增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

26、名师归纳总结(II) 当 x10, x20时, 证明 :f x1 f x2 f x1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(III) 已知不等式1ln 2 21n 321 ln 421ln n1 2nnN *2234 2n 1 22n1 n2求证：ln1xx在x1且x0 时恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 l.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析:Ig xf xxx 2f x, 所以函数0g x f x x在 0,上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II由于g xf x x在0,上是增函数 , 所以可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 x1f x1x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 2 x2f x1x1x2 x2f x2 x 2x1x2f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3f x1 x1f x1x 2x 1x2xn xnf x1 x1x1x 2f x1x2xnxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2 x2f x1x2x1x 2xn x nx 2f x2 x1x2f x1x2xnx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料