数分知识点分析.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求不定积分222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x sin xdxx d cos xxcos x2x cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 cos x2xd sinxx2 cos x2 xsin x2sinxdxx2 cos x2 xsin x2cos xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求不定积分方法：（1）两类换元法。（2）分部积分法 重点 。排序：与 dx 凑的依次为指数和三角，多项式适用类

2、型：被积函数含有两种不同函数类型，或含有对数或或反三角函数求 极 限 三种类型（I ）变上限积分函数类型求极限（II ）定积分的定义（数项级数转化为定积分求解）III ）利用级数收敛性求极限（级数收敛就通项为0）x222x2tant dt 2tan xtant dtlim0lim0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x2limx6xtant 2dt0x0lim6x5xtant 2 dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x5tan x2x0x213x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim2lim2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

3、总结x09xx0 9x9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变上限积分函数极限的解题思路：0 比 0 型或无穷比无穷采纳洛必达法就（一般是用两次）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意（ 1）u x v x f t dtf u xu xf v xv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 变上限积分函数不能用变量替换或等价量替换。其它正常函数可以采纳等价量替换可削减运算量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型例题： p208 例 2p209ex2 和课堂练习x 2sin0tdt2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p22

4、5 例 1ex4lim3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 f x21在 xx 20 处的幂级数绽开式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x2 11 112x21x2x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

5、结2 n 0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 11xn n 0nn 12xn 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又级数nxn1 的收敛域为 2, 2 ，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1 2 n 1f x12x2nn 12xn 1n 1x2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数在 xa 处的幂级数绽开式 .解题思路：适当变型，凑成含有xa 。常数归一后用等比数列求和。求出相应的收敛域。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型例题： 求f

6、x在 xx23 x20或x=4 处的幂级数绽开式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P61 例 8P63-63ex2 （ 2,6） ex3（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本结论：基本初等函数的e x ,sinx,cos x,ln1x,1的幂级数绽开式1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结exe x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求曲线y从 x20 到 x1 那一段的弧长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 y exe 2x，就弧长可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结11exe xs1y 2 dx1 2 dx002可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 exe xexe x1ee 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx02202解题思路：熟记求弧长的三个公式，当心运算。记住如干函数的原函数。记住求旋转体的体积公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -典型例

8、题：三 争论敛散性（包括肯定收敛、条件收敛、发散）p1. xdx01xx p1xpx p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：dxdxdx，L L LL L L LL L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结01x0 1x11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（I ）对1xp0 1xdx ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 p0 ，1xp0 1xdx 为定积分 .L LL L L LL L L L L L L1分可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结当 p0 时， x0 是瑕点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p由于 lim x pxlim11 ，就 L L L L L LL L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x01xx0 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（注：1x pdx 和1x p dx 有相同的收敛性。）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）当1p0 ， 即 0p1 时，1x p0 1xdx 肯定收敛 .L L L L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

10、结1x p1xp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）当 p1 ， 即p1 时，dxdx 发散.L L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 1x0 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）对x p11xdx ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 limxx p 1xp1xlimx1，x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）当 p0 ， 即p11 时，x p11xdx 肯定收敛 .L L L L L L

11、 L LL L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）当 p0 ， 即p11 时，x px pdxdx 发散 .L L L L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

12、综上，x p01xdx 当1p0 时肯定收敛，当p1 或 p0 时发散 . L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题思路：如积分区间为【 0，】且只有 0 和是仅有的两个瑕点，将积分分为瑕积分和无穷限反常积分分别争论：熟记几个常见的p 积分。应用等价量关系。对数函数与幂函数的关系（课堂结论）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型例题 1：0x pex dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. sin nn 1n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mcos2cosn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于s

13、in n，即sin n 部分和有界， L L2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12sin 1sin 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22又1单调递减趋于 0，依据 D- 判别法，sin n 收敛.L L L L L L2分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 sin n2sinn1cos2n， LL L L L L L LL L L L2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn2n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可证cos2n 收敛，又n

14、12n1n 1 2n发散，就sin nn 1n发散， L LL L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故sin n 条件收敛 .n 1nL L L L LL L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题思路： D-A判别法n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本结论 ：sin kx,coskx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1sin xk 1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

15、- - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1ncos2 n1n 1cos2n1n1ncos2nn 1nn 12nn 12nn 12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n1cos2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 12nn 12n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习题：1ncos n1nsinn ,1nsinnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n

