数列的极限教学设计.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三节数列的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结引言 ：西北师范高校数学与统计学院汪媛媛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公 元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法- 割圆术 , 就是极限思想在几何学上 的应用 . 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4 世纪）在庄子 .天下篇一书中对“截丈问题”，有一段名言： “一尺之棰 , 日截其半 , 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是讨

2、论变量的变化趋势的基本工具，高等数学中很多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是讨论函数的一种最基本的方法.本节将第一给出数列极限的定义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分布图示 极限概念的引入 数列的定义 数列的极限数列极限的严格定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例 1例2例 3 例 4 例 5例6例 7 例 8收敛数列的有界性极限的唯独性例 9子数列的收敛性内容小结习题1-3课堂练习返回可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教学目的： 1懂得极限的概念，明白极限的N ,2会用极限的严格定义证明极限.。

3、3明白极限的性质。 教学重难点： 懂得把握数列极限的概念内容要点一、 数列的定义定义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪） 利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设有一圆， 第一作内接正六边形，把它的面积记为A1 。再作内接正十二边形，其面积记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 A2 。再作内接正二十四边形，其面积记为A3 。循此下去，每次边数加倍，一般的把内接可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结正 62 n1 边形的面积记为An nN 。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1A2A3.An .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

5、它们构成一列有次序的数。当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An 作为圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面积的近似值也越精确。但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，An 终究只是多边形的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积，而仍不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为n，读作 n 趋于无穷大） ，即内接可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An 也无限接可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结近于某一确定的数值，这个确

6、定的数值就懂得为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面这列有次序的数（所谓数列）A1A2A3 .An . 当 n时的极限。在圆面积问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中我们看到，正是这个数列的极限才精确的表达了圆的面积。在解决实际问题中逐步形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先说明数列的概念。假如根据某一法就，有第一个数x1 ，其次个数x2 ，这样依次序可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

7、归纳总结排列着，使得对应着任何一个正整数n 有一个确定的数xn ，那么，这列有次序的数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x3 .xn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项 xn 叫做数列的一般项。例如：123nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1， 。22，4，8，2 ， 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结234n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 1111n 141111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

8、归纳总结， 。， ， 。2482nn 114n152， ， ，23n都是数列的例子，它们的一般项依次为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，n，2 n1n12 nn 1n 1n11，。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以后，数列x1x2x3 .xn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也简记为数列xn。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：打印错误：L 等为省略号。 。二、 数列的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如数列xn ，当 n 无限增大时，数列xn 的取值能无限接近常数l ，我们就称l 是xn 当可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n时的极限，记作lim xnl，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它的解析1定义： 假如数列xn 与常数 a 有以下关系：对于任意给定的正数（不论它多么小） ，总存在正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

10、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整数 N ，使得对于nN 时的一切xn ，不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都成立，就称常数a 是数列xn 的极限，或者称数列xn 收敛于 a ，记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xna，n或xnan。假如数列没有极限，就说数列是发散的。明显lim 10，nnlim n11。nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N 论证法，其论证步骤为：（ 1）对于任意给定的正数, 令| xna |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

11、结（ 2）由上式开头分析倒推, 推出n 。（ 3）取N ，再用N 语言顺述结论.下面我们将学习数列极限的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、 极限的唯独性性质 1（极限的唯独性）数列 xn不能收敛于两个不同的极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、 收敛数列的有界性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2（收敛数列的有界性）假如数列xn收敛，那么数列xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结肯定有界。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页

12、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、 子数列的收敛性性质 3（收敛数列与其子数列间的关系）假如数列xn收敛于 a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。例题选讲例 1 E01 以下各数列是否收敛, 如收敛 , 试指出其收敛于何值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 2 n;21;3n 1 n 1;4n1. n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

13、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1 数 列2 n 即为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2,4,8,.,2n ,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易见 , 当 n 无限增大时 ,2n 也无限增大 , 故该数列是发散的;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 数列1即为n1, 1 ,21 ,., 13n,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易见 , 当 n 无限增大时 ,1 无限接近于0, 故该数列是收敛于0; n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1(3) 数列 1 n 1 即为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,1,1,1,.,1,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易见 , 当 n 无限增大时 , 1 n1 无休止的反复取1、 -1 两个数 ,而不会接近于任何一个确定的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常数 ,故该数列是发散的;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 数列n1即为n0, 12, 2 , 334,., nn1 ,.可

15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易见 , 当 n 无限增大时 ,n1 无限接近于1, 故该数列是收敛于1. n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 E02 证明lim nn1 n 11.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证由 | xn1 |n1 n 11n1 ，故对任给n0, 要使| xn1|, 只要 1, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -

16、- - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 n1 .所以，如取N1, 就当 nN 时，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 n 11.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即lim nn1 n 11.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 设 xnC C 为常数 ，证明lim xC .nn可编辑资料

17、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证因 对 任 给0, 对 于 一 切 自 然 数n, 恒 有| xnC | | CC |0. 所 以 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xnnC.即：常数列的极限等于同一常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的0, 查找N , 但不必要求最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 N .可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品名师归纳总结例 4 证明lim q n n0, 其中| q |1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证任给0, 如 q0, 就 lim q n nlim 0n0; 如 0| q |1, 欲使 | xn0 | | q|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结必需 n ln| q |ln, 即 nln, 故对任给0, 如取 Nln, 就当 nN 时，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nln | q |ln | q |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

19、纳总结| q n0 |, 从而证得lim q n0.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 设 xn0, 且 lim xn na0, 求证limxna .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证任给0, 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|xna | xna | xna| xna | ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要使 |xna |, 即要 |xna |a ,可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xna ,n对0a0,N0, 当 nN 时， |xna |a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而当 nN 时，恒有 |xna |, 故 limxna .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 用数列极限定义证明lim 52n2 .n13n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - -

21、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52n217证由于17 n1, 只要17, 解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13n3313n9n39 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结171n. 因此，对任给的 930, 取 N17193, 就 nN 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52n213n3即成立，lim 52n2 .n13n3n 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7

22、 E03 用数列极限定义证明lim21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证由于n2221nnn13nnn222n3 ，要使n2221, 只要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1nn1nnnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2, 即 n nn222 , 因此，对任给的n220, 取 N2 , 当 nN 时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21, 即 lim21.nn1nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 E04 证明：如lim xnnA, 就存在正整数N , 当 nN 时，不等式| xn | A |

23、2成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证因 lim xnnA, 由数列极限的N 定义知，对任给的0, 存在 N0, 当 nN 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结恒有 | xnA |, 由于| xn | A | xnA |,故 nN 时，恒有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| xn | A |, 从而有 | A | A | xn | A |, 由此可见，只要取| A | ,就当 n 2N 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结恒有| xn |. 证毕 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 E05 证明数列x

24、n1 n1是发散的11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证设 lim xnna , 由定义， 对于,N 20, 使得当 nN 时，恒有| xna |,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即当 nN 时 ， xna1 , a 21, 区间长度为1.而2xn 无休止的反复取1， 1 两个数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不行能同时位于长度为1 的区间 . 因此改数列是发散的. 证毕 .注：此例同时也说明：有界数列不肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结课堂练习1设 p0,证明数列xn1p的极限是0.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载