数列知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、 等差数列必修 其次章 数列学问总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 等差数列定义：依据肯定次序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列可以看作一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1,2, ,n 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 . 它的图像是一群孤立的点 .它具有如下特点：的函数当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：an 1and , 或 an 2an 1an 1an nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）证明数列 an 是等差

2、数列的五种基本方法（大多用在客观题上）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用定义：证明an 1and （ 常数 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用中项性质：证明2anan 1an 2 nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式法： anpnq （ p、q 为常数） an为等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前 n 项和公式法：SAn 2Bn （A 、B 为常数） an为等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

3、n an 成等比数列且an0lgan为等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）证明数列an不是等差数列的常用方法：找反例.如验证前三项不成等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如an 1ann, a1a, nN,就 an 不是等差数列 ,求 an 可用累加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an anan1 an1an2 a2a1 a1, n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 通项公式及其变式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1n1ddn

4、a1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式：anamnm d a1an n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anamanam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dnm率）dnm（联想点列 n,an 所在直线的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 前 n 项和公式及其变式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sna1n2an na11 n n21d 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 : Snann1 nn21d联想: an是以 an 为首项 ,d 为公差的等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品名师归纳总结 Snd n 22a1d n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Snd n1a联想：n是以 a 为首项 , d 为公差的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn2Sna1an1n12a1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n2n联想：算术平均数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 等差中项如 a, b, c 成等差数列,就 b 称 a 与 c 的等差中项,且 bac 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 重要性质 等差数列an中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）对

6、称性质：如 m+n=p+qm.、 n、p、qN , 就 amana paq 。特殊的：当m+n=2p 时 aman2 ap ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）如 d 为an 的公差,就其子数列ak , ak m, ak2 m, 也成等差数列,且公差为md 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）片段和性质：Sm , S2mSm , S3mS2m ,也成等差数列,且公差为m2d 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）如an , bn都是等差数列 ,就kan, kanp , kanpbn都为等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

7、归纳总结偶奇（ 5）如项数为 2n n 就 SSnd 。 S奇an。 Sn aa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*S偶an 12 nnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如项数为 2n-1 nN 就 S奇 S偶an 。S奇n。S偶n1S2 n 12 n1an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注 : 有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必定联系,由数列的总项数是偶数仍是奇数打算 . 如总项数为偶数,就“偶数项和”“奇数项和”总项数的一半与其公差的积。 如总项数为奇数,就“奇数项和”“偶数项和”此数列的中项.6. 常用结论、技巧,削减运算

8、量（留意对称设元,整体消参,设而不求）（ 1）设元技巧：如三个数成等差数列,可设为ad, a, ad 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四个数成等差数列,可设为a3d, ad , ad , a3d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在等差数列中,求Sn 最值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：建立Sn 的目标函数,转化为n 的二次函数求。an 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：如 a10, d0时, Sn有最大值,这时可由不等式组an 1 0an 0来确定 n。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、如 a10, d0时, Sn 有最小值,这时可由不等式组an 1 0来确定 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）基本量运算：等差数列中有五量 a1, n, d , an, Sn 、三式（一个通项公式,两个求和公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式）,一般可以“知三求二”通过列方程（组）求关键量（ 4）几个重要结论a1 和 d,问题可迎刃而解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a pq, aqp pqa p q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Spq, Sqp pqSp q pq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

10、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SpSq pqSp q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sm nSm二、等比数列Snmnd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义与特点：定义：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它具有如下特点：an 1q anq 为不为零常数 或者an 2an 1an 1an（ nN* ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：（ 1）证明数列是等比数列的两个基本方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用定义：an 1anq q 为不为零

11、常数 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用等比中项：an 1anan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式法 :ancqn c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an前 n 项和法 : Snkqnk k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an成等差数列 c为等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 2）证明数列an 不是等比数列的常用方法：找特例.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 通项公式：ana qn 1 。可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品名师归纳总结变式：aa qn m 。qn man （ nm; m 、nN ）nma可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m3. 前 n 项和公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1qnaa q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sn11q1n q1q1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）留意：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1 的关系,必要时分类争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当公比 q1 时, SnSm4. 等比中项1qn1qm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a,