16、n 1nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四 （ 12分 ） 叙 述 函 数 列 fn x在 数 集 D 上 一 致 收 敛 的 定 义 ， 讨 论 函 数 列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fn xnxenx , n1,2,在所示区间 D 的一样收敛性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(i) D1,(ii) D0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品名师归纳总结证：函数列 fn x在数集 D 上一样收敛：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意0 ，存在 NN ，当 nN 时，对任意 xD ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fn xf x.L L LL L L LL L L LL4分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iD1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意 x1, ，f xlimnf n xlimnnx enx0 ， L L L L L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 sup f xf xsup

18、nxsupnxsup220 n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x Dx Dex Dnx 2x Dnxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 limsupnx Dfn xf x0 ， 故fn x在 D 上一样收敛 .L L L L L L3分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iiD0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意 x0, ，f xlimnfn x limnnx enx0 ， L L L LL L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 sup f xf

19、x111 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nf n f x Dnne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 lim supnx Df n xf x0 ， 故f n x在 D 上不一样收敛 .L LL L L L3分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型题目： p45

20、 ex9和 ex1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五. 求出幂级数nnn 11xn的和函数，并指出其收敛域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 limnn nn11 ，就收敛半径 R1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1 时，明显nnn 111n发散，故收敛域 1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设sxnn1n 11xn ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

21、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xnnn 11xn，就s xxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x由于ft dtxnn1t n1dtxnn1t n1dtn1xng x ，又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xg tdtn 1xn1tn dtn 1n 1xn1t n dtxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000n 1n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnx11n 01xx1L L L L L

22、L4分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就g xx1g t dt 01xx111x21 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12， L L L LL L3分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0f tdt g x 1x 211x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故s xxf x2 x1x3L L L L L L1分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n典型题目xnx n1，n2 xnx2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1 nnnn 11 n 1 n1

23、n 1 n n121x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六（12 分） 证明：函数Sxln1n3n 1nx 在0,1 上连续，且有连续的导函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：对任意 n ，任意 x0,1 ，ln13nnxn

24、x1，又32nn1 收敛，n2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 M- 判别法，ln1n 1n 3nx在0,1 上一样收敛 .L LL L L L3分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由ln1n 1n3nx各项在 0,1 上连续，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 S xln1n3n 1nx 在0,1 上连续 .L L L L L L2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3明显ln1n 1nx各项在 0,1 上有连续的导函数且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ln1nx n11， L L L L LL2分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n31nxn31nxn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意 n ，任意 x0,1 ，11 ，又1 收敛，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 11nxn2n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 M- 判别法，n 1 11nxn 2在0,1 上一样收敛 .LL

26、L L L L3分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由n 1 11nxn 2各项在 0,1 上连续，就S xn 1 11nx n 2在0,1 上连续，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 S xln1nx3在0,1 上有连续的导函数 .L L L L L L2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n注 上述题目分母中3 次方，改为两次方依旧成立。典型例题： P43 例 3P45ex5,， ex6 和 ex7学问的重难点（级数部分）：函数列、函数项级数

27、（包括幂级数）的解析性定理定理重点把握，即三个交换图成立的条件及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -意义。明确极限符号与求和符号、积分符号、求导符号交换顺当的条件（交换次序需要验证的条件：连续和可积需要验证两个条件，可微分需要验证三个条件），并敏捷应用（往年至少有两大题）级数和反常积分得基本判别法：（ I）一般判别分：D-A判别法。 M- 判别

28、分，莱布尼茨判别法（交叉级数）（ II ） 正项级数，非负函数的无穷限反常积分：比较判别法（一般式子，极限形式更便利）、比值判别法和比式判别法（级数）。留意：比较对象：p 级数和 p 积分。 等比数列（记住基本结论）关于一样收敛：（ III ）一样收敛判定：M 判别法（不用知道极限函数）。函数与极限函数距离的极限为0（ IV ）一样收敛判定：函数列的通项不一样收敛于0。连续函数列的极限函数不连续。函数与极限函数距离不以0 为极限极限。学问点把握（基本要求）：（ 1）基本公式：求导公式，定积分公式，泰勒绽开式，p 级数和 p 积分结论（ 2）重要定理。（ 3）典型例题（包括作业）:把握解题思路。（ 4）基本结论：三角函数部分和公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载