13、G , b 成等比数列,就 G 为 a, b 的等比中项,即 G5. 性质ab , ab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在等比数列an中,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如 m+n=p+q, m ,n, p ,qN , 就amanapaq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mnp当 m+n=2p 时,a aa2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如 a,b 成等比数列 , 就 | a |ka, a 2ab,1,an也成等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品名师归纳总结nnnnnnnanbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如 q 为a 的公比,就其子序列a , a,a,也成等比数列 ,公比为qm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nkk mk 2 m即序号成等差数列的项按原次序构成新的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）片段和 : Sm, S2 mSm , S3mS2m ,也成等比数列,且公比为qm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 常用结论、技巧：mnn2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） Sm nSmq SnSnq Sm S

15、3nSnq S2nS2 nqSn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）前 n 项和公式,肯定要分q=1 或 q1 两种情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 设元技巧：三个数成等比数列,通常设为a , a, aq 。 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四个数成等比数列,不能设为a , a , aq, aq3 ,只有当 q0 时才可以q3q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 等比数列an 的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a10, q1 或 a1 0

16、,0q1时,等比数列an 为递增数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a10,0q1 或a1 0, q1时,等比数列an 为递减数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 q当 q1 时,等比数列0 时,等比数列an为常数列 ;an 为摇摆数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 有限项等比数列中,设“偶数项和”为 S偶 ,“奇数项和”为 S奇如总项数为偶数2n,就 S偶qS奇 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如总项数为奇数 2n三、数列求和的方法：公式法1, S奇a1qS

17、偶 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 等差数列 an 的前 n 项和公式（三种形式）; 2等比数列 an 的前 n 项和公式（三种形式）;3 几个重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1352 n1n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212232n21 nn 61n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3333n2 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123n4倒序相加法 :在数列求和中,如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和 （

18、这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如: 在 1 和 nn1之间插入 n 个正数, 使这 n+2 个数成等比数列, 求所插入的 n 个数之积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 错位相减法：适用于bn cn的数列。其中bn成等差数列 , Cn成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记 Snb1c1b2c2bn 1cn 1bncn 。就qSnb1c2bn 1cnbncn 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）4. 裂项相消法：假如数列的通项可“分

19、裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：111n n1nn111 11n nkk nnk1111n n1n22 nn1 n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 anSnSn1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 分组求和：适用于 cnanbn,而an 、 bn的和易求得 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、求一般数列通项公式的类型及方法：1. 应用公式（等差、等比数列）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知Sn 求an 可用 anS1 n1,是否分段 ,需要验证 .可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSn 1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 数列的通项、数列的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前n 项和公式的关系 3. 累加法：适用于差后等差或差后等比的数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ananan 1an 1an 2 a2a1a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知数列an 满意an 1an2n, a13, 求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知数列a满意 aa2n, a3, 求 a .可编辑

21、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1n1n4. 累积法：适用于分式给出的递推式,累积后可以消去中间项,anan 1a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anaaaa1 , n 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： 已知数列an 1na满意n2 ,a=1,求 a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 已知数列5. 构造特殊数列法：an1aan满意nnn2 ,a1=1,求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

22、纳总结（ 1）利用递推关系写出数列的前几项,依据前几项的特点观看、归纳猜想出然后用数学归纳法证明.an 的表达式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）将递推关系式进行变形,然后运用累加、累积、迭代、换元转化为常见数列（等差、等比数列）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知数列an满意an 13an2, a11, 求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知数列an满意 an1 an 122n1,a11,求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、数列的应用 三个模型 凡涉及到利息、产量、降价、繁衍增长率以及分期付款等问题时都可以用数列解决.1 复利公式 :按复利运算利息的一种储蓄,本金为a 元,每期利率为 r,存期为 x,就本利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和 ya 1r x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）单利公式 :利息按单利运算,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x,就本利和ya 1xr 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）产值模型 :原先产值的基础数为N ,平均增长率为p,对于时间 x 的总产值yN 1p x可编辑资料 - - - 欢迎下